最新重庆市中考适应性数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．
1．我国雾霾天气多发，PM2.5颗粒被称为大气污染的元凶，PM2.5是指直径小于或等于2.5微米的颗粒物，即0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．2.5×10﹣7 2．函数y=
B．25×10﹣7 C．2.5×10﹣6
D．0.25×10﹣5
中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≥﹣3 3．下列计算正确的是（ ） A．x3+x3=x6 B．m2•m3=m6
C．3
﹣
=3 D．
×
=7
4．世界上因为有圆，万物才显得富有生机，请观察生活中美丽和谐的图案：其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO=PO，若∠C=50°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．15° D．50°
6．某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示： 决赛成绩/分 95 90 85 80 人数 4 6 8 2
那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（ ） A．85，90 B．85，87.5 C．90，85 D．95，90
7．关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ） A．2 B．3 C．1 D．4
8．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．
10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
11．如图，平面直角坐标系中，∠ABO=90°，将直角△AOB绕O点顺时针旋转，使点B落在x轴上的点B1处，点A落在A1处，若B点的坐标为（），则点A1的坐标是（ ） A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5）
12．如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（ ）
A．16 B． C． D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 13．计算： = ．
14．分解因式：2a3﹣8a2+8a= ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、BC中点，则三角形BEF与多边形EFCDA的面积之比为 ．
16．如图，在扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
17．从﹣2，﹣1，﹣，0，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程的解为非负数，且满足关于x的不等式组只有三个整数解的概率是 ．
18．边长为1的正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接线段CE交BD于点F，点M为线段CE延长线上一点，且∠MAF为直角，则DM的长为 ．
三、解答题：本大题2个小题，共14分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
19．在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF=AD． 求证：∠BAE=∠CDF．
20．我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中b班征集到作品 件，请把图2补充完整；
（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ （3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率．
21．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
22．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵（）2≥0，∴a﹣2，∴a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立．
结论：在a+b（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b， 当且仅当a=b时，a+b有最小值2． 根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x= 时，4x+有最小值为 ． （2）探索应用：如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣3），点P为双曲线y=（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=取到最大值，最大值为多少？
五、解答题：本大题共2个小题，每小题12分，共24分，解答时写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
25．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：AG=FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．
26．如图所示，对称轴是x=﹣1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；
（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．
1．我国雾霾天气多发，PM2.5颗粒被称为大气污染的元凶，PM2.5是指直径小于或等于2.5微米的颗粒物，即0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．2.5×10﹣7
B．25×10﹣7 C．2.5×10﹣6
D．0.25×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6． 故选C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2．函数y=
中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≥﹣3
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，3﹣x＞0， 解得x＜3． 故选B．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．下列计算正确的是（ ） A．x3+x3=x6 B．m2•m3=m6
C．3
﹣
=3 D．
×
=7
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，进行计算，即可选出答案． 【解答】解：A、x3+x3=2x3，故A选项错误； B、m2•m3=m5，故B选项错误； C、3﹣D、×故选：D．
=2=
，故C选项错误；
=7，故D选项正确．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的乘法，关键是熟练掌握各种计算的计算法则．
4．世界上因为有圆，万物才显得富有生机，请观察生活中美丽和谐的图案：其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，符合条件的只有第一个图形． 【解答】解：只有第一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，第二、三个是轴对称图形，第四个既不是轴对称图形也不是中心对称图形．故选A． 【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO=PO，若∠C=50°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．15° D．50°
【分析】根据AB∥CD，CP交AB于O，可得∠POB=∠C，再利用AO=PO，可得∠A=∠P，然后即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，CP交AB于O， ∴∠POB=∠C， ∵∠C=50°， ∴∠POB=50°， ∵AO=PO， ∴∠A=∠P， ∴∠A=25°． 故选：A．
【点评】此题主要考查学生对平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．要求学生应熟练掌握．
6．某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示： 决赛成绩/分 95 90 85 80 人数 4 6 8 2
那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（ ） A．85，90 B．85，87.5 C．90，85 D．95，90
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数． 【解答】解：85分的有8人，人数最多，故众数为85分； 处于中间位置的数为第10、11两个数， 为85分，90分，中位数为87.5分． 故选B．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7．关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ） A．2 B．3 C．1 D．4
【分析】首先利用因式分解法求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解，再把x的值代入方程ax2+bx+c=3即可求出a+b+c的值． 【解答】解：∵方程（x﹣1）（x﹣4）=0， ∴此方程的解为x1=1，x2=4，
∵关于x的方程ax2+bx+c=3与方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同， ∴把x1=1代入方程得：a+b+c=3，
故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识，解答本题的关键是求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的两根，此题难度不大．
8．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】连接OE、OB，延长EO交AB于F，设⊙O的半径为R，则OF=2﹣R，再由勾股定理即可求出R的值．
【解答】解：连接OE、OB，延长EO交AB于F； ∴E是切点， ∴OE⊥CD，
∴OF⊥AB，OE=OB； 设OB=R，则OF=2﹣R，
在Rt△OBF中，BF=AB=×2=1，OB=R，OF=2﹣R， ∴R2=（2﹣R）2+12， 解得R=． 故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形、圆及直角三角形的性质，涉及面较广，但难度适中．根据题意作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：由题意，可得BE与AC交于点P． ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小． ∵正方形ABCD的面积为12， ∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=2．
故所求最小值为2． 故选B．
【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．
10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
【分析】易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．
【解答】解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）； 乙的速度为：500÷100=5（米/秒）； b=5×100﹣4×=92（米）； 5a﹣4×（a+2）=0， 解得a=8，
c=100+92÷4=123（秒）， ∴正确的有①②③． 故选：A．
【点评】考查一次函数的应用；得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键．
11．如图，平面直角坐标系中，∠ABO=90°，将直角△AOB绕O点顺时针旋转，使点B落在x轴上的点B1处，点A落在A1处，若B点的坐标为（坐标是（ ）
），则点A1的
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5）
【分析】要求A1坐标，须知OB1、A1B1的长度，即在△AOB中求OB、AB的长度．作BC⊥OA于点C，运用射影定理求解． 【解答】解：作BC⊥OA于点C． ∵B点的坐标为（
），∴OC=
，BC=
．
∴根据勾股定理得OB=4； 根据射影定理得，OB2=OC•OA， ∴OA=5，∴AB=3． ∴OB1=4，A1B1=3． ∵A1在第四象限， ∴A1（4，﹣3）． 故选B．
【点评】此题关键是运用勾股定理和射影定理求相关线段的长度，根据点所在位置确定点的
坐标．
12．如图，点A在双曲线
的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在
x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（ ）
A．16 B． C． D．9
【分析】由AE=3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k=ab，AB=a，OC=2AB=2a，BD=OD=
△ABD+S△ADC+S△ODC得
b，利用S梯形OBAC=S
，即可
（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b，整理可得ab=
得到k的值．
【解答】解：连DC，如图，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3， ∴△CDE的面积为1， ∴△ADC的面积为4， 设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a， 而点D为OB的中点， ∴BD=OD=b，
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b， ∴ab=
，
，
把A（a，b）代入双曲线y=∴k=ab=故选B．
．
【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 13．计算：
= 16 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而求出答案． 【解答】解：
=8+8=16．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
14．分解因式：2a3﹣8a2+8a= 2a（a﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：2a3﹣8a2+8a， =2a（a2﹣4a+4）， =2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、BC中点，则三角形BEF与多边形EFCDA的面积之比为 1：7 ．
【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，求出△ABC≌△CDA，求出S△ABC=S△CDA=S平行四边形ABCD，根据三角形的中位线性质得出EF=AC，EF∥AC，求出△BEF∽△BAC，求出【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， 在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
=，即可得出答案．
∴S△ABC=S△CDA=S平行四边形ABCD，
∵点E、F分别为AB、BC中点， ∴EF=
AC，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC， ∴
=（
）2=
，
∴=，
∴三角形BEF与多边形EFCDA的面积之比为1：7． 故答案为：1：7．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定的应用，能求出△BEF∽△BAC是解此题的关键．
16．如图，在扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是
﹣2
（结果保留π）．
【分析】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，根据∠AOB=120°，C为弧AB的中点可
知AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD的长，由S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC即可得出结论． 【解答】解：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D， ∵∠AOB=120°，C为弧AB的中点， ∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°，
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形． ∵AO=2，
∴AD=OA•sin60°=2×
=
．
﹣2××2×
=
﹣2
．
∴S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
17．从﹣2，﹣1，﹣，0，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程是
．
的解为非负数时a的值，满足关于x的不等式组
的解为非负数，且满足关于x的不等式组
只有三个整数解的概率
【分析】首先求得关于x的方程
有三个整数解时a的值，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵关于x的方程∴x=
≥0，
的解为非负数，
∴1﹣a＞0， ∴a=﹣2、﹣1、﹣
、0；
有三个整数解，
∵满足关于x的不等式组即a＜x≤2有三个整数解； ∴使得关于x的方程程
的解为非负数，且满足关于x的不等式组
有三个整数解的有1个，
∴使得关于x的方程的解为非负数，且满足关于x的不等式组
有三个整数解的概率是：
．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用、分式方程解的情况以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．边长为1的正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接线段CE交BD于点F，点M为线段CE延长线上一点，且∠MAF为直角，则DM的长为
．
【分析】作MN⊥AD，先证明MA=ME，进而求出AN=NE=，利用MN∥CD得求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM． 【解答】解：作MN⊥AD垂足为N． ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°， ∵BF=BF，
在△BFA与△BFC中，
，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM， ∵∠MAF=∠BAD=90°， ∴∠BAF=∠MAE， ∴∠MAE=∠AEM， ∴MA=ME， ∵AE=ED=∴AN=NE=
AD=AE=
， ，
=，
∵∠MNE=∠CDE=90°， ∴MN∥CD， ∴
=
=
，
∵CD=1， ∴MN=
，
，DN=
，
在RT△MND中，∵MN=
∴DM=故答案为故答案为：
． ．
==，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行成比例的性质、勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
三、解答题：本大题2个小题，共14分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19．解分式方程：
．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：原方程可化为3（3x﹣1）﹣4x=7， 整理得：5x=10， 解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解， 则原方程的解为x=2．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要进行检验．
20．在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF=AD． 求证：∠BAE=∠CDF．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，进而可得∠ABE=∠DCF，然后再证明BE=CF，利用SAS定理可证明△BAE≌△CDF，进而可得结论∠BAE=∠CDF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD， ∴∠ABE=∠DCF， 又∵EF=AD， ∴BC=EF， ∴BE=CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△CDF（SAS）， ∴∠BAE=∠CDF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等且平行．
四、解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 21．先化简，再求值：
，其中x、y是方程组
的解．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x、y的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=
÷
+
===由
•+ ， 可得
，代入原式=
+
=1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 12 件，其中b班征集到作品 3 件，请把图2补充完整； （2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ （3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率．
【分析】（1）由全面调查和抽样调查的定义可知王老师采取的调查方式是抽样调查；由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：5÷
=12（件），B作品的件数为：12﹣2﹣5
﹣2=3（件）；继而可补全条形统计图；
（2）四个班平均每个班征集作品件数=总数÷4，全校作品总数=平均每个班征集作品件数×班级数；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查；所调查的4个班征集到的作品数为：5÷
=12（件），B作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3（件）；
补全图2，如图所示：
（2）12÷4=3，3×20=60； （3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽中一男一女的有12种情况， ∴恰好抽中一男一女的概率为：
=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
【分析】过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可． 【解答】解：如图，过点A作AF⊥DE于F， 则四边形ABEF为矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3米， 设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=在Rt△ABC中， ∵
=
，AB=3，
=
x，
∴BC=3，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3， ∴AF=
=
（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE， ∴
（x﹣3）=3
+
x，
解得x=9（米）．
答：树高为9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
24．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵（
）2≥0，∴a﹣2
，∴a+b，
≥2，当且仅当a=b时，等号成立． 结论：在a+b（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b当且仅当a=b时，a+b有最小值2． 根据上述内容，回答下列问题： （1）若x＞0，只有当x=
时，4x+有最小值为 12 ．
（2）探索应用：如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣3），点P为双曲线y=（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=
取到最大值，最大值为多少？
【分析】（1）直接利用a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立；求解即可求得答案；
（2）首先设P（x，），则C（x，0），D（0，），可得S四边形ABCD=AC•BD=（x+2）（+3），然后利用a+b≥2（3）首先将原式变形为y=【解答】解：（1）∵4x+≥2×∵x＞0， ∴x=，
∴若x＞0，只有当x=时，4x+有最小值为12； 故答案为：，12；
（2）设P（x，），则C（x，0），D（0，），
，当且仅当a=b时，等号成立求解即可求得答案；
=
，继而求得答案．
=12，当且仅当4x=时，等号成立，
∴BD=+3，AC=x+2，
∴S四边形ABCD=AC•BD=（x+2）（+3）=6+x+≥6+2当且仅当x=，即x=2时，四边形ABCD面积的最小值为12， ∴OB=OD=3，OA=OC=2， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）∵x＞0， ∴y=当且仅当x=
=
=
≤
=，
取到最大值，最大值为：．
=12，
，即x=4时，函数y=
【点评】此题属于反比例函数综合题．考查了反比例函数的性质、菱形的判定以及阅读应用问题．注意准确理解a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立是关键．
五、解答题：本大题共2个小题，每小题12分，共24分，解答时写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
25．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：AG=FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长． 【分析】（1）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG；
（2）过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出FD的长． 【解答】（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点， ∵∠CFB=45° ∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90° ∴∠BAG=∠FBE， ∵AG⊥BF，CH⊥BF， ∴∠AGB=∠BHC=90°， 在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC， ∴△AGB≌△BHC， ∴AG=BH，BG=CH， ∵BH=BG+GH， ∴BH=HF+GH=FG， ∴AG=FG；
（2）解：∵CH⊥GF， ∴CH∥GM，
∵C为FM的中点， ∴CH=GM， ∴BG=
GM，
，
∵BM=10， ∴BG=2，GM=4∴AG=4，AB=10， ∴HF=2， ∴CF=2×=2∴CM=2，
过B点作BK⊥CM于K， ∵CK=
CM=
CF=
，
，
∴BK=3，
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q， ∴△BKC≌△CQD ∴CQ=BK=3， DQ=CK=， ∴QF=3﹣2=， ∴DF==2．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，题目难度不小．
26．如图所示，对称轴是x=﹣1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；
（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法设出交点式求得二次函数的解析式即可；
（2）首先求得直线BC的解析式，然后设P（m，0），则D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），得到s=yE﹣yD=﹣m2﹣3m，配方后即可确定最值； （3）根据OA=OC=3，OB=1，得到∠OAC=∠OCA=45°，BC=从而得到∠ADP=∠ACO=45°，利用cos∠ABC=
，BM=
，
，得到BN=5，CN=5﹣2=3=OC，
可得△FNG≌△BCO，然后分当点P在A、O之间时和当点P在O、B之间时确定P点的坐标．
【解答】解：（1）由A、B（1，0）两点关于x=﹣1对称，得A（﹣3，0）， 设抛物线为y=a（x﹣1）（x+3）， 将点C（0，3）代入，解得a=﹣1，
∴抛物线的函数表达式y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；
（2）由B、C两点的坐标可求得直线AC的表达式：y=x+3， 设P（m，0），则D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3）， s=yE﹣yD=﹣m2﹣2m+3﹣（m+3） =﹣m2﹣3m
=﹣（m+
）2
+
∵﹣1＜0， ∴s有最大值；
（3）∵OA=OC=3，OB=1， ∴∠OAC=∠OCA=45°，BC=∴∠ADP=∠ACO=45°， ∵cos∠ABC=
，即
， ，BM=
，
∴BN=5，GN=5﹣2=3=OC（G为对称轴与x轴的交点）， 可得△FNG≌△BCO，GF=OB=1=OG， ∴∠FOG=45°，
∴∠OFB=45°﹣∠FBG， ∵∠EAC=∠OFB，
∴∠EAC=45°﹣∠FBG
当点P在A、O之间时，如图（2），
∵∠AEP=∠ADP﹣∠EAC=45°﹣∠EAC=∠FBG， ∴tan∠AEP=tan∠FBG， ∴∴
，
，
解得m=﹣1或﹣3（舍去）， ∴P（﹣1，0）
当点P在O、B之间时，
∵∠EAP=∠DAP﹣∠EAC=45°﹣∠EAC=∠FBG， ∴tan∠EAP=tan∠FBG， ∴∴
，
解得m=或﹣3（舍去）， ∴P（，0）．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏，难度较大．
2016年6月13日
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