角的度量及比较和运算

主讲：黄冈中学高级教师 余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看作由一条射线绕着它的端点，旋转而成的图形.

2、角的度量：把一个周角360等分，每1份的角记作1°，1°=60分，1分=60秒. 3、1周角=360°，1平角=180°.

4、角的画法可以借助于量角器，也可以用尺规作图.

5、比较∠AOB与∠CO′D的大小，使边OA与O′C重合，如果 （1）OB与O′D重合，则∠AOB=∠CO′D （2）OB在∠CO′D内，则∠AOB<∠CO′D

（3）OB在∠CO′D外且OB、OA在O′D的两旁时，则∠AOB>∠CO′D 6、1直角=90°. 7、角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

如图，OC是∠AOB的平分线，则有以下写法： ∵OC是∠AOB的平分线 ∴（1）∠AOC＝∠BOC

（2）或

（3）∠AOB＝2∠AOC或∠BOA＝2∠BOC 8、角的特殊关系 （1）余角、补角的概念

如果两个角的和等于90°（直角），那么就说这两个角互为余角，简称互余． 如果两个角的和等于180°（平角），那么就说这两个角互为补角，简称互补． （2）余角、补角的性质 同角或等角的余角相等． 同角或等角的补角相等．

（3）对顶角的性质：对顶角相等． 二、重难点知识概述 重点：

1、角的概念及度量. 2、画一个角等于已知角.

3、角的大小的比较，掌握“度量法”和“叠合法. 4、余角和补角的性质. 难点： 1、角度的计算.

2、用尺规画一个角等于已知角. 3、对叠合的理解.

4、利用余角和补角的性质说明一些道理. 三、典型例题剖析

例1、如图，（1）图中哪些角可以用一个大写的字母表示.

（2）以A为顶点的角有几个？请表述出来？ （3）用三个字母表示图中的∠1、∠2.

[解析]

分析：

（1）以某点为顶点的角只有一个时，才能用一个大写的字母表示. （2）以A为端点有三条射线，可组成三个角.

（3）∠1、∠2的顶点都是D，因此D要写在三个字母的中间. 解：

（1）∠B、∠C；（2）∠BAD、∠BAC、∠DAC；（3）∠1可表示为∠ADB、∠2可表示为∠ADC.

例2、57.32°是几度几分几秒？

[解析]

分析：

度、分、秒都是六十进制，因此0.32°先化成分，再把小数部分化成秒. 解：0.32°=0.32°×60′=19.2′ 0.2′=0.2′×60″=12″ 57.32°= 57°19′12″．

例3、计算：（1）39°48′＋41°37′ （2）48°2′÷5

[解析]

错解：

（1）39°48′＋41°37′=80°85′ （2）48°2′÷5=48.2°÷5=9.64° 剖析：

角度的单位都是六十进制，这里错在没有按六十进制进行单位换算. 正确解：

（1）39°48′＋41°37′=80°85′=81°25′ （2）48°2′÷5

=48°÷5＋2′÷5=9°＋3°÷5＋2′÷5 =9°＋182′÷5=9°＋36′＋24″ =9°36′24″

例4、已知∠AOB，如图，画一个角∠CDE，使∠CDE=∠AOB.

[解析] 分析：

画一个角等于已知角有两种方法，一是借助量角器，另一种是用“尺规”法. 解一：量得∠AOB=50° 画∠CDE=50°，如图所示.

解法二：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N （2）画一条射线DE，以点D为圆心，ON长为半径画弧l交DE于N′ （3）以N′为圆心，MN长为半径画弧交弧l于M′ （4）过点M′作射线DC，则∠CDE=∠AOB

例5、画出表示下列方向的射线：（如图）

（1）东南方向射线OA；（2）北偏东60°的射线OB； （3）南偏西30°的射线OC；（4）北偏西30°的射线OD.

[解析] 分析：

东南方向，即指向正东，再向南偏转45°，北偏东60°，即与正北方向的夹角为60°，南偏西30°即为与正南方向的夹角30°，北偏西30°，即与正北方向的夹角为30°. 解：

例6、1点15分，时针与分针的夹角是多少度？

[解析] 错解：

1点15分，时针指向1，分针指向3，间隔2格，每格夹角30°，所以夹角为60°. 剖析：

1点15分，时针并不指向1，此时的夹角应为从指向1而偏转的夹角的差. 正确解：

分针从1转到3偏转60°，时针偏转

例7、如图，O为直线AB上一点，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC.求∠DOE的度数.

[解析] 分析：

根据角平分线的意义，

要求∠DOE，只求

而∠AOC＋∠BOC=180°，所以∠DOE可求. 解：∠DOE=∠DOC＋∠COE.

由于OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线.

所以

.

例8、已知一个角的补角与一个直角的和比这个角的余角的5倍少44°，求这个角. [解析] 分析：

有关余角、补角之间的计算题目，经常设未知数，然后根据题意列出代数方程. 解：

设这个角为x°，则它的余角为（90－x）°，它的补角为（180－x）°. 依题意得：

（180－x）＋90=5（90－x）－44， 270－x=450－5x－44，∴4x=136，∴x=34. 答：这个角为34°.