中考压轴题分类讲练 因动点产生的等腰三角形问题

第2讲 因动点产生的等腰三角形问题

例1重庆市中考第25题

如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长； （2）如图1，求证：HF＝EF．

（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

图1 图2

思路点拨

1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．

2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．

满分解答

（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，所以AB＝43． 在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝3，所以DH＝1，AD＝2． 在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝43，由勾股定理，得BD＝213．

（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°， ∠DAH＝30°．

在Rt△ADE中，AE＝

11AD．在Rt△ADH中，DH＝AD．所以AE＝DH． 22因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA． 所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．

图3 图4 图5

（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．

1

一分耕耘一分收获

由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．

1AD，△ACM是等边三角形． 21又因为AE＝AD，所以FM＝EA．

2因此FM＝

又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE． 所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．

所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．

考点伸展

我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉． 如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．

图6 图7

如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．

图8 图9 图10 图11

2

一分耕耘一分收获

例2长沙市中考第26题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和(a,1)两点，点16P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．

（1）求a、b、c的值；

（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

图1

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．

2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．

满分解答

（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0． 将(a,111． )代入y＝ax2，得a2．解得a（舍去了负值）

16164121x，设点P的坐标为(x,x2)． 44（2）抛物线的解析式为y1141已知A(0, 2)，所以PAx2(x22)2x4＞x2．

41641而圆心P到x轴的距离为x2，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．

4所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．

（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．

1411x4，PH2(x)2x4，所以MH2＝4． 16416所以MH＝2．因此MN＝4，为定值． 等腰△AMN存在三种情况：

①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0． 在Rt△PMH中，PM2PA2 3

一分耕耘一分收获

图2 图3

②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝23．

11此时x＝OH＝232．所以点P的纵坐标为x2(232)2(31)2423．

44③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为423．

图4 图5

考点伸展

12x上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程4中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：

如果点P在抛物线y1设点P的坐标为(x,x2)．

4111已知B(0, 1)，所以PBx2(x21)2(x21)2x21．

4441而圆心P到直线y＝－1的距离也为x21，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点

4P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．

4

一分耕耘一分收获

例3 上海市虹口区中考模拟第25题

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．

3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

满分解答

（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以EDCDtanC531525． ，EC444（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是

△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN．

所以

34PMDM4．所以QNPM，PMQN．

43QNDN3

图2 图3 图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时QN33319PM．所以CQCNQN4． 4444②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

3151531PM．所以CQCNQN4． 4444QDDN3（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tanQPD．

PDDM4BA3在Rt△ABC中，tanC．所以∠QPD＝∠C．

CA4此时QN

5

一分耕耘一分收获

由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）． 此时PM4445QN．所以BPBMPM3． 33335425CH，可得CQ． CQ258②如图6，当QC＝QD时，由cosC所以QN＝CN－CQ＝4此时PM257． （如图2所示）

8847725． QN．所以BPBMPM33666③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6

考点伸展

如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解BP25． 6

6

一分耕耘一分收获

例4 扬州市中考第27题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由

BHPH，BO＝CO，得PH＝BH＝2． BOCO所以点P的坐标为(1, 2)．

图2

（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．

7

一分耕耘一分收获

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)．

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m6． 此时点M的坐标为(1,6)或(1,6)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3 图4 图5

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一分耕耘一分收获

例5 临沂市中考第26题

如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC23． 所以点B的坐标为(2,23)．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(2,23)，232a(6)．解得a3． 633223所以抛物线的解析式为yx(x4)xx．

663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42(y23)216．解得y1y223．

9

一分耕耘一分收获

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42(y23)222y2．解得y23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．

图2 图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．

332323，得抛物线的顶点为D(2,x(x4)(x2)2)．

663323因此tanDOA．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

3由y

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一分耕耘一分收获

例6 盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

4x的图象交于点A，且与x轴交于点B． 3 思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

yx7,x3, 所以点A的坐标是(3，4)．

（1）解方程组 得4yx,y4.3令yx70，得x7．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APRS梯形CORAS△ACPS△POR8，得

11

一分耕耘一分收获

1112．如图3，（3+7t)44(4t)t(7t)8．整理，得t8t120．解得t＝2或t＝6（舍去）

222当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

在△APQ中， cosA35520为定值，AP7t，AQOAOQOAORt． 533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7tt，得t．

338如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7t2[(7t)(t4)]，

得t5．

1AQ52032如7，当PA＝PQ时，那么cosA．因此AQ2APcosA．解方程t2(7t)，得335APt226． 43综上所述，t＝1或

41226或5或时，△APQ是等腰三角形． 843

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP2AQcosA来求解．

12

一分耕耘一分收获

例7南通市中考第27题

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若y12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m

图1

思路点拨

1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．

3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．

满分解答

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此

m8xDCEB128，即．整理，得y关于x的函数关系为yxx．

xyCEBFmm(2)如图2，当m＝8时，y121xx(x4)22．因此当x＝4时，y取得最大值为2． 88 13

一分耕耘一分收获

121812，那么x2x．整理，得x28x120．解得x＝2或x＝6．要使△DEFmmmm为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入

(3) 若yy1212，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y，得m＝2（如图4）． mm

图2 图3 图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到y1281116xx(x28x)(x4)2， mmmmm那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是

BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．

再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程

x

128xx总有一个根x8m的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． mm14

一分耕耘一分收获

【强化训练】

1.（遂宁25）如图，已知抛物线yaxbxc经过A（-2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点。 （1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P（t，0）位线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式.

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2yCAOBxyCAOBx一分耕耘一分收获

2.如图，若关于x的二次函数yaxbxc（a0，c0，a、b、c是常数）的图像与x轴交于不同的点A（x1，0）、B（x2，0）（0x1x2），与y轴交于点P，其图像顶点为M，点O为坐标原点. （1）当x1c2，a21时，求x2与b的值； 3（2）当x12c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；

（3）当x1mc(m0)时，记△MAB、△PAB的面积分别为S1、S2，若△BPO∽△PAO，且S1S2，求m的值。

yPOAMBx 16