一．选择题（共9小题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（ ）
①② ③④ ①④ ①③ A． B． C． D．
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：计算题；压轴题． 分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0） ，得到另一个交点坐标，利
用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；
③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围． 解答： 解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3，
1
∴=﹣3，则a=﹣．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3，
∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确；
④根据题意知，a=﹣，﹣∴b=﹣2a=
，
=1，
∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ∴
≤c≤4，即≤n≤4．
故④错误．
综上所述，正确的说法有①③． 故选D．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开
口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
2．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说法正确的是（ ）
①② A．
②③ B．
①②④ C．
②③④ D．
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式
即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④． 解答：解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）． ∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，
∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1）， 根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∵
＜3，
∴y2＜y1，∴④正确； 故选C． 点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理
解能力和辨析能力．
3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此
判定②正确；
由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；
由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；
由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误． 解答： ：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0）解，
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣∴a与b异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0， ∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确； ④∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1， ∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1， ∴0＜b＜1，正确；
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b， ∴a+b+c=2b＞0． ∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c＜2，正确；
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选B． 点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a
的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
＞0，
A． abc＜0
B． a+c＜b
C． b＞2a D． 4a＞2b﹣c
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组） ． 专题：压轴题． 分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴
左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；
B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误； C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；
D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错
误． 故选C． 点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关
系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等．
5．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤你认为其中正确信息的个数有（ ）
．
A． 2个 C． 4个 D． 5个
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．
B． 3个
∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，
∴ab＞0．故①正确；
②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0． 故②正确；
③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， ∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，
∴b+2c＞0． 故③正确；
④如图，当x=﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0． ∴a﹣2b+4c＞0， 故④正确；
⑤如图，对称轴x=﹣
=﹣，则
．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个． 故选D．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开
口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
6．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析： 由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3
时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案． 解答： 解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0； 故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1， 故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0； ③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0． 故④正确． 故选B． 点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的
应用．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A． 3个 C． 1个 D． 0个
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据
B． 2个
二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴
公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c
的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c=0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0． 解答：解：根据图象可得：a＞0，c＜0，
对称轴：x=﹣
＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1， ∴﹣
=1，
∴b+2a=0， 故①错误； ②∵a＞0，
∴b＜0， ∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误； ③∵a﹣b+c=0， ∴c=b﹣a，
∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a， 又由①得b=﹣2a， ∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0， 故此选项正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0， ∴16a+4b+c＞0， 由①知，b=﹣2a， ∴8a+c＞0； 故④正确；
故正确为：③④两个． 故选：B． 点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系， 关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛
物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
8．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b≠m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（ ）
A． 2个 C． 4个 D． 1个
考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
B． 3个
∵对称轴为x=﹣＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0， 故本选项正确；
②∵对称轴为x=﹣﹣
＜1，
＞0，a＞0，
∴﹣b＜2a， ∴2a+b＞0； 故本选项错误；
③当x=1时，y1=a+b+c；
当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定； 故本选项错误；
④当x=1时，a+b+c=0； 当x=﹣1时，a﹣b+c＞0； ∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0， ∴（a+c）2=b2 故本选项错误；
⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2； 当x=1时，a+b+c=0， ∴a+c=1，
∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1； 故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤有2个． 故选：A． 点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关
系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣
判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0； （4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0，没有交点，b2﹣4ac＜0．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）． 其中正确的结论有（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题；数形结合． 分析：观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物
线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则
y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣=1得到a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜
0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）． 解答：解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的
交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确；
对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；
x=﹣
=1，则a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，2c＜3b，所以④正确；
开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确． 故选B． 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线
x=﹣
，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当
c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
二．填空题（共1小题）
10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③3a+c＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的是 ①③④ （把正确的序号都填上）．
考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：根据图象可得：a＜0，b＞0，c＞0．
则abc＜0，故①正确；
当﹣1＜x＜3时图象在x轴的上方，且有的点在x轴的下方，故②错误；
根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1，即﹣=1，则b=﹣2a．那么当x=﹣1
时，y=a﹣b+c=a+2a+c=3a+c＜0，故③正确；
当x=﹣1时，y=a﹣b+c一定在x轴的下方，因而a﹣b+c＜0，故④正确． 故答案是：①③④． 点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，
以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|． 其中正确的结论是 ①③④ （写出你认为正确的所有结论序号）．
考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，
再利用特殊值法分析得出各选项． 解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，
对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确；
∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a，
令抛物线解析式为y=﹣x2+bx﹣，
此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，
则=﹣，
解得：b=，
∴抛物线y=﹣x2+x﹣，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，
对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能）， 故②选项错误；
∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2， ∴抛物线对称轴为：x=﹣
＞1，
＞2，m+n
，故选项③正确；
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0， ∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴）， ∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确． 故答案为：①③④． 点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是
解题关键．
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