线性网络编码多源多中继协作系统的分集性能

第３１卷第１期　２０１３年１月　应用科学学报　Ｖｂ１．３１　ＮＯ．１　Ｊａｎ．２０１３　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＡＰＰＬＩＥＤ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ－——Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５５－８２９７．２０１３．０１．００２　线性网络编码多源多中继协作系统的分集性能　张海超，　李辉，　戴旭初　中国科学技术大学电子工程与信息科学系，合肥２３００２７　摘　要：为了设计合适的线性网络编码以提高多源多中继系统的分集增益性能，从理论上研究了系统分集增益与　网络编码最小码距的关系，提出以最小码距作为线性网络编码的设计准则．利用经典线性分组码的有关理论和分　析方法，得出了系统的分集增益等于线性网络编码的最小码距这一重要命题，该命题将原网络编码的设计问题转　化为最小码距准则下经典线性分组码的设计问题．另外，根据编码理论的ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界得到了系统最大分集增益与　中继节点数目之间的定量关系．仿真实验表明，增大网络编码的最小码距能够提高系统的分集增益，而系统的最大　分集增益等于中继数加１．　关键词：网络编码；协作通信；最小码距；分集增益　中图分类号：ＴＮ９２５　文章编号：０２５５．８２９７（２０１３）０１—０００７－０８　Ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　Ｍｕｌｔｉ－ｓｏｕｒｃｅ　Ｍｕｌｔｉ－ｒｅｌａｙ　Ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｎｅｔｗｏｒｋ　Ｃｏｄｉｎｇ　ＺＨＡＮＧ　Ｈａｉ—ｃｈａｏ，ＬＩ　Ｈｕｉ，ＤＡＩ　Ｘｕ－ｃｈｕ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ，　Ｈｅｆｅｉ　２３００２％Ｃｈｉｎａ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｄｅｓｉｇｎ　ａ　ｌｉｎｅａｒ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｅ　ａｎｄ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｇａｉｎ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉ—ｓｏｕｒｃｅ　ｍｕｌｔｉ－ｒｅｌａｙ　ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｇａｉｎ　ａｎｄ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｈａｍｍｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｏｆ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｅ，ａｎｄ　ｐｒｏｐｏｓｅｓ　ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｈａｔ　ｕｓｉｎｇ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｈａｍｍｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ａｓ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｅ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｔｈｅｏｒｉｅｓ　ａｎｄ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｃｌａｓｓｉｃ　ｌｉｎｅａｒ　ｂｌｏｃｋ　ｃｏｄｅ，ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｇａｉｎ　ｉｓ　ｅｑｕａｌ　ｔｏ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｈａｍｍｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｉｓ　ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｅ　ｉｓ　ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ　ｔｏ　ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ　ｃｌａｓｓｉｃ　ｌｉｎｅａｒ　ｂｌｏｃｋ　ｃｏｄｅｓ　ｕｎｄｅｒ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｈａｍｍｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．Ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ　ｂｏｕｎｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃ　ｃｏｄｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｙ，ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ａｎｄ　ｒｅｌａｙ　ｎｕｍｂｅｒ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｇａｉｎ　ｉｓ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｈａｍｍｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｇａｉｎ　ｉｓ　ｅｑｕａｌ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｔｏｔａｌ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｒｅｌａｙｓ　ｐｌｕｓ　１．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｉｎｇ，ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，ｍｉｎｉｍｕｍ　ｈａｍｍｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ，ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｇａｉｎ　无线协作分集是一种能够有效对抗信道衰落的通　信道到达目的节点，从而获得分集增益【２－３］．　信技术【１］＿信源节点利用无线信道的广播性质与中继　传统的协作系统以牺牲部分频谱资源为代价来获　节点共享发送信息，形成虚拟的多天线阵列．由于中　取分集增益，导致系统吞吐量下降．针对该问题，可　继节点与信源节点所处的空间位置不同，中继节点到　以采用空时码协作方案［　］和中继选择方案［５】提高频谱　目的节点之间的信道独立于源节点到目的节点之间的　资源利用率．近年来，有学者将网络编码技术应用到　信道，于是可以让携带相同信息的信号经历独立衰落　协作通信中来解决上述问题［６－１２】．文献Ｉ７１将简单的　收稿日期：２０１２—０１—１５；　修订日期：２０１２—０５．２１　基金项目：国家科技重大项目基金（Ｎｏ．２０１０ＺＸ０３００３—００１—０３）；国家自然科学基金（Ｎｏ．４１０７４０５５）；　安徽省高校省级自然科学基金　ｆＮｏ．ＫＪ２０１１Ａ２７５）资助　通信作者：戴旭初，教授，博导，研究方向：通信信号处理、信道估计，Ｅ－ｍａｉｌ：ｄａｉｘｃ＠ｕｓｔｃ．ｅｄｕ．ｃｎ　８　应用科学学报　第３１卷　异或方法应用于分布式天线系统，在辅助移动终端通　信的同时获取分集增益，并被证明比非协作系统有更　１　系统模型　１．１　模型描述及网络编码过程　如图１所示，多源多中继单目的节点的无线协作　好的性能．文献『８１在研究无线传感器网络的族头节　点与族成员节点信息交换时，也采用异或的网络编码　方法，与泛洪广播方法和路由方法相比，网络编码协　作方案能更节省能量和时频资源．而文献ｆ９１采用的　复数域网络编码方法能够提供可观的吞吐量增益．随　网络模型由Ｋ个源节点ｆ　１，　，…，ＳＫ｝、Ｍ个中继　节点｛Ｒ１，Ｒ２，…，ＲＭ｝和单个目的节点Ｄｏ组成．系　统采用频分多址方式实现正交信道．协作传输过程　主要分为源发送数据阶段和中继协作转发阶段，如　图２所示．在这两个不同阶段中，源节点或中继节点　均采用频分方式进行传输，以保证信道的正交性，于　着研究的深入，文献『１０—１１１将有限域网络编码（ｉｆｎｉｔｅ　ｉｆｅｌｄ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｉｎｇ　ＦＦＮＣ１方法弓ｌ入多节点协作模　型，并证明ＦＦＮＣ与简单的二进制域网络编码方法相　比能获得更大的分集增益．　值得注意的是，无论是无线传感器网络中的分　族结构还是蜂窝移动通信中的多用户协作结构，都　可以抽象成如图１所示的多源多中继单目的节点的　协作通信模型．例如，在无线蜂窝网中，基站可以看　作“目的节点”，而相互协作的用户可以看作“源节　点”和“中继节点”；在分族无线传感器网络中，族头　节点可以看作“目的节点”，族成员则构成了相互协　作的“源节点”和“中继节点”．在这种多源多中继　模型下，文献『６—１２１主要研究在特定的网络编码协作　方案下如何获取分集增益以及如何最大化分集增益，　但并未探讨分集增益与网络编码基本性质的关系．其　中文献『１２１在研究网络编码的设计方法时将模型扩　展为多目的节点，并给出了分集复用折中ｆｄｉｖｅｒｓｉｔｙ—　ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ　ｔｒａｄｅｏｆｆ，ＤＭＴ１性能的表达式，以及获　取最大分集增益时网络编码矩阵应满足的充分必要条　件．从编码理论的角度看，网络编码矩阵实际上是线　性分组码的生成矩阵，其性能主要由最小码距决定，　而文献ｆｌ２１并没有将分集增益和最小码距联系起来．　另外，“多目的节点”模型与“单目的节点”模型在网　络编码设计方面没有太大的差异，因而本文以多源多　中继单目的节点作为研究模型，在文献『１２１有关工作　的基础上进一步研究网络编码的最小码距和分集增益　的定量的理论关系．　图１多源多中继单目的节点的协作通信模型　Ｆｉｇｕｒｅ　１　Ｍｕｌｔｉ——ｓｏｕｒｃｅ　ｍｕｌｔｉ—－ｒｅｌａｙ　ａｎｄ　ｓｉｎｇｌｅ　ｄｅｓｔｉ　・　ｎａｔｉｏｎ　ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　是在任意接收节点处，携带不同数据的信号之间不会　相互干扰，有利于接收端进行解调或解码．协作系统　保持帧同步，使得不同源节点发送的数据包同时到达　各个中继节点，以确保所有中继节点对相同的数据包　进行网络编码．中继节点问不必进行协调，每个中继　的网络编码向量可以在协作前预先设置好．中继节点　首先解码出源发送数据，然后对这些数据进行网络编　码，再将编码数据转发给目的节点．由于本文分析系　统的分集增益性能时只需考虑理论上系统的中断概　率，假设源节点和中继节点采用理想的信道编码，即　只要信道容量大于传输速率，接收节点就可以无差错　解码数据，反之则解码错误．　在源发送阶段，每个源节点在正交信道　卜发　送长度为　的数据包ｂｋ＝『ｂｋ１，ｂｋ２，…，ｂｋＬ］１　，其　中　＝１，…，　，数据包中的元素取自有限域　；　在中继转发阶段，只有正确解码所有源节点发送数据　的中继节点才能进行网络编码，这些满足条件的中继　节点利用事先分配好或者随机选取的线性网络编码　向量对源节点发送的数据进行网络编码，再转发给目　的节点．用　＝ｆ　１，　，Ｏｌ２　，…，ＯＬＫ，　］表示第ｍ个　中继节点的网络编码向量，其中ｍ＝１　…，Ｍ，向量　中的元素同样取白有限域　．若第ｍ个中继节点正　确解码所有源节点的数据包，该中继节点利用网络编　码向量对源节点数据包进行网络编码，得到转发数据　包ｒｍ，则ｒ　可以表示为　转发数据包　是所有源发送数据包的合并，通过中　继节点Ｒ　转发给目的节点Ｄ０，这相当于使得所有源　数据经历了一条独立的传输路径．若有多个中继如此　进行网络编码转发，则每个源数据都可以经历多个独　立的传输路径．当不同的传输路径受到衰落影响时，　数据会经历相互独立的衰落，从而使目的节点在解码　时获得分集增益．　第１期　时隙　正　张海超等：线性网络编码多源多中继协作系统的分集性能　９　式中，ｐｓＮＲ表示在接收节点的平均接收信噪比；加　交　频　窒　性噪声ｎｉ，　ＣＮ（０，１）是独立同分布的循环对称复　．　高斯随机变量；信道增益ｈｔ∈Ｃ是相互独立的零　信　道　臣　困源发送数据阶段　匹壅亟　堕　圊中继发送数据阶段　　均值循环对称复高斯随机变量，并且有相同的方　图２协作过程及频率信道分配方案　Ｆｉｇｕｒｅ　２　Ｃｏｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ　ａｎｄｃｈａｎｎｅｌ　ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ　差１／　，ｈｔ．　在发送时间　内保持不变．　对平坦衰落信道，发送信号Ｘｉｆ　）和接收信号　￣ｅｑｕｅｎｃｙ　Ｙｉ，Ｊ（　）之间的互信息量可表示为厶，ｊ＝ｌｏｇ（１＋　Ｊｈｉ，　Ｉ２ＰＳＮＲ）．假设所有链路尝试以速率Ｒ进行传输　并采用理想的信道编码，那么当互信息量厶．ｊ小于传　输速率Ｒ时，链路发生中断，则任意一条链路的中断　为表示整个数据传输过程中源节点发送数据和　目的节点接收码字之间的关系，定义如下网络编码矩　阵［１２］　Ｔ　１…０　Ｏｌｌ，１　…ＯｌＩ，Ｍ　Ｇ＝　０・・・１　．１・一ＯＩＫ．Ｍ　式中，Ｇ是　列Ⅳ行的矩阵，且Ｎ＝Ｋ＋Ｍ，矩　阵Ｇ的元素取白有限域　．矩阵Ｇ的前Ｋ×Ｋ的　单位矩阵表示源节点到目的节点的直传过程，则　剩余Ｍ　Ｘ　Ｋ的子矩阵由中继网络编码向量ｔ，　组　成，表示中继网络编码转发过程．若不考虑链路　中断的影响，目的节点接收到的码字可以用矩阵　表示为Ｑ＝ＧＢＴ，其中Ｂ＝『ｂ１，ｂ２，…，ｂＫ］Ｔ，且　Ｑ＝ｌｂｌ，ｂ２，…，６　，Ｔ１，ｒ２，…，ｒＭＩ　．　矩阵Ｇ定义的网络编码在形式上与系统线性分　组码生成矩阵相同，定义其最小码距　ｄ　ｉ　＝ｍｉｎ｛ｗ（ｘ）：　∈ＣＧ，　≠０）　（３）　式中，ＣＧ表示由矩阵Ｇ定义的非零码字集合，而　表　示其中任意一个非零码字，　（　）表示其汉明重量．根　据式（３）可知，最小码距是所有非零码字的最小汉明　重量，即码字中非零元素的数目．　１．２　信号传输过程及分集增益定义　每个发送节点对长为　的数据包进行信道编码和　调制，然后在　个时隙内将数据包发送完毕，本文考　虑慢衰落信道，即所有信道增益在发送时间Ｔ内保持　不变．另外，假设任意发送节点ｉＮ任意接收节点Ｊ之　间的信道经历的是平坦衰落，且受到加性高斯白噪声　干扰，所有发送节点均以相同的功率进行传输．若节　点ｉ在时刻ｔ的发送信号为Ｘ　（　），则节点Ｊ接收到的　信号表示为　，ｊ（ｔ）＝ｐ，／Ｎ－￣・ｈｉ，ｊｘｉ（ｔ）＋ｎｉ，ｊ（ｔ）　￡＝１，２，…，　概率表示为＿１３Ｊ　＝Ｐ｛Ｚｉ，Ｊ＜Ｒ）＝Ｐ｛ｌｈｉ，ｊ　ｌ＜７－）　＝１一ｅｘｐ（一　７－）≈　７＿　（５）　式中，下＝（２Ｒ一１）／ｐｓＮＲ．在高信噪比条件下，式　ｆ５）中的约等式近似成立．　采用网络编码的多源多中继系统，其数据传输链　路包括直达链路和中继转发链路．当链路以固定的数　据速率传输数据时，这些链路可能受到衰落的影响发　生中断，于是对直达链路和中继转发链路的中断条件　进行如下定义．　定义１直达链路的中断条件和中继转发链路的　中断条件分别为　１）源节点　到目的节点Ｄ０直达链路的中断条　件为／ｓｔＤ０＜Ｒ；　２）经过中继节点Ｒ　的中继链路的中断条件为：　任意源节点到该中继节点链路中断，或者该中继　节点到目的节点链路中断，即　Ｕ　｛　Ｒ，＜Ｒ｝　ｉ＝１，・一，Ｋ　Ｕ｛　Ｄ。＜Ｒ）．　由于受到链路中断的影响，目的节点接收到的不　是完整的Ｑ，而是将Ｑ中与中断链路对应的项删除得　到的　．而　可以表示成　＝　ＢＴ，其中　是编码　矩阵Ｇ中与中断链路对应的行删除得到的子矩阵．当　中断链路数达到一定数量时，有ｒａｎｋ（Ｇ）＜Ｋ，则系　统不能通过解　＝　Ｂ　恢复出源数据，从而导致系　统中断．用Ｐｓ　。表示系统的中断概率，将系统的分集　增益定义为［１３】　Ｄ：ｌｉｍ．－ｌｏｇ￣ｓｙｓ（ＰＳＮＲ）　ｆ６１　ＰＳＮａ￣ｏｏ　ｌｏｇＰＳＮＲ　、　该定义表示当系统的分集增益为Ｊ［）时，系统中的所有　源节点发送的信息都至少能获得分集增益Ｄ．　系统的中断概率一方面与中继提供的独立衰落路　径相关；另一方面与网络编码矩阵Ｇ相关，而Ｇ决定　了多个源节点同时利用中继进行协作的方式．因此，　根据式（６）的定义可知，多源多中继系统的分集增益　１０　应用科学学报　第３１卷　应该是由中继提供的独立衰落路径和网络编码共同实　现的．　下面主要分析系统模型固定时，网络编码协作系　统的分集增益和编码矩阵最小码距的关系．　２　分集增益与最小码距关系　首先介绍关于网络编码矩阵Ｇ的一些定义．　定义２１１２】对于一个　列Ⅳ行的矩阵Ｇ，以　及ｉ∈ｆ１，ｍｉｎ（Ｋ，Ⅳ）１，定义／＇ｉ（Ｇ）＝，ｙ是矩阵Ｇ关　于ｉ的，秩，　满足两个条件：１）矩阵Ｇ的任意　行组　成的子矩阵的秩是ｉ；２）矩阵Ｇ中存在　—１行组成　的子矩阵的秩是ｉ一１．　２．１　秩与最小码距的关系　矩阵Ｇ的，秩是研究分集增益和最小码距关系　的关键．假设Ｖ　ｉ　代表任意一个最小码距码字，该码　字对应的信息向量为Ｕ　ｉ　≠０，Ｖ　ｉ　与Ｕ　ｉ　均为列　向量并且满足方程Ｇｕ　ｉ　：Ｖ　ｉ　．根据最小码距的　定义，码字Ｖ　ｉ　中包含Ｎ—ｄ　ｉ　个零元素，取出这　些零元素对应的方程，组成齐次方程组Ｇｕ　ｉ　＝０．　由于　ｊ　是该齐次方程组的唯一非零解，根据线性　代数理论，必然有ｒａｎｋ（Ｇ）≤Ｋ一１．因此，根据定　义２的第２点，必然有　（Ｇ）＞Ｎ—ｄ　ｉ　．根据以上　分析可以发现，，　（Ｇ）和最小码距存在一定的关系，　下面由命题１给出两者之间的定量关系．　命题１　由　列Ⅳ行的矩阵Ｇ定义的线性网　络编码可知，若其最小码距为ｄ　且矩阵Ｇ关　于　的，秩为，　（Ｇ），则　ｄ　ｉ　＝Ｎ＋ｌ一　（Ｇ）　证明　采用反证法证明等式（７１，可以将证明过程分为　两部分：　１）假设ｄ　ｉ　＜Ｎ＋１一，ｙ　令Ｖ　ｉ　代表矩阵Ｇ定义的任意一个最小码距　码字，且该码字对应的信息向量为ｕ　ｉ　≠０，Ｖ　ｉ　与ｕ　ｉ　均为列向量，且满足方程Ｇｕ　ｉ　＝Ｖ　ｉ　．　根据最小码距码字的定义，在码字Ｖ　ｉ　中包含　有Ｎ—ｄ　ｉ　个零元素．用ＷＺ表示矩阵Ｇ的第ｚ个行　向量，则Ｇ＝　，　，…，　］Ｔ．将码字　ｉ　中零　元素对应的行向量取出得到子矩阵　合＝【加　，　，…，　ｚ　］Ｔ　（８）　则有Ｇｕ　ｉ　＝０．由于Ｇ是Ｎ—ｄ　ｉ　行Ｋ列的子矩　阵，ｒａｎｋ（Ｇ）≤Ｋ；再由前提假设条件已知矩阵　的　行数满足Ｎ—ｄ　ｉ　≥　，于是根据定义２的第１点　可以得到ｒａｎｋ（Ｇ）≥Ｋ，综合上述分析矩阵Ｇ的秩　为Ｋ，则方程Ｇｕ　ｉ　＝０有唯一全零解Ｕ　ｉ　＝０，　这与Ｕ　ｉ　≠０的前提假设矛盾，因此假设ｄｍｉ　＜　Ⅳ＋１～　不成立．　２）假设ｄ　ｉ　＞Ｎ＋１—７　已知线性分组码的任意码字是生成矩阵Ｇ所有　列的线性组合，可以表示为　Ｖ＝Ｕｌｇｌ＋ｕ２９２＋’・　＋“ＫｇＫ　式中，ｇ　为Ｇ的第ｉ列，ｉ∈｛ｌ，２，・一，　）；［　ｌ，ｕ２，・一，　ｔｔＫ１Ｔ表示任意一个信息向量，对于任意的非零信息　向量，ｕ１，札２，…，乱Ｋ不同时为０．　根据，秩的定义可知，矩阵Ｇ中存在一组　一　１个行向量，该组行向量的秩为　一１．设该组行向量　组成的矩阵为　＝［　，叫　。，…，　一］Ｔ　（１０）　于是有ｒａｎｋ（Ｇ）＝Ｋ一１．　设０ｉ为Ｇ的第ｉ个列向量，将矩阵Ｇ表示为列向　量的形式Ｇ＝ｆ０１，０２，…，０Ｋ１．由于矩阵Ｇ是矩　阵Ｇ的子矩阵，则０　是ｇｉ的部分元素组成的向量，　因此，线性组合　＝　１０１＋　２０２＋，…，＋ｕＫＯＫ是　码字Ｖ的部分元素组成的向量．　由于ｒａｎｋ（Ｇ）＝　ｌ，则在列向量０１，０２，…，　Ｋ中只有　一１个　线性无关向量，即０１，０　一，ＯＫ是线性相关的．　此，存在一个非零信息向量　１，，“２，…，ｔｔＫ１Ｔ，使　得　＝“１０ｌ＋ｕ２０２＋…＋ｕＫＯＫ一０．　这表　明　是　一１维的零向量，与其对应的码字Ｖ中至少　包含有　一１个零元素，则码字Ｖ中的非零元素至多　为Ⅳ一（７—１）个，即ｄ（ｖ）≤Ｎ一（　—１）．再根据前　提假设Ⅳ一（　—１）＜ｄ　ｉ　，有ｄ（ｖ）＜ｄｍｉ　．这表明　存在一个非零码字其距离小于最小码距，于是产生矛　盾，假设ｄ　ｉ　＞Ｎ＋１—　不成立．　结合上面两部分的证明，得到ｄ　ｉ　＝Ｎ＋１—　，　命题ｌ得证．　２．２　系统分集增益分析　命题１揭示了最小码距和编码矩阵的，　（Ｇ）之　间的关系，而，Ｋ（Ｇ）又影响系统的分集增益．假设　在一次通信过程中，有ｆ条链路未中断ｆ包括直达链　路和中继转发链路），那么由这ｆ条链路对应的网络　编码向量组成了子矩阵　．目的节点希望通过解方　程　＝　Ｂ　Ｔ‘恢复出源节点数据Ｂ．由于信道衰落的　特性，子矩阵　是随机的，因此当ｒａｎｋ（￣）＜Ｋ时，　目的节点不能从方程虿＝　ＢＴ解出源节点数据Ｂ，　系统就会发生中断．设满足系统中断条件的事件所组　第ｌ期　张海超等：线性网络编码多源多中继协作系统的分集性能　成的集合为Ｏ，用Ｅ表示中断事件，则Ｅ∈０．系统　的中断概率为　Ｐｓ　＝∑ＪＦ）（Ｅ）　Ｅ∈Ｏ　根据分集增益的定义可知，系统的分集增益实际　上由　中随信噪比ＰＳＮＲ衰减最慢的那项Ｐ（Ｅ）决　定，而Ｐ（Ｅ）衰减的快慢与中断链路数目有关．中断　链路数目越少，Ｐ（Ｅ）随ＰｓＮＲ衰减越慢；相反则越快．　令Ｅ￣ｌｏｗ表示中断概率随ＰＳＮＲ衰减最慢的中断事件，　则在高信噪比条件下有　Ｄ：１ｉｍ—－—ｌｏｇＰｓ————ｙｓ（ＰＳＮＲ）　—————。ＰＳＮＲ－－－＋ＯＯ　ｔｏｇ　ｐＳＮａ　ｌ＝”：　ｉ　ａｒ　ｌｏｇＰ（Ｅｓ￣ｏｗ）＿ｐｓＮＲ—　。。——■■———————一　ｌｏｇ　ｐＳＮＲ　（１２）【ｌ　Ｊ　下面通过分析找到Ｐ（Ｅｓｌｏ　）与中断链路数目之　间的联系．根据定义２的第２点可知，当ｆ≤　（Ｇ）　一１时，存在一个子矩阵　，使得ｒａｎｋ（Ｇ）＝Ｋ一１　＜　，系统发生中断．而矩阵　的行数至多为，Ｋ（Ｇ１　—１，故系统的中断链路数目满足　＋　—ｆ≥　＋Ｍ一　（Ｇ）＋１，衰减最慢的Ｐ（Ｅ￣ｌｏｗ）与中断　链路数的下限　＋Ｍ一　（Ｇ１＋１相对应．简单分　析Ｐ（Ｅｓｌ０Ｗ）与　＋Ｍ一　（Ｇ）＋１之间的关系．假设　在　＋Ｍ一，Ｋ（Ｇ）＋１条中断链路中有８条是直达链　路，ｔ条是中继转发链路，则ｓ＋ｔ＝　＋Ｍ一　ｆＧ）＋１．　根据定义１以及式（５）可知，任意一条直达链路的中　断概率为Ｐｎ，而一条中继转发链路中断概率为　ＰＦ＝Ｐ｛ｕ　１，…，Ｋ｛Ｉｓ　ＲＪ＜Ｒ）ｕ｛　Ｄ。＜Ｒ））　＝１一（１一Ｐｏ）　＋　≈（Ｋ＋１）Ｐ０　（１３）　式中，约等号在高信噪比条件下近似成立，在高信噪　比时，衰减最慢的Ｐ（　ｌ。　）为　Ｐ（　ｌ。ｗ）＝　≈（　＋１）　＝（　＋１）　＋Ｍ一，　（Ｇ）＋　（１４）　将式（５）代入式（１４）可得　Ｐ（Ｅｓｌ。　）≈（Ｋ＋１）　（２Ｒ一１）］Ｋ＋Ｍ—ｒｇ（Ｇ）＋　‘ｐｓ　Ｒ。．ｐ　＋Ｍ一　（　…　一　Ｇ）＋　ｆ１５）【Ｊ　根据前面的分析可知，在高信噪比条件下，系统中断　概率Ｐｓ　的衰减速度主要由ＪＦ）（　ｌ０ｗ）决定，而由式　（１５）可知，Ｐ（　１ｏｗ）随指数项ｐｓ－Ｎ（ＫＲ＋Ｍ－－　‘Ｇ）＋　）　衰减，于是Ｐｓｙ　也随指数项ｐｓ－Ｎ（ＫＲ＋Ｍ－－ｒＫ（Ｇ）＋　）进行　衰减．因此，当信噪比ＰＳＮＲ趋于无穷大时，根据分集　增益的定义式ｆ６）有引理１．　引理１［１２】对于　个源节点、Ｍ个中继节点和　单个目的节点组成的协作网络，从矩阵Ｇ中选择线性　合并系数作为网络编码向量进行网络编码，得到系统　的分集增益为　Ｄ＝Ｋ＋Ｍ一　（Ｇ）＋１　（１６）　引理１的详细证明可以参考文献ｆ１２１．　引理１揭示了分集增益和编码矩阵的，　（Ｇ）之　间的关系．对该引理可以进行如下解释：确保系统不　发生中断要求成功传输的链路数满足ｆ≥　（Ｇ），　当所有节点问的接收信噪比趋于无穷大时，每　条链路以固定速率进行通信的中断概率趋于零，　当Ｚ：，　（Ｇ）时即可保证系统不发生中断；而多出　的　＋Ｍ一，　（Ｇ）条链路提供了独立衰落路径，为　系统提供额外的分集增益，所以系统总的分集增益　为　＋Ｍ一　（Ｇ）＋１．　命题２对于　个源节点、　个中继节点和单　个目的节点组成的协作网络，Ⅳ＝　＋Ｍ，采用参　数（　，Ⅳ）的线性分组码设计网络编码，以线性分组码　生成矩阵Ｇ的行向量作为网络编码的线性合并系数，　可以得到如下结论：　１）当由矩阵Ｇ确定的码字最小码距为ｄ　ｉ　时，系统的分集增益为Ｄ＝ｄ　ｉ　；　２１无论怎样设计编码矩阵Ｇ，系统所能获取的最　大分集增益为Ｄ　＝Ｍ＋１．　证明　由命题１和引理１可知，最小码距与分集增益分　别与矩阵的　（Ｇ）有关，联合式（７）和（１６）消去　（Ｇ），易得Ｄ＝ｄ　ｉ　，则命题２中的结论１得证．　另外，无论怎样设计参数为（　，Ⅳ）的线性分组　码，其最小码距都应满足编码理论中的ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界，　即要求最小码距满足ｄ　ｉ　≤Ｊ７ｖ—　＋１＝Ｍ＋１，所以　系统能够获取的分集增益满足Ｄ≤Ｍ＋１．当采用的　网络编码最小码距达到该上限，即ｄｍｉ　＝Ｍ＋１时，　系统获得最大分集增益Ｄ　ａｘ＝Ｍ＋１，结论２得证．　命题２以简洁的形式给出了网络编码的最小码距　和分集增益的关系，该命题将经典编码理论中线性分　组码的最小码距这一重要参数和网络编码在衰落信道　中的分集增益等价起来，于是就可以利用已有的经典　线性分组码的设计方法来设计适合于多源多中继模　型的网络编码．另外，系统能够获取的最大分集增益　为Ｍ＋１，最大分集增益只受到系统模型的限制，若　要获取该最大分集增益，则要求采用的网络编码的最　小码距满足ｄｍｊ　＝Ｎ—Ｋ＋１，最小码距达到该上界　１２　应用科学学报　第３ｌ卷　的码被称为极大最小距离可分码，所以采用极大最小　距离可分码设计网络编码，从而使系统获取最大分集　增益．　Ｋ：３和Ｍ＝４，采用的编码矩阵分别为　分析和研究上述分集增益和网络编码之间的最小　码距关系，得到以下几点结论：　１１多源多中继系统所采用的网络编码的最小码　距决定了系统能够获取的分集增益大小，即网络编码　方法一旦确定，系统的分集增益随之确定，于是可以　将最小码距作为网络编码的设计准则，通过提高最小　码距来提高系统的分集增益；　２１由于受到系统协作模型的限制，系统分集增益　不能无限制的提高，其上限只与模型中的中继节点数　目有关；　３１若希望获取最大分集增益，则要求采用的网　络编码的最小码距满足ｄｍｉ　＝Ｎ—Ｋ＋１，满足上　述条件的编码（Ⅳ，Ｋ，ｄ　ｉ　）称为极大最小距离可分码．　ＲＳ码是一种具有固定代数结构的极大最小距离可分　码，对于源节点数目和中继节点数目满足ＲＳ码结构　的多源多中继协作系统，可以直接采用系统ＲＳ码作　为网络编码向量；对于源节点数目和中继节点数目不　满足ＲＳ码结构的情况，则可以用柯西矩阵或者范德　Ｇ　２　Ｇ　Ｇ　４　蒙德矩阵设计编码矩阵Ｇ的非单位阵部分，使得矩阵　＝　＝　＝　，，，．．．．．．．．．．。，，，Ｊ＿ＩＩｌ●＿＿－ＩＩＩ，，，．．．．．．．。。．一／　、＼　满足极大最小距离可分码的性质．一，／　１　０　０　ｌ　０　　Ｏ　１　Ｏ　０　３仿真实验及分析　０　１　０　０　１　Ｏ　０　１　０　０　０　１　Ｏ　０　１　０　０　１　３．１　仿真参数和方法　１　Ｏ　０　１　１　０　１　１　Ｏ　仿真实验中取所有节点问的信道系数ｈ　１　１　０　Ｏ　１　１　，　是　ｌ　Ｏ　１　相互独立的零均值循环对称复高斯随机变量，且　０　１　０　１　ｌ　０　Ｏ　１　１　方差１／／３＝ｌ；而所有噪声为高斯白噪声且功率　同为１．任意发送节点以Ｒ＝１的速率传输数据，Ｏ　１　１　１　１　１　、、●●　●／、、●●●●／　　当厶　＜Ｒ时，节点ｉ到节点Ｊ的信道发生中断．Ｔ　Ｔ　Ｔ　　根据式ｆ６）的定义可知，系统的分集增益与中断　概率曲线在高信噪比处的斜率成正比，而采用不同　网络编码矩阵Ｇ的系统的中断概率是不同的，于是　就可以通过仿真系统的中断概率与信噪比关系曲线　来验证系统分集增益和矩阵Ｇ之间的最小码距关系．　系统的中断概率可以利用蒙特卡罗方法来获得．在　仿真中，首先随机生成所有链路的信道系数，并根　据定义１判断直达链路和中继转发链路的中断情况；　然后根据中断情况删除矩阵Ｇ里中断链路对应的行，　得到子矩阵　；最后，由目的节点判断是否能从方　程　：　ＢＴ中解出Ｂ，若不能恢复出Ｂ，则系统发　生中断．如此反复，即可统计出系统的中断概率．　３．２仿真结果分析　实验１　系统的分集增益与最小码距的关系　在该仿真实验中，源节点数和中继节点数分别为　Ｔ　０　１　６　６　０　１　４　５　１　１　３　２　式中，编码矩阵Ｇ２、Ｇ３和Ｇ４对应的最小码距分别　为２、３和４，并且矩阵元素均取白Ｆ２，而编码矩阵　Ｇ　是最小码距为５的系统ＲＳ码，矩阵元素取自　．　图３所示的是编码矩阵分别为Ｇ２、Ｇ３、Ｇ４和Ｇ５时，　系统的中断概率与信噪比关系的仿真曲线．　系统的分集增益可以由中断概率曲线在高信噪　比处的斜率计算得到．计算方法如下，在同一条中断　概率曲线的高信噪比处取两点（Ｐ１，ＰＳＮＲ一１）和（Ｐ２，　ｌｆＳＮＲ一２），则计算分集增益公式为　Ｄ＝『一￣ｏ（１ｇ　Ｐ１一ｌｇ　Ｐ２）／（ｐｓ￣Ｒ一１一ＰＳＮＲ一２）］（１７）　式中，『．］表示向上取整运算．　根据Ｇ２、Ｇ３、Ｇ４和Ｇ５对应的仿真曲线计算　分集增益，得到分集增益分别为２、３、４和５，恰好　与Ｇ２、Ｇ３、Ｇ４和Ｇ５的最小码距相等，这验证了分　集增益等于最小码距这一结论．　另外，值得注意的是，对于Ｋ：３和Ｍ＝４的系　统，当网络编码矩阵取自二进制域时，其最小码距的　上限为４，对应的矩阵为Ｇ　．而根据命题２可知，系　统能够达到的最大分集增益为Ｍ＋１＝５，编码矩阵　在二进制域下受到域阶数的限制，最小码距不能扩　大，所以分集增益不能达到这个上限．将编码矩阵元　素域扩展到ＦＲ，在该有限域上可以设计出最小码距更　大的编码矩阵Ｇ５．矩阵Ｇ５恰好为极大最小距离可分　码，则根据Ｇ　进行网络编码能够获得系统的最大分　集增益．　第１期　张海超等：线性网络编码多源多中继协作系统的分集性能　１３　一　～㈦　苦暑　时　０工ｄ　拿０　一㈠　）　…㈠　式中，编码矩阵ＧＭ２、Ｇ％、Ｇ　和Ｇ　代表的均　为极大最小距离可分码，能够使系统获得最大分集增　益，这些编码矩阵的最小码距分别为３、４、５和６，矩　阵中的元素均取自有限域　．图４给出了中继节点　数　分别取２、３、４和５，且不同的Ｍ对应的编码矩　阵分别为Ｇ　、ＧＭ３、ＧＭ４和Ｇ慨时，系统的中断　概率与信噪比关系的仿真曲线．　ＳＮＲ／ｄＢ　图３系统中断概率（Ｋ＝３，Ｍ：４）　Ｆｉｇｕｒｅ　３　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｕｔａｇｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ（Ｋ＝３，Ｍ＝４）　系统分集增益的计算方法与实验１中相同．经　计算可以得出图４中４条曲线所示的分集增益分别　为３、４、５和６，恰好等于相应的中继数加１．该仿真　实验验证了最大分集增益等于中继数加１的结论，同　时也表明采用最大化最小码距的网络编码方法ｆ极大　最小距离可分码），系统均能够获得最大分集增益．　图４系统中断概率（Ｋ＝３，Ｍ＝２＾一５）　Ｆｉｇｕｒｅ　４　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｕｔａｇｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ（Ｋ＝３，Ｍ＝　２　５）　４　结　语　本文分析了在衰落信道条件下，多源多中继协作　通信系统采用线性分组码设计网络编码时，系统的　分集增益性能．多源多中继网络编码系统利用中继的　独立衰落路径转发数据获取分集增益，同时利用网络　编码将源节点数据关联起来，提高了系统频谱效率．　本文通过对最小码距和分集增益的研究，得出网络　编码最小码距和系统能够获取分集增益之间的关系　为Ｄ＝ｄ　｜ｎ．根据该结论，只要选择适当最小码距的　线性分组码来设计网络编码，就可以获得相应的分集　增益．另外，系统分集增益上限由系统的中继节点数　目决定，系统获取最大分集增益需要最大化网络编码　的最小码距，即采用极大最小距离可分码来设计网络　编码．值得指出的是，当系统的源节点和中继节点数　目比较多时，有限域的阶数也相应较大，这会增加系　统编解码的复杂度．因此，如何降低有限域网络编码　的编解码的复杂度是一个值得进一步研究的问题．　参考文献：　…ＳＥＮＤＯＮＡＲＩＳ　Ａ、ＥＲＫＩＰ　Ｅ，ＡＡＺＨＡＮＧ　Ｂ．Ｕｓｅｒ　ｃｏｏｐｅｒ—　ａｔｉｏｎ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ：ｐａｒｔ　Ｉ　ａｎｄ　ｐａｒｔ　ＩＩ　ｌＪＩ．ＩＥＥＥ　ｎａｎｓａｃ—　ｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２００３，５１ｆ１１１：１９２７－１９３８．　１２ｌ　ＬＡＮＥＭＡＮ　Ｊ　Ｎ，ＴＳＥ　Ｄ　Ｎ　Ｃ，ＷＯＲＮＥＬＬ　Ｇ　Ｗ．Ｃｏｏｐ—　ｅｒａｔｉｖｅ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｉｎ　ｗｉｒｅｌｅｓｓ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ：ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｐｒｏｔｏ－　ｃｏｌｓ　ａｎｄ　ｏｕｔａｇｅ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ＩＪ１．ＩＥＥＥ　Ｔ　ａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００４，５０（１２）：３０６２．３０８０．　ｆ３ｌ彭玉旭，唐舟进．两跳多点合作中继通信系统性能分析　【Ｊ１．应用科学学报，２０１１，２９（２）：１２９．１３２．　ＰＥＮＧ　ＹＵＸＵ，ＴＡＮＧ　Ｚｈｏｕ　．ｉｉｎ　Ｐｅｒｆ．ｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｗｏ－ｈｏｐ　１４　应用科学学报　第３ｌ卷　ｍｕｌｔｉ—ｐｏｉｎｔ　ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　ｒｅｌａｙ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　ｓｙｓ—　ｔｅｍｓ　ｆＪ１．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１１，２９（２）：　１２９—１３２．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　Ｈｕｏ　Ｐ，ＣＡＯ　Ｌ，ＯＢＩＥＤＡＴ　Ｅ．Ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　ｃｏｍｍｕ—　ｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｓｏｕｒｃｅｓ　ａｎｄ　ｒｅｌａｙｓ　ｉｎ　ａｃｌ—ｈｏｃ　【９９】　ＬＩ　Ｇ　Ｂ，ＣＡＮＯ　Ａ，ＧＯＭＥＺ—ＶＩＬＡＲＤＥＢＯ　Ｊ，ＧＩＡＮＮＡＫＩＳ　Ｇ　Ｂ，ＰＥＲＥＺ—ＮＥＩＲＡ　Ａ　Ｉ．Ｈｉｇｈ—ｔｈｒｏｕｇｈｐｕｔ　ｍｕｌｔｉ—　ｓｏｕｒｃｅ　ｃｏｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｖｉａ　ｃｏｍｐｌｅｘ－ｆｉｅｌｄ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｉｎｇ　【Ｊ１．ＩＥＥＥ　ｒａｎｓＴａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，　２０１１，１Ｏ（５）：１６０６—１６１７．　【１０】ＸＩＡＯ　Ｍ，ＳＫＯＧＬＵＮＤ　Ｍ．Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｅｓ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ—ｕｓｅｒ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ－ｒｅｌａｙ　ｗｉｒｅｌｅｓｓ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｌＣ］／／Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　Ｎｅｔｗｏｒｋｉｎｇ　ａｎｄ　Ｍｏｂｉｌｅ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　（ＷｉＣＯＭ），２０１０：１－４．　１５ｌ　ＢＬＥＴＳＡＳ　Ａ，ＫＨＩＳＴ｜Ａ，ＲＥＥＤ　Ｄ　Ｐ，ＬＩＰＰＭＡＮ　Ａ．Ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｎｅｔ—　｛Ｃ］／／ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００９：２５６２—２５６６．　ｗｏｒｋ　ｐａｔｈ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｆＪ１．ＩＥＥＥ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｎ　Ｓｅｌｅｃｔｅｄ　Ａｒｅａｓ　ｉｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２００６．２４（３１：６５９—６７２．　【１１１　ＸＩＡＯ　Ｍ，ＳＫＯＧＬＵＮＤ　Ｍ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ—ｕｓｅｒ　ｃｏｏｐｅｒａ－　ｔｉｖｅ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｉｎｇ　Ｊ６Ｉ　ＸＩＡＯ　Ｌ，ＦＵＪＡ　Ｔ，ＫＬＩＥＷＥＲ　Ｊ，ＣＯＳＴＥＬＬＯ　Ｄ．Ａ　【Ｊ１．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０，　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｉｎｇ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　『Ｊ】．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００７，　５３（１０）：３７１４－３７２２．　Ｊ７Ｉ　ＣＨＥＮ　Ｙ　Ｄ，ＫＩＳＨＯＲＥ　Ｓ，ＬＩ　Ｊ．ｗｉｒｅｌｅｓｓ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｉｎｇ【ＣＩ／／ＩＥＥＥ　Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　Ｃｏｍ—　ｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ｎｅｔｗｏｒｋｉｎｇ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．２００６．３：　１６８１—１６８６．　ＩｓＪ　ＸＩＯＮＣ　Ｚｈｉｑｉａｎｇ，Ｌｗ　Ｗｅｉ，ＨＵＡＮＧ　Ｊｉａｑｉｎｇ，ＣＨＥＮＧ　Ｗｅｎｑｉｎｇ，ＣＨＥＮＧ　Ｂｏ．Ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｉｎｇ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｉｎｔｒａ－ｃｌｕｓｔｅｒ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｅｘｃｈａｎｇｅ　ｉｎ　ｓｅｎｓｏｒ　ｎｅｔ—　ｗｏｒｋｓ【Ｃ］／／ＩＥＥＥ　６６ｔｈ　Ｖｅｈｉｃｕｌａｒ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｃｏｎｆｅｒ—　ｅｎｃｅ（ＶＴＣ），２００７：１６４—１６８．　５８（１２）：３３４５—３３５１．　【１２　Ｊ　ＴＯＰＡＫＫＡＹＡ　Ｈ，ＷＡＮＧ　Ｚ　Ｄ．Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｄｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｕｓｉｎｇ　ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ—　ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ　ｔｒａｄｅｏｆｆ【Ｊ１．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１１，５９（２）：４８８—４９６．　ＴｓＥ　Ｄ　Ｎ　Ｃ，ＶＩＳＷＡＮＡＴＨ　Ｐ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ　ｏｆ　Ｗｉｒｅ—　ｌｅｓｓ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　ｆＭＩ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，２００５．　（编辑：秦巍）