陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 数系的扩充与复数的概念教案 北师大版选修1-2

数系的扩充与复数的概念

一、教学目标：

1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i；

2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；

3、 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。

二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、问题情境

1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．

①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．

②解方程的需要．为了使方程x40有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；

23x20x为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程2有

解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数以后，我们已经能使方程

x2a(a0)永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当a0时，方程x2a在实数

2范围内无解．为了使方程xa(a0)有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引

进新的数．（可以以分解因式：x4为例）

2、问题：实数集应怎样扩充呢？ （二）、新课探析

21、为了使方程xa(a0)有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就

4从引入平方等于1的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i，叫做虚数单位

2（imaginaryunit）．并作如下规定：①i1；②实数可以与i进行四则运算，进行四

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则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i可以与实数b相乘，再同实数a相加得iba．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成abi (a,bR)的形式．

2、复数概念及复数集C

形如abi(a,bR)的数叫做复数。全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C来表示，

即

Czzabi,a,bR．显然有N*NZQRC．

3、复数的有关概念：1) 复数的表示：通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，其中a,b分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①复数zabi(a,bR)，当

b0时，z就是实数a．②复数zabi(a,bR)，当b0时，z叫做虚数。

特别的，当a0，b0时，zbi叫做纯虚数． 4、复数集的分类

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：

5、两复数相等

如果两个复数abi与cdi（a,b,c,dR）的实部与虚部分别相等，我们就说这两

acabicdibd，个复数相等．即（复数相等的充要条件），

a0abi0b0（复数为0的充要条件）特别地：．

复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．

6、两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小。

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7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

(三)、知识运用，能力提高

1、例题：例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数．

144,23i,0,i,52i,6i23

1414,23i,0,i,52i,6i4,2,0,,5,0232解： 的实部分别是；

4140,3,0,,2,623i,i,52i,6i323虚部分别是．4,0是实数；是虚数，其中6i是纯虚数．

例2、实数m取什么值时，复数zm(m1)(m1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

分析：由mR可知m1，m(m1)都是实数，根据复数abi是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定m的值。

解：（1）当m10，即m1时，复数z是实数；（2）当m10，即m1时，复数z是虚数；（3）当m(m1)0，且m10，即m0时复数z是纯虚数。

（变式引申）：已知mR，复数

zm(m2)(m22m1)im1，当m为何值时：

（1）zR；（2）z是虚数；（3）z是纯虚数．

解：（1）当m2m10且m10，即m12时，z是实数；

2m2m10且m10，即m12且m1时，z是虚数； （2）当

2m(m2)02（3）当m1且m2m10，即m0或2时，z为纯虚数．

思考：a0是复数zabi为纯虚数的充分条件吗？

zabi才是纯虚数，答：不是，因为当a0且b0时，所以a0是复数zabi

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为纯虚数的必要而非充分条件．

例3、已知(xy)(x2y)i(2x5)(3xy)i，求实数x,y的值．

xy2x5x3x2y3xyy2．

解：根据两个复数相等的充要条件，可得：，解得：（变式引申）：已知a12ai44i，求复数a．

解：设axyi(x,yR)，则xyi12(xyi)i44i，

x2y14,(x2y1)(2xy)i44i， 由复数相等的条件2xy4,

x1,y2,a12i．

22zk3k(k5k6)i(kR)，2．练习：（1）已知复数且z0，则k ．

2z0，则zR．故虚部k5k60,(k2)(k3)0

解：

k2或3．但k3时，z0，不合题意，故舍去，故k2．

四．回顾小结：

1、能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数； 2、复数相等的充要条件。

（三）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 （四）、巩固练习：

1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。 23i,84i,80i,6,i,29i321,7i,0

2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。

3若(3x2y)(5xy)i172i，则x,y的值是 。

4．．已知i是虚数单位，复数Zm2(1i)m(23i)4(2i)，当m取何实数时，z是： （1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零 （五）、课外练习： （六）、课后作业： 五、教后反思：

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