最新人教版整式的乘法与因式分解基础及练习

整式的乘法与因式分解

一、 整式的乘法

（一）幂的乘法运算 一、知识点讲解： 1、同底数幂相乘：a•a 推广：an11mnan2an3annan1n2n3nn（n1,n2,n3,,nn都是正整数）

2、幂的乘方：am推广：(a1)n

an1n2n3（n1,n2,n3都是正整数）

nn2n3n3、积的乘方：ab 推广：(a1a2a3am)na1a2a3am 二、典型例题： 例1、（同底数幂相乘）计算：（1）x2x5 （2）(2)9(2)8(2)3

（3）a

变式练习： 1、a可以写成（ ）

88828844

A．a+a B．a·a C．a·a D．a·a

x32、已知23,那么2的值是 。

x16

nnnnm1a1m （4）(xy)3(yx)2(yx)5

3、计算：(1) a • a•a （2）(x)x3

5

25

（3）xx3xx （4）(x+y)·(x+y)

24

（5）（n－m）·（m－n）·（n－m）

1

322nm+1

例2、（幂的乘方）计算：（1）（10）

（3）2xy

变式练习： 5

7

7

5

35

（2）(a3m2)

25 (4) [(mn)][(nm)]

2351、计算（－x）+（－x）的结果是（ ）

A．－2x B．－2x C．－2x D．0 2、在下列各式的括号内，应填入b的是（ ）

A．b=（ ） B．b=（ ） C．b=（ ） D．b=（ ） 3、计算：（1）[(m)] （2）a4

（3）p(p)[(p)] (4)（m）+mm+m·m·m

3

4

102

3

12

8

12

6

12

3

12

2

4

12

35

70

34a

2238

2435

例3、（积的乘方）计算：（1）（ab）

2

（2）（－3x）

2

（3）(3abc)

2332009（4）[3(xy)] （5）()(3)2008

2313

变式练习： 1、如果（ab）=ab，那么m，n的值等于（ ）

A．m=9，n=4 B．m=3，n=4 C．m=4，n=3 D．m=9，n=6 2、下列运算正确的是（ ）

22224 (A)xxx (B)(xy)xy (C)(x)x (D)xxx

22236mn

3

912

3、已知x=5，y=3，则（xy）= 。

2

nn3n

4、计算：（1）（－a） （2）（2x）

343

（3）4104

222223(4)3x3y2 （5）(2ab)(2ab) (6) 0.125•4

5103

(7) (9)()() (8)a4•a4a2

（二）整式的乘法 一、知识点讲解： 1、单项式单项式

（1）系数相乘作为积的系数

（2）相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式 （3）单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式 注意点：单项式与单项式相乘，积仍然是一个单项式 2、单项式多项式

①单项式分别乘以多项式的各项； ②将所得的积相加

注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数相同 3、多项式多项式

先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 注意：运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。

二、典型例题： 例1、计算：（1）3ab(ab)2abc （2）(

（3）(x-3y)(x+7y) （4）(x1)(x1)(x1)

3

23233133－3x442

2132324xy)(x2y4xy2y) 233

变式练习： 1、计算：（1）(4x

m＋13

z)·(－2x2yz2) (2) (－2a2b)2(ab2－a2b＋a2)

1 （3）(x+5)(x-7) (4) (a5)(2a1).

2

(5) 5ab•（－ ab）（－ abc） （6）8m(m3m4)m(m3)

3

3

4

22

2、先化简，后求值：(x－4)(x－2)－(x－1)(x＋3)，其中x

3、一个长80cm，宽60cm的铁皮，将四个角各裁去边长为bcm的正方形，做成一个没有盖的盒子，则这个盒子的底面积是多少？当b=10时，求它的底面积。

（三）乘法公式 一、知识点讲解： 1、平方差公式： abab ；

变式：（1）(ab)(ba) ； （2）(ab)(ab) ；

（3）(ab)(ab)= ； （4）(ab)(ab)= 。

4

5。 2

2、完全平方公式：(ab)= 。

公式变形：（1）ab(ab)2ab(ab)2ab

（2）(ab)(ab)4ab； （3）(ab)(ab)4ab

（4）(ab)(ab)4ab； （5）(ab)(ab)2(ab) 二、典型例题： 例2、计算：（1）(x＋2)(x－2) （2）(5＋a)(-5＋a) （3）(2x5y)(2x5y)

222222222222222

（4）3xy22y23x22x2x2x4  (5) 19982002 （6）

变式练习： 1、直接写出结果：（1）(x－ab)(x＋ab)= ； （2）(2x＋5y)(2x－5y)= ；

（3）(－x－y)(－x＋y)= ；（4）(12＋b)(b－12)＝______ ；

(5) (-2x+3)(3+2x)= ；（6）（a-b）（a+b）= 。

5

2

5

2

2

2

2、在括号中填上适当的整式： （1）（m－n）（ ）＝n－m；

2

2

（2）（－1－3x）（ ）＝1－9x

2

3、如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 。

4、计算：（1）2a5b2a5b （2）(3a2bb)(3a2). 22

5

（3）10

169 （4）(－m2n＋2)(－m2n－2) 77 （5）2a5b

222a25b2 （6）（a＋b＋c）（a＋b－c）

5、已知xy6,xy20，求xy5的值。

例3、填空：(1)x－10x＋______＝( －5)；(2)x＋______＋16＝(______－4)；

(3)x－x＋______＝(x－____ )； (4)4x＋______＋9＝(______＋3)．

2(x2y)x2y （2）(x+错误!未找到引用源。)2 例4、计算：（1）

22

2

2

2

2

2

2

2

22

（3）(x1) （4）999

1222211122例5、已知x3，求(1)x2；(2)(x)

xxx

例6、化简求值2a3b2a3b2a3b2a3b，其中：a2,b221。 3

变式练习：

6

1、设(3m2n)(3m2n)p，则P的值是（ ） A、12mn B、24mn C、6mn D、48mn 2、若x-6xk是完全平方式，则k= 3、若a+b=5，ab=3，则ab= .

24、若(x1)2，则代数式x2x5的值为 。

2222225、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(ab)a2abb,你根据图乙能得到的数学公式是 。

222

6、已知：a115,a22________． aa2

7、计算：（1）（3a+b）

（4）(－4x－7y)

3

（2）(－3x＋5y)

22

（3）(5x-3y)

2

22

（5）（3mn－5ab） （6）

2

(a＋b＋c)

2

(7) 79.8 （8） (xy)(xy)

222

8、化简求值：(2x1)(x2)(x2)(x2)，其中x1

9、已知(xy)49，(xy)1，求下列各式的值：（1）xy；（2）xy。

22222212三、巩固练习：

7

A 组

一、选择题

1、下列各式运算正确的是（ ）

2352351025A.aaa B.aaa C.(ab)ab D.aaa

232362、计算2x(3x)的结果是（ ）

A.6x B.6x C.2x D.2x 3、计算(5566123ab)的结果正确的是（ ） 2142163163153A. ab B.ab C. ab D.ab

4888A．

4、如图，阴影部分的面积是( )

7xy 2 B．

9xy 2 C．4xy

D．2xy

5、xax2axa2的计算结果是( )

A. x2axa B. xa C.x2axa D.x2ax2aa 6、28ab÷7ab的结果是( )

(A)4ab (B)4ab (C)4ab (D)4ab 7、下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）

A、(ab)(ab) B、(xy)(xy) C、(xy)(xy) D、(ab)(ab) 8、下列计算正确的是（ ）

444433332

4

22

42

3

323333232223222x4x9

33121111222 C、(4x)16x D、(a)aa

242422 A、(xy)x2xyy B、(x3)222

二、填空题 1、如果am4，an12，那么amn= 。

22、已知x2ax16是一个完全平方式，则a= 。

3、若ab15，且ab5，则ab的值是____________． 4、若a+b=m，ab=-4 化简(a-2)(b-2)= 。

8

22

5、已知：a115,则a22________。 aa26、一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为 。

三、解答题

1、计算：（1）(a)(a)(a) （2）（－3xy）·（

2

3

232425132

xy） 6

32323xy(2xy3xy)14m7mm)(7m) （3） （4）（

（5）(x6)(x7) （6）()

(7) (1－5x)－(5x＋1) （8）(a2b)

2

2

3420071(1)2008

322

2、先化简，后求值：(ab)(ab)(ab)a(2ab)，其中a=

3、方体游泳池的长为(4a9b)m,，宽为(2a3b)m,高为(2a3b)m,那么这个游泳池的容积是多少？

4、已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2bc2b(ac)0，试判断此三角形的形状．

9

22222221，b＝－１。 32

B 组

一、选择题

1、下面是某同学在一次测验中的计算摘录

333 ①3a2b5ab； ②4mn5mnmn；③3x(2x)6x； ④4ab(2ab)2a；

32532⑤a32a5；⑥aaa2．其中正确的个数有( )

3A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 2、如(xm)与(x3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 1 3、若(xm3 B. 0 C. -3 D. 3

)•x4xmx14，则m的平方根为（ ）

n＋2

A. 5 B. 81

n＋3

5

C.2.5

D. 5

4、n为正整数时，3A 3

的计算结果为（ ）

C 3

5n＋14

2n＋5

B 3

3n＋5

D 3

5n＋12

5、如图2，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 A.aba2abb B.aba2abb

222222C.ab(ab)(ab) D.aaba(ab)

222图2

2

2

2

2

6、若x+y=(x-y)+p=(x+y)-Q,则P，Q分别为（ ）

A.P=2xy,Q=-2xy B. P=-2xy,Q=2xy C. P=2xy,Q=2xy D. P=-2xy,Q=2xy 二、填空题 1、当ab

1mmn，m5，n3，则(ab)的值为 。 210

2、 如果xy1nn，n6，那么xy= 。 2753、 比较大小：2100 3 4已知a2113,则a22的值等于 ． aa2225、已知ab5，3a2b3a2b＝－48，则ab＝________．

a4a2116、a5,则=

a2a

三、解答题 1、计算：（1）()

(3) (a－b)

(5) x2y3zx2y3z (6)3(41)(41)(41)1

24m＋3

2320081.52007122x(x2)(x2)－（x)x (1)2009 （2）)

(b－a)(a－b)

2

m

(4) (x1)(x1)(x1)(x1)

24

x2y22、已知x(x－1)－(x－y)＝－2．求xy的值．

22

3、已知a4a10，求（1）a

2112;(2)(a)． aa 11

2211111224、化简求值:abab2abb2ab4a（其中a1,b2）

22224

5、如图，矩形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形面积为4，其他正方形的边长分别为a、b、c、d.求矩形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差.

6、

三、因式分解

一、知识点讲解： 1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法

（2）公式法：平方差公式：a22b2(ab)(ab) 完全平方公式：(ab)2a22abb2

（3）十字相乘法：x(pq)xpq= 。 3、因式分解一般思路：

12

先看有无公因式，在看能否套公式

首先提取公因式，无论如何要试试， 提取无比全提出，特别注意公约数 公因提出后计算，因式不含同类项 同类合并后看看，是否再有公因现 无公考虑第二关，套用公式看项数 项数多少算一算，选准公式是关键 二项式，平方差， 底数相加乘以差 无差交换前后项 奇迹可能就出现

三项式，无定法，完全平方先比划 前平方，后平方，还有两倍在中央。

二、典型例题： 例1、分解因式：（1）x－2x

2

3

（2）3y－6y＋3y

32

（3）2x(ab)3y(ab) （4）3x（m－n）＋2（m－n）

变式练习： 1、分解因式：（1）12ab＋6b （2）x－x

（3）5xy＋10xy－15xy （4）3a2

2

22b6ab2

2

（5）y（x－y）－（y－x）

2、应用简便方法计算：

2

（1）201－201

2

2 2

3

（6）3(a3)(a3a)

（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8

例2、分解因式：（1）4a－9b （2）a6a9

（3）(x2)16(x1) （4）(5x2y)2(5x2y)1 变式练习：

13

2222

分解因式：（1）x216 （2）25a－4

2

（3）4a1 (4) 4x

(5) －a－2ab－b2

2

2212xy9y2

t2(6)1+t+

4

2244

（7）（2x－1）－（x＋2） (8) m－81n

例3、分解因式：（1）a－ab

变式练习：

分解因式：（1）m–4m

(4)6a54a (5) 2mx4mx2m （6）2a– 4a + 2

2

3

3

2

（2）

a3b2a2bab

（2）axa （3）2x8x

2332

(7) x2xx （8）3x23x6

2

(9) 3（x＋y）－27 (10) x（x＋4）＋4

例4、在实数范围内分解因式：

（1）a5 （2）2a3

例5、给出三个整式a，b和2ab．

14

222232

（1）当a=3，b=4时，求ab2ab的值；

（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．

变式练习：现有三个多项式：因式分解． 三、巩固练习： ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果

22A 组

一、选择题

1、下列各式变形中，是因式分解的是（ ）

1222

A．a－2ab＋b－1＝（a－b）－1 Ｂ．2x22x2x2(1)

xC．（x＋2）（x－2）＝x－4 D．x－1＝（x＋1）（x＋1）（x－1） 2、将多项式－6xy ＋3xy－12xy分解因式时，应提取的公因式是（ ）

A．－3xy

B．－3xy C．－3xy

2

22

32

22

23

2

4

2

D．－3xy

33

3、把多项式1x1xx1提取公因式x1后，余下的部分是（ ）

A．x1 B．x1 C．x D．x2 4、下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）

A、ab B、ab C、ab D、ab 5、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）

（A）xxy （B）xxy （C）xy （D）xy 6、把代数式 3x6xy3xy分解因式，结果正确的是（ ）

22322222222222222A．x(3xy)(x3y) B．3x(x2xyy) C．x(3xy) D．3x(xy) 7、将a＋10a＋16因式分解，结果是（ ）

15

2

22

A．（a－2）（a＋8） B．（a＋2）（a－8） C．（a＋2）（a＋8） D．（a－2）（a－8）

8、下列分解因式正确的是( )

A.xxx(x1)． B.mm6(m3)(m2). C.(a4)(a4)a16. D.xy(xy)(xy).

二、填空题

1、把下列各式进行因式分解：

（1）x－xy= ； （2）ab（a－b）＋3ab（a－b）= ； （3）21ab-35ab=_________ ；（4）6(x2)x(2x)= ；

（5）m－16= ；（6）49a－4= ；（7）9(ab)4(ab)= ；

2

2

3

23

4

3

2

32222222 （8）a－16a＋64= ；（9）ab2ab1= ；（10）x2

442223x28= 。

2、若a2a10，则2a4a= 。

3、已知xy6，xy4，则xyxy的值为_____________。 4、如果a

三、解答题

1、分解因式：（1）4x16x （2）3x9x

32 (3)x2xx (4) x2xyyz

22222222111k(a)(a),则k ． 32233

22、在三个整式x2xy，y2xy，x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以

22因式分解，并进行因式分解．

16

B 组

一、选择题

1、下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）

A．y－49x

2

2

2

B．

1x4 C．－m4－n2 491D．(pq)29

42、如果多项式x＋mx＋n可因式分解为（x＋1）（x－2），则m、n的值为（ ）

A．m＝1，n＝2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝－2 D．m＝－1，n＝－2 3、下列因式分解正确的是（ ）

A．－a＋9b＝（2a＋3b）（2a－3b） B．a－81ab＝a（a＋9b）（a－9b） C．

2

2

5

4

2

2

2

2

11（x＋2y－3） 2a2(12a)(12a) D．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）

222

4、如果x＋2ax＋b是一个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（ ）

A．b＝a

2

B．a＝2b C．b＝2a D．b＝a

2

5、将（x＋y）－5（x＋y－6因式分解的结果是（ ）

A．（x＋y＋2）（x＋y－3） B．（x＋y－2）（x＋y＋3） C．（x＋y－6）（x＋y＋1） D．（x＋y＋6）（x＋y－1）

二、填空题

21、现规定一种运算abaab，则把xy的结果进行因式分解 。

22、边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，则abab的值为 。 3、填空：（1）x（x－1）－x＋1＝_____ _．(2) x（x－20）＋64＝___ ___

（3）25（p＋q）＋10（p＋q）＋1＝_____ (4) m（x－y）＋n（y－x）= .

三、解答题

422

1、分解因式：(1) 2－2m (2) x＋2x＋1－y

22（3）9mnmn （44(ab)16(ab)

222

2

2

2

2

22

2、试猜想81279能被45整除吗？ 3、分解因式：1

7913xx(1x)x(1x)2x(1x)3x(1x)n

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4、下面是某同学对多项式（x－4x+2）（x－4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x－4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步） = y+8y+16 （第二步） =（y+4） （第三步） =（x－4x+4） （第四步） 回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______． A．提取公因式 B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x－2x）（x－2x+2）+1进行因式分解．

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