四川省邛崃市2016届高三上学期第一次月考数学理试卷

理科数学试题

命题人：王勇 审题人：张开建

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。 1．已知全集U{x|x1}，集合A{x|x4x30}，则CUA（ ） A．(1,3) B．(,1)[3,) C．(,1)[3,) D．(,1)(3,) 2．已知复数z12i，z212i，若z

22z1

，则z（ ） z2

44i B．i C．i D．i 553．已知a(3,1),b(x,1)，且a//b，则x等于（ ）

A．A．

11 B． C．3 D．3 334．下列命题中：

2①命题“若x5x60，则x2或x3”的逆否命题为“若x2或x3，则

x25x60”．

②命题p： “存在x0R，使得log2x00”的否定是“任意xR，使得log2x＞0”； ③回归直线方程一定过样本中心点（x,y）．其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

5．若圆C：xy2x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．3 D．6

6．设Sn为公差大于零的等差数列an的前n项和，若S93a8，则当Sn取到最小值时n的值为（ ）

22A．3 B．4 C．5 D．6

7．执行下面的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n（ ）

（A） 5 （B）6 （C）7 （D）8

1（0，a0）的最大值为1，且2其图象相邻两条对称轴的距离为，若将函数f(x)的图象向右平移个单位，所得图象对

21228．设函数f(x)3asinxcosxacosx应函数为g(x)，则（ ） A．f(x)的图象关于直线xB．f(x)的图象关于点(3对称，g(x)图象关于原点对称

4,0)对称，g(x)图象关于直线x

4

对称

C．f(x)的图象关于直线xD．f(x)的图象关于点(6对称，g(x)图象关于原点对称

5,0)对称，g(x)图象关于直线x对称 126

9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．

75 B．30 C．75 D．15 210．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）． A．

B． C． D．

x2y211．设F1，F2是双曲线221(a0，b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存

ab在一点P，使得线段PF2的垂直平分线过原点O，且|PF1|为（ ）

3|PF2|，则双曲线的离心率

A．

2131 B．21 C． D．31 2212．若关于x的不等式exaxb0对任意实数x恒成立，则ab的最大值为（ ） A．e B．e2 C．e D．

e 2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

xy3≥013．若变量x，y满足x2y4≤0，则zxy的最大值为 ．

x4y4≥014．已知a2 ，b3，a,b的夹角为60°，则2ab_____．

17)的展开式中x5的系数是 .（用数字填写答案） xAC4，16.已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且C，△ABC的面积为23，315.(x3三棱锥O-ABC的体积为

6，则球O的表面积为 ． 6三：解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.

17．（本小题满分12分）在△ABC中，己知 ABAC9，bccosA，又△ABC的面积为6。

（Ⅰ）求△ABC的三边长；

（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求 tanBAD． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SAAB，点M是SD的中点，ANSC且交SC于点N．

（Ⅰ）求证：平面SAC平面AMN； （Ⅱ）求二面角DACM的余弦值．

19．（本小题满分12分）某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数，东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．

（1）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

（2）设表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求的分布列和数学期望．

x2y2120．（本小题满分12分）已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，椭圆的短轴端点

ab22yx21的焦点重合，与双曲线过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B2两点．

21．（本题满分12分）已知函数f(x)x（1）求椭圆C的方程；（2）求OAOB的取值范围．

1alnx（aR）． x（Ⅰ）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设g(x)f(x)1，A(x1,g(x1))，B(x2,g(x2))（0x1x2）是g(x)图象上的任xxx2g(x2)g(x1)，求证：t1 ．

2x2x1意两点，若t(x1,x2)，使得g’(t)

请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同． 已知曲线C的极坐标方程为2(cossin)，斜率为3的直线l交y轴于点

E(0,1)．

（1）求C的直角坐标方程，l的参数方程；

（2）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA||EB|． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)2x12xa （Ⅰ）a=-3时，求不等式 f(x)6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式 f(x)a恒成立，求实数a的取值范围

邛崃市高2013级高三10月月考数学试题

理 科 数 学（参考答案）

一：选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1—5：CDDCB 6—10：ACCBB 11—12：DD

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13． 8 14． 13 15. 35 16. 33 2三：解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写

在答题卡上的指定区域内.

81．（本小题满分12分）在△ABC中，己知 ABAC9，bccosA，又△ABC的面积为6

（Ⅰ）求△ABC的三边长； （Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求 tanBAD． 解：（Ⅰ）设三边分别为a,b,c

由正弦定理得sinBsinCcosA，∴sin（A+C）=sinCcosA，„„„„2分 化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA， ∴sinAcosC=0，可得cosC0C2„„„„„„„4分

ABAC＝｜AB｜｜AC｜cosA＝9又 1AB｜｜AC｜sinA6S＝｜2两式相除可得tanA4a 3b令a4k,b3k(k0) 则S1ab6k1 2三边长分别为3，4，5， „„„„„„„„„„„„„„„7分

41（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan∠BAC=，由三角函数定义知tan∠DAC=，„„9分

33

41tanBACtanDAC9所以tanBAD=tan（∠BAC-∠DAC）==33= ...12分

41131tanBACtanDAC13318．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SAAB，点M是SD的中点，ANSC且交SC于点N．

（Ⅰ）求证：平面SAC平面AMN； （Ⅱ）求二面角DACM的余弦值． 证明（Ⅰ）：SA底面ABCD， DCSA 又底面ABCD是正方形，DCDA

DC平面SAD，DCAM

又SAAD，M是SD的中点，AMSD， AM面SDC SCAM

由已知ANSC，SC平面AMN．

又SC面SAC，面SAC面AMN„„„„„„„„„ 6分 （Ⅱ）取AD的中点F，则MF//SA． 作FQAC于Q，连结MQ．

SA底面ABCD， MF底面ABCD FQAC， MQAC

FQM为二面角DACM的平面角

设

SAABa，

在

RtMFQ中

MF1a2SA2，

FQ24aMQMF2FQ264a cosFQMFQ3MQ3 „„„„„„„„„„„ 11分 所以二面角DACM的余弦值为

33 „„„„„„„ 12分 解法2：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，由于SAAB，

，

可设ABADAS1，

则A0,0,0,B0,1,0, C1,1,0,D1,0,0,S0,0,1，M,0, „„„„ 3分

121211AM,0,，CS1,1,1 „„„„ 4分

22AMCS0， AMCS

又SCAN且ANAMA SC平面AMN．又SC平面SAC 所以，平面SAC平面AMN „„„„„„„„„ 6分

（Ⅱ）SA底面ABCDAS是平面ABCD的一个法向量，AS0,0,1 „„ 7分 设平面ACM的一个法向量为nx,y,zAC1,1,0，AM,0,，

1212nAC0则 得n1,1,1„„„„„„„„ 9分 nAM0cosAS,n3 „„„„„„ 11分 33 „„„„„„ 12分． 3二面角DACM的余弦值是

19．（本小题满分12分）某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数，东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．

（1）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

（2）设表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D． 则P(A)18315193151，P(B)，P(C)，P(D)． 3053023010302设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则MABCDABCDABCDABCD．

则P(M)2131313131713131459．„„„ 5分

5210252102521025210220040（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．

P(0)P(P(P(P(147， 20010055111)，

20040772)，

2004593)，

2004094)．

2001 11 40ξ的分布列为： ξ 0 p E（ξ）＝0×

7 1002 77 2003 4 92009 40 145545938019＋1×＋2×77＋3×＋4×＝＝．12分 20020020020020010200x2y2120．（本小题满分12分）已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，椭圆的短轴端点

ab2y2x21的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B与双曲线2两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求OAOB的取值范围．

c1c2a2b212， 解：（1）由题意知e,e22a2aa4a242b．又双曲线的焦点坐标为(0,3),b3，a24,b23， 3x2y21．„„„„„„„„„„„„.4分 椭圆的方程为43（2）若直线l的倾斜角为0，则A(2,0),B(2,0),OAOB4，

当直线l的倾斜角不为0时，直线l可设为xmy4，

xmy422(3m4)y24my360，由 223x4y120(24m)24(3m24)360m24

设A(my14,y1),B(my24,y2)，y1y2OAOB(my14)(my24)y1y2m2y1y24my1y216y1y2

1161324m4,OAOB(4,)， ，3m24413综上所述：范围为[4,)．„„„„„„„„„„„„„„12分

421．（本题满分12分）已知函数f(x)x24m36,yy， 123m243m241alnx（aR）． x（Ⅰ）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设g(x)f(x)1，A(x1,g(x1))，B(x2,g(x2))（0x1x2）是g(x)图象上的任xxx2g(x2)g(x1)，求证：t1 ．

2x2x1意两点，若t(x1,x2)，使得g’(t)解：（Ⅰ）f(x)1'1aa1'1x(0,)，由已知得在恒成立，则， f(x)0x2xxx2即ax11，因为x2，所以a2，实数a的取值范围是(,2]„„„5分 xx'（Ⅱ）由（Ⅰ）g(x)xalnx,gx1aa'，所以gt1， xtgx2gx1x2x1alnx2lnx1，

由g'tgx2gx1lnx2lnx1， 1ax2x1x2x1fx2fx1lnx2lnx1x2x1a ，所以11a，即t

tx2x1lnx2lnx1x2x1x2x112xx1xx2x2x1xx所以要证t1，只要证，只要证1 ，12（0x1x2）

x22lnx2lnx12ln2x1x2x2x221ln只要证1 „„„„„„„„„ 10分

x1x1x1令sx22s－1）＜（＋1s）lns（s1）． 1,，只要证（x1

rs）＝（＋1s）lns－（2s－）1， rslns设（111s11，rs220， ssssrs）所以rs在（1，＋）上为增函数，r10，所以rs0 ，所以（在（1，＋）

r1）＝0，所以（rs）＞0，即（＋1s）lns－（2s－1）＞0，结论得证．12分 递增，（ 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同． 已知曲线C的极坐标方程为2(cossin)，斜率为3的直线l交y轴于点

E(0,1)．

（1）求C的直角坐标方程，l的参数方程；

（2）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA||EB|．

解：（Ⅰ）由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，

22 2 2

即x＋y＝2x＋2y，即(x－1)＋(y－1)＝2．

2

1xt2l的参数方程为（t为参数, t∈R）„„„„„ 5分

y13t21xt2 2 22

（Ⅱ）将，代入(x－1)＋(y－1)＝2得t－t－1＝0，

y13t2解得，t11515，则 ,t222|EA|＋|EB|＝| t1|＋| t2|＝|t1－t2|＝5„„„„„„„ 10分 23．选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)2x12xa （Ⅰ）a=-3时，求不等式 f(x)6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式 f(x)a恒成立，求实数a的取值范围

3x解：（Ⅰ）当a=-3 时，f(x)6 为2x12x3≤6，等价于或22x12x36

31x 或222x1(2x3)61x2，

1x313 ，解得x2或x或2222(2x1)(2x3)6所以不等式f(x)6的解集为[-1，2]；„„„„„„„„„„„„6分 （Ⅱ）因为|2x1||2xa|2x1(2xa)=|1a|，

1 21实数a的取值范围（-，]．„„„„„„„„„„10分

2所以a＜|1a|，解得a