三角函数极限等价无穷小公式

三角函数公式整合：

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

诱导公式

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα 1

-

cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

1. 极限的概念

（1）数列的极限：0，N（正整数），当nN时，恒有xnA

nlimxnA 或 xnA (n)

几何意义：在(A,A)之外，xn至多有有限个点x1,x2,,xN

（2）函数的极限

x的极限：0，X0，当xX时，恒有f(x)A

limf(x)A 或 f(x)A (x)

x几何意义：在（XxX)之外，f(x)的值总在(A,A)之间。

xx0的极限：0，0，当0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x)A (xx0)

(x0,x0)邻域内，f(x)的值总在(A,A)之间。

几何意义：在x(x0,x0)（3） 左右极限

左极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A 2

-

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

右极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

xx0极限存在的充要条件：limf(x)Alimf(x) xx0（4）极限的性质

唯一性：若limf(x)A，则A唯一

xx0保号性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内

xx0A0(A0)  f(x)0(f(x)0)；f(x)0(f(x)0)  A0(A0)

有界性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内，f(x)有界

xx02. 无穷小与无穷大

（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当x时，xsinx是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；

xx0limf(x)A成立的充要条件是f(x)A（x(x0,x0)，lim0）

（3）无穷小的比较（设 lim0，lim0）： 若lim则称是比高阶的无穷小，记为o()；特别称为o()0，

的主部

，则称是比低阶的无穷小； 若limC，则称与是同阶无穷小；

若lim1，则称与是等价无穷小，记为~；

若limkC，（C0,k0）则称为的k阶无穷小；

若lim（4）无穷大的比较： 若limu，limv，且lim无穷大，记为o1(v)；特别u称为uvo1(v)v的主部

3. 等价无穷小的替换

u，则称u是比v高阶的v3

-

若同一极限过程的无穷小量~，~，且lim存在，则 limf(x)f(x)lim

g(x)g(x)121cos~2111~2 ~ 11(1)n1~na1~lna常用等价无穷小(lim0)sintanarcsinarctanln(1)e111注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；

（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即

若limf()f(0)，~，则f()~f()

4. 极限运算法则（设 limf(x)A，limg(x)B） （1） limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB （2） limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

n特别地，limCf(x)Climf(x)，limf(x)limf(x)A

nn（3） limf(x)limf(x)A(B0) g(x)limg(x)B5.准则与公式（lim0，lim0） 准则1：（夹逼定理）若(x)f(x)(x)，则

lim(x)lim(x)A  limf(x)A

准则2：（单调有界数列必有极限）

若xn单调，且xnM（M0），则limxn存在（xn收敛）

n准则3：（主部原则）

lim4

o()o()o()lim； lim111lim11

2o1(2)o1(2)o() -

公式1： limsinsinx1 1  limx0x1lim(1)e 1lim(1)flimf1xlim(1x)x0公式2： e 

1lim(1)nnn公式3： lim(1)elim，一般地，lim(1)e

0anxnan1xn1a0anxnan公式4：limlimm1xbxmbxbxmxbmm10mbm6. 几个常用极限(a0,a1) （1）limnnmnm nmna1，limnn1； （2）limxx1，limxx；

nx0x11ex，limex0； （4）lim（3）limlnx； x0x0x00q11limarctanq1x0x2n（5）； （6）limq

nq11limarctan1x2x0不存在q1

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