2020版高考数学(理)刷题小卷练16

刷题增分练⑯ 小题基础练提分快 一、选择题 1．[2019·长沙模拟]已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为ππa，b，c，若A＝6，B＝4，a＝1，则b＝( ) A．2 B．1 C.3 D.2 答案：D 2asinB2解析：由正弦定理得b＝sinA＝1＝2. 22．[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，a2＋b2－c2c.若△ABC的面积为，则C＝( ) 4ππA.2 B.3 ππC.4 D.6 答案：C a2＋b2－c22abcos C11解析：∵S＝2absin C＝＝＝2abcos C，∴ sin C44＝cos C，即tan C＝1. π∵ C∈(0，π)，∴ C＝4. 故选C. π3．在△ABC中，已知C＝3，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝( ) A．27 B.7 C．22 D．23 答案：D 13解析：由S＝2absinC＝2a×2＝23，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝23. 4．[2019·广东广雅中学、江西南昌二中联合测试]已知a，b，c

为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinCsinA＝( ) A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2 答案：C 解析：由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC,3sinA＝sinC，所以sinC：sinA＝3：1.故选C. 5．[2019·成都摸底测试]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为( ) ππA.2 B.3 ππC.4 D.6 答案：A 解析：由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝3sinCcosB，∴sin2CcosC＝13sinCcos2C，∴2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，求得tan2C＝3.∵B＝2C，3πππ∴C为锐角，∴tanC＝3，∴C＝6，B＝3，A＝2.故选A. 6．[2019·甘肃西北师范大学附属中学诊断]在△ABC中，内角A，a2＋b2－c2B，C的对边分别是a，b，c，其面积S＝，则C的大小是( ) 4A．30° B．90° C．45° D．135° 答案：C a2＋b2－c22abcosC1解析：由题意及余弦定理得S＝＝4＝2absinC，4故tanC＝1，而C∈(0，π)，因此C＝45°.故选C. 7．[2019·安徽皖江名校大联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝( ) A．2 B．4－23 C．4＋23 D.6－2 答案：A 解析：在△ABC中，由a＝c知△ABC为等腰三角形，所以b＝

6－22c·cosA＝2×(6＋2)×4＝2.故选A. 8．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( ) A．56 m B．153 m C．52 m D．156 m 答案：D 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. BC30由正弦定理得sin30°＝sin135°，解得BC＝152(m)． 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156(m)． 二、非选择题 9．[2019·湖南长沙模拟]△ABC的周长等于2(sinA＋sinB＋sinC)，则其外接圆半径等于________． 答案：1 解析：设外接圆半径为R，已知2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋b＋c，得＝2①.根据正弦定理知a＋b＋c＝2RsinA＋2RsinbsinA＋sinB＋sinCa＋b＋c＋2Rsinc，代入①式得2R＝2，即R＝1. 10．[2019·上海杨浦区模拟]若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，则△ABC面积的最大值是____________． 答案：1 1解析：在△ABC中，∵C＝30°，a＋b＝4，∴△ABC的面积S＝2111a＋b21ab·sinC＝2ab·sin30°＝4ab≤4×＝4×4＝1，当且仅当a＝b＝22时取等号．因此△ABC面积的最大值是1.

11．[2019·上海长宁、嘉定区模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________. 2π答案：3 解析：因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，整理得a2＋c2－b2＝－ac，a2＋c2－b2112π所以2ac＝－2，即cosB＝－2又B∈(0，π)，所以B＝3. 12．[2019·贵阳监测]△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asinB＝3bcosA，则△ABC面积的最大值是________． 答案：43 解析：由正弦定理可得sinAsinB＝3sinBcosA，得sinA＝3cosA，π则tanA＝3，所以在△ABC中，A＝3.又a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，所以bc≤16(当且仅当b＝c时取等号)．所以113S△ABC＝2bcsinA≤2×16×2＝43，所以△ABC面积的最大值为43. 刷题课时增分练⑯ 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题 1．[2019·河北联考]△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，1b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝2asinC，则sinB的值为( ) 73A．－4 B.4 71C.4 D.3 答案：C 122解析：由正弦定理，得b－a＝2ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，a2＋c2－b237所以cosB＝2ac＝4，所以sinB＝4. sinAa2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB＝c，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )

A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 答案：C sinAaaa解析：∵sinB＝c，∴b＝c，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2bc1∴cosA＝2bc＝2bc＝2. π∵A∈(0，π)，∴A＝3，∴△ABC是等边三角形． 3．[2019·赣州模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosA＝bcosC＋ccosB，b＋c＝4，则a的最小值为( ) A．2 B．22 C．3 D．23 答案：A 解析：由题意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝b2＋c2－a2b＋c2－2bc－a21sinA，故cosA＝2，由余弦定理得cosA＝2bc＝2bc1＝2， b＋c2所以a＝16－3bc≥16－3×2＝4(当且仅当b＝c＝2时，等2号成立)，所以a的最小值为2.故选A. π4．[2019·天津河东区模拟]在△ABC中，b＝5，B＝4，tanA＝2，则a的值是( ) A．102 B．210 C.10 D.2 答案：B sinA解析：∵在△ABC中，tanA＝cosA＝2，sin2A＋cos2A＝1， 25πa5∴sinA＝5.由b＝5，B＝4及正弦定理可得＝，解得a＝25252210.故选B. 5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC

22＝3，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆的面积为( ) A．4π B．8π C．9π D．36π 答案：C 解析：因为bcosA＋acosB＝2，所以由余弦定理可得，b2＋c2－a2a2＋c2－b222b×2bc＋a×2ac＝2，整理解得c＝2，又cosC＝3，可得sinC＝11－cosC＝3.设△ABC的外接圆的半径为R，则2R＝2c2＝6，所以R＝3，所以△ABC的外接圆的面积S＝πR＝9π. sinC6．已知△ABC的一个内角为120°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝b＋4，c＝b－4，则△ABC中最小角的余弦值为( ) 49A.7 B.14 1311C.14 D.14 答案：C 解析：因为a＝b＋4，且c＝b－4，所以A>B>C，则A＝120°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b×(b－a2＋b2－c21314)×－2，得b＝10，所以a＝14，c＝6，cosC＝2ab＝14，故选C. 7．[2019·广东佛山教学质量检测]在△ABC中，内角A，B，C的π11对边分别为a，b，c.若a＝5，B＝3，cosA＝14，则△ABC的面积S＝( ) 103A.3 B．10 C．103 D．203 答案：C 1153ab解析：由cosA＝14得sinA＝14，由正弦定理得sinA＝sinB⇒b43＝7，又sinC＝sin(A＋B)＝7，

143所以△ABC的面积S＝2×5×7×7＝103. 8．[2019·河南联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，π3sin2Cb，c.若A＝3，cosC＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝( ) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：C 213sinC22222解析：由余弦定理得a＝b＋c－2bc×2＝b＋c－bc，又cosCa2＋b2－c2＝2sinAsinB，由正弦定理可得3c2＝2ab·2ab，即a2＋b2－4c2＝0， 则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0，又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4，c＝－6(舍)．故选C. 二、非选择题 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，则c＝________. 答案：10 解析：因为a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，所以a＋b1＝23，ab＝2，又2cos(A＋B)＝1，所以cosC＝－2，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab＝10，得c＝10. 10．[2019·郑州模拟]如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米． 答案：60

30－10330－103AB解析：在Rt△ABM中，AM＝sin15°＝sin15°＝＝6－24206，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝AC30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以sin105°＝AM206＝，所以AC＝60＋203，所以CN＝30＋103，所sin∠ACMsin30°以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60. 11．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC. BDAB解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝， sin∠Asin∠ADB522即sin 45°＝，所以sin∠ADB＝5. sin∠ADB223由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ 1－25＝5. 2(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝5. 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－22BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×5＝25， 所以BC＝5.