学而思初一数学暑假班第3讲.有理数四则运算.教师版

有理数四则运算

模块一 有理数的加减法

定 义 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对．．．．．．． 值相加． ．．．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值．．．较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的．．．．绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 示例剖析 358 53532 303 有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号； ②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差． 有理数加法的运算技巧： ①分数与小数均有时，应先化为统一形式． ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算． ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零． ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加． ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． ⑥符号相同的数可以先结合在一起． 有理数加法的运算律： ① 两个数相加，交换加数的位置，和不变． ② 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． ．．．有理数减法的运算步骤： abba(加法交换律) (ab)ca(bc)(加法结合律) aba(b)(减法法则) 第3讲·尖端预备班·教师版

1

①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算． 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果． 30.159511(3)(0.15)(9)(5)(11)它的含义是正3，负0．15，负9，正5，负11的和． 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式． 夯实基础

【例1】 计算：

75333⑴ 7.53 ⑵ 7.53 ⑶ 

665523【解析】 ⑴ 11.1；⑵11.1；⑶ ．

3

【例2】 计算：

⑴ 20152817

（人大附中期中）

⑵ ⑶

2113 38381132223 4343（北京师范大学附属实验）

【解析】 ⑴ 24；⑵

1；⑶ 3． 2

【例3】 计算：

⑴ 7.3412.7412.347.34

111⑵ 35.513

332⑶ 34|15|7 23132⑷ 12

342432

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32⑸ 6244166.83.2

551【解析】 ⑴ 0.4；⑵ 7；⑶ 1；⑷ ；⑸ 9．

2

能力提升

【例4】 计算：

434⑴ 185353.618100

555⑵ [4

5127＋(－)]＋[(－)＋6] 127712⑶ 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999 151191411711⑷ 123456789

26122030425672901111122222(L)(L)23459603455960⑸

333335859(L)L()44659605960【解析】 ⑴ 100

4 7⑶ 添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：

⑵ 10原式 = 20＋200＋2×10＋2×10＋…＋2×10-(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220-45 = 2222222175． ⑷ 原式

1111111111335577996122030425672902111111111 13355779926122030425672901111111119

2612203042567290731119198

10105510349⑸原式11212312359()()() 23344460606060 第3讲·尖端预备班·教师版

3

12459222221(12359) 21(159)5922885

模块二 有理数乘除法

定 义 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号．．．．．．．．．．得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0． ．．有理数乘法运算律： ①两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 示例剖析 3412 34(34)12 3(4)12 abba(乘法交换律) abca(bc)(乘法结合律) a(bc)abac(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．（奇负偶正） ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0． ③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算． 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数． 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0． 有理数除法的运算步骤： 首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值． 13353 551aba (b0) b 422 夯实基础

【例5】 计算：

4

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34113⑴ 0.250.5704 ⑵ 3115

5592113【解析】 ⑴ 35；⑵ 9．

10

【例6】 计算：

11111⑴ 36

234691111⑵ 48

436612999⑶ 812512412

161616111⑷ 0.2553.52

244

29【解析】 ⑴ 11；⑵ 6；⑶ 12；⑷ 0

316

模块三 有理数四则混合运算

定 义 示例剖析 有理数混合运算的运算顺序： ⑴ 先乘方（下节课学习），再乘除，最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行； ⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）中括号、大括号依次进行． ．．．．．．加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方到低（级），从小（括号）到大（括号）”． ．．．．．．及开方（以后学）称为三级运算． 同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的． 易错点1：注意运算顺序，先乘除后加减，同级的从左到右依次运算，有括号的先算括号里的． 易错点2：如果只有乘除的，先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算．

能力提升

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5

【例7】 计算：

14⑴ 5824

211（北师大附属实验中学期中）

⑵ 9126448

2517⑶ 1245

138612（清华附中期中）

【解析】 ⑴ 6；⑵ 9；⑶ 4

51112【例8】 计算：⑴ 124815

62312210 1320031001－1001× 20041002⑶ 20082009200920092009200820082008

⑵ 2005×

【解析】 ⑴ 30

⑵ 原式 = (2004＋1)×

20031001－(1002－1)× 2004100220031001 = (2003－1001)＋(＋)

200410022001 =1003．

2004 ⑶ 原式2008200910001000120092008100010001

0

探索创新

【例9】 从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是 ．

1第一组：5，3，4.25，5.75；

311第二组：2，；

3155第三组：2.25，，4．

1211156805【解析】 所有乘积的总和是：(534.255.75)(2)(2.254)25

33151227276

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【例10】 ⑴ 用“＞”或“＜”填空

①如果abc0，ac0那么b 0；

②如果ab0，bc0那么ac 0．

⑵ 如果acb0，bc0，且a(bc)0，试确定a、b、c的符号.

【解析】⑴ ①；②；

⑵ bc0说明b、c异号，那么cb0；

又因为acb0，所以a0；

因为a(bc)0，所以bc0， 进而得bc，且bc0， 所以b0，c0.

【例11】 ⑴ 若19a98b0，则ab是（ ）

A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数

⑵ 已知有理数x,y,z两两不等，则

xyyzzxyz,zx,xy中负数的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个

⑶ 若a，b，c，d是互不相等的整数，且abcd9，则abcd的值为（ ）A．0 B．4 C．8 D．无法确定

⑷ 如果4个不同的正整数m，n，p，q满足(7m)(7n)(7p)(7q)4， 那么mnpq的值是多少？

【解析】 ⑴ B．由19a98b0，得19a98b，可知a、b的符号相反或者ab0，

故有ab0；⑵ B．三数乘积为1，则要么为3正，要么为1正2负；分析可知为1正2负． ⑶ A．a，，，bcd4个数分别是1，3，所以abcd0； ⑷ (7m)(7n)(7p)(7q)1(1)2(2)， 所以m,n,p,q这4个数分别为5，6，8，9， 所以mnpq28．

712【例12】计算4361392×(0.1255)． 0.125(714323)96721＋71257433【解析】设a =71432613，b = 0.125，c =9725，则

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7

原式=

ac×(b＋)

abca=

abca×

abca= 1．

【点评】此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：

7

12613，0.125，92，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 43758

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实战演练

知识模块一 有理数加减法 课后演练

【演练1】 填空：

⑴ 1.3235 ⑵ 141.25【解析】 ⑴ 1.3；⑵ 32．

【演练2】 ⑴ 5.53.22.54.8

⑵ 8.53113613112

⑶ 23562.81324556

⑷ 5173739.54747.5

⑸ 5.53.22.54.8

⑹ 32172317

【解析】 ⑴ 11；⑵ 0；⑶ 1； ⑷ 7.5；⑸ 1.4；⑹ 89．

知识模块二 有理数乘除法 课后演练

【演练3】 ⑴ 0.031132333

⑵ 118144516

⑶ 12734151458

【解析】 ⑴ 72；⑵ 2；⑶ 1．

【演练4】 计算：⑴ 7115168

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9

735⑵ 136

124615125⑶ 230.75

342521245【解析】 ⑴ 575；⑵ 12；⑶

28

知识模块三 有理数加减乘除混合运算 课后演练

5【演练5】 计算： 11230.546

81【解析】

6

ab【演练6】 ⑴ 如果0，0，试确定ac的符号；

cb⑵ 已知整数a,b,c,d满足abcd25，且abcd，那么abcd ． ab【解析】⑴ 0说明a、b异号；0说明b、c异号，所以a、c同号，所以ac的符号为正；

cb⑵ 易知a5，b1，c1，d5，则abcd51(1)(5)8

10

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