北京市大兴区2015-2016第一学期高二理科数学期末检测

高二数学（理）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生将答案答在答题卡上。

第一部分 （选择题 共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)若命题p是假命题，命题q是真命题，则

（A）pÙq是真命题 （B）pÚq是假命题 （C）Øp是假命题 （D）Øq是假命题

A所成的角是 BCⅱD中, 异面直线A¢B和D¢(2)在正方体ABCD-Aⅱ（A）90 （B）60 （C）45 （D）30

(3)“A=3”是“直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+C=0平行”的 （A）充分必要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

222(4)某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积 （A）2 （B）3 （C） 4 （D）5

2(5)原点O(0,0)与点A(-4,2)关于直线l对称，则直线l的方程是 （A）x+2y=0 （B）2x-y+5=0 （C）2x+y+3=0 （D）x-2y+4=0

(6)若直线x-y-m=0被圆x2+y2-8x+12=0所截得的弦长为22，则实数m的 值为

（A）2或6 （B）0或8 （C）2或0 （D）6或8 (7) 下列命题中，真命题的个数是

①若直线a，b和平面满足a//，b//，则a//b.

②若直线l上有无数个点不在平面内，则l//.

③若平面^平面，平面^平面g，则平面//平面g.

④如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3

y2=1的两个焦点是F1,F2，点P在椭圆上，且PF1^F1F2，那么|PF2|= (8)若椭圆x+22532 （D）2 22ⅱⅱ¢(9)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，若AB=aAD=b，AA=c，则BM=

（A）2 （B）4 （C）1111（A）-a+b+c （B）a+b+c

22221111（C）-a-b+c （D）a-b+c

2222D'MA'B'C'DB

A(10)若直线a//平面，直线bÌa，a^b，则在平面内

到直线a和直线b距离相等的点的轨迹是 （A）圆 （B）抛物线 （C）椭圆 （D）双曲线

C第二部分 （非选择题 共100分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2(11)命题“\"x?R，x-x+1>0 ”的否定是 . (12)已知空间向量a=(2,0,1)，b=(-2,1,0)，那么cos= .

y2=1的右焦点坐标是 ；焦点到渐近线的距离为 . (13)双曲线x-32(14)如图，当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时，测得水面宽4米.

若水面下降0.5米，则水面宽 米.

BCⅱD内灌进一些水，固定容器底面一边BC与地面上，再将容(15)如图，透明塑料制成的长方体ABCD-Aⅱ器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面四个命题:

①有水的部分始终呈棱柱形，没水的部分也始终呈棱柱形；

D始终与水面所在平面平行； ②棱Aⅱ③水面EFGH所在四边形的面积为定值； ④当容器倾斜如图3所示时，BE×BF是定值. 其中正确命题的序号是 .

（16）已知曲线C：|x|+|y|=m（m>0）.

(1)若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是 ；

x2y2+=1有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 . (2)曲线C与椭圆

94三、解答题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17）（本小题14分）

已知抛物线y2=4x与直线y=x-1交于A,B两点，. （I）求该抛物线的焦点坐标及准线方程；（II）求线段AB的长.

（18）（本小题14分）

已知圆C与x轴的交点分别为A(-1,0)，B(3,0)，且圆心在直线2x-y=0上. （I）求圆C的标准方程；

（II）求与圆C相切于点B(3,0)的切线方程；

（III）若圆C与直线y=x+m有公共点，求实数m的取值范围.

（19）（本小题14分）

如图，在正方形AG1G2G3中，点B，C分别是G1G2，G2G3的中点，点E，F分别是G3C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G.

（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写

出结论）；

（II）求证：AG^BC

（III）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，求证：平面EFB^平面GBC.

AGG3

EF

C

CA G1G2BB

（20）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD^底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD, PD=AD=AB=1,CD=2,点E是PA的中点，作EF^PB交PB于点F.（I）求证：PB^平面DEF； （II）求二面角E-PB-D的大小；

（III）在DC上是否存在一点G，使PG//平面EDB，若存在,求出DG的长；若不存在，说明理由. P

F E

CD

AB

（21）（本小题14分）

x2y26已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为. ab3（I）求椭圆C的方程；

（II）试判断命题“若过点M(1,0)的动直线l交椭圆于A，B两点，则在直角坐标平面上存在定点N，使得以

线段AB为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N的坐标；若为假命题，请说明理由.

大兴区20152016学年度第一学期期末检测试卷

高二数学(理)参考答案及评分标准

第一部分（选择题 共50分）

一、 选择题共10小题，每小题5分，共50分。 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7 B 8 D 9 A 10 D 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (11) xR, x2x1≤0 (12) 4 (13) (2,0) ；3 (14) 525 (15) ①②④ (16) 2； 2m3 ,或 m13 注：第15题只写2个答案且都是正确答案得3分.

第13,16题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 第16题第二个空只写一部分答案且正确得1分.

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (17) (本小题14分)

解: (Ⅰ)抛物线的焦点坐标为(1,0)， „„„„„„3分

准线方程为 x1. „„„„„„6分

y24x（Ⅱ)由方程组 

yx1可得 x6x10 „„„„„„8分 由求根公式得 x1x26，x1x21 „„„„„„9分 法一：

设A(x1,y1),B(x2,y2),

2|AB|(x1x2)2(y1y2)2 (x1x2)2[(x11)(x21)]22|x1x2| „„„„„12分 2[(x1x2)24x1x2]8 „„„„„14分

法二：

直线yx1过焦点，A,B到准线的距离分别为dA,dB.

由抛物线定义可知 |AB||AF||BF|d1d2x1x22 „„„„„12分 于是 |AB|628 „„„„„„14分

(18) (本小题14分)

解: (Ⅰ) 因为圆C的圆心在直线2xy0上,所以设圆心C(a,2a). „„„„„„1分

又因为圆C与x轴的交点分别为A(1,0)，B(3,0),所以a1„„„„„„2分

故 圆心C(1,2), 半径为22, „„„„„„4分 圆C的标准方程为(x1)2(y2)28 „„„„„„5分 （Ⅱ) 因为CB与切线垂直,所以kBCk1 „„„„„„7分

因为 kBC201 , 所以 k1 „„„„„„8分 13故与圆C相切于点B(3,0)的切线方程为：xy30 „„„„„„10分 （Ⅲ）圆C与直线yxm有公共点，

即圆C的圆心到直线的距离d≤r ， „„„„„„11分 即 |12m|≤22， „„„„„„13分 2解得 -3≤m≤5

所以 圆C与直线yxm有公共点，则-3≤m≤5. „„„„„„14分

(也可以用图形观察法得出结论，酌情给分)

(19) (本小题14分)

解: (Ⅰ) 在正方形AG1G2G3中，G1,G2,G3都是直角.

沿AB，BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后,此三个角度数不变. 即 在四面体GABC的四个面中, G在AGB中, AGB90,

AC在AGC中, AGC90,

B在BGC中, BGC90,

ABC不是直角三角形. „„„„„„4分 故 分别在平面AGB,平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形.

（Ⅱ） 证明:在四面体GABC中, AGB90,AGC90,

即 AGGB,AGGC, „„„„„„5分 因为在平面BGC中，GBGCG „„„„„„6分

所以 AG平面BGC. „„„„„„7分 因为BC平面BGC

所以 AG^BC „„„„„„9分

（Ⅲ） 在四面体GABC的直观图中标出点E，F， „„„„„„11分

证明:因为在AGC中, 点E，F分别是GC，AC的中点，

所以EF//AG „„„„„„12分 由（Ⅱ）已证 AG平面BGC

故EF平面BGC „„„„„„13分 因为EF平面EFB

所以平面EFB^平面GBC „„„„„„14分

(20) (本小题14分)

解:(Ⅰ) 证明: 因为PD底面ABCD,DA面ABCD,DC面ABCD,

所以PDDA,PDDC.

又因为四边形ABCD是直角梯形，AB//CD, AB1,CD2, 所以ADDC

如图建立空间直角坐标系Dxyz, „„„„„„1分 zP11则E(,0,),P(0,0,1),B(1,1,0)

2211FDE(,0,),PB(1,1,1), „„„„„„3分 E2211因为DEPB11010 22CD所以DEPB „„„„„„4分 又因为已知EFPB AB在平面DEF中，DEEFE „„„„„„5分 x所以PB平面DEF.

（Ⅱ) 由(Ⅰ) 已证PB平面DEF,

因为DF面DEF, 所以DFPB 已知EFPB,

故EFD是二面角EPBD的平面角. „„„„„„6分

设点F(x,y,z)，则PF(x,y,z1)

y因为PFkPB

所以(x,y,z1)k(1,1,1)(k,k.k) 即 xk,yk,z1k，F(k,k,1k)

11FE(k,k,k)

22因为EFPB

所以EFPB0

所以(1,1,1)(k,k,k)k所以k121211kk3k100 221112，点F(,,)， „„„„„„7分 333311又因为点E(,0,)，

22111所以FE(,,) „„„„„„8分

636111112(,,)(,,)FEFD3331， 636因为cosEFD2|FE||FD|6663所以EFD60, „„„„„„10分 由题知二面角EPBD的平面角为锐角，所以二面角EPBD的大小为60. （Ⅲ）当DC的中点为点G时，满足PG//平面EDB.

因为底面ABCD是直角梯形，AB//CD, ABAD1,CD2 所以DG1,且四边形ABGD为正方形.

连接AG交DB于O，则O为AG中点. 连接EO

所以在PAG中, 点E，O分别是PA，AG的中点，

所以EO//PG 因为EO平面EDB，

PG平面EDB 所以PG//平面EDB.且DG1. (本小题14分)

解: (Ⅰ) 因为长轴长为4，离心率为

63， 所以2a4，eca63， 所以c263， 又因为a2b2c2，所以b243， 所以椭圆C的方程 x24+3y24=1

（Ⅱ) 真命题.

由椭圆的对称性知，点N在x轴上，设N(t,0)， ①当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)， 设A(x1,y1)，B(x2,y2),

由yk(x1),得x3y24(13k2)x26k2x3k22 40. 所以 4(9k24)0

„„„„„„11分 13分 „„„„„„14分 „„„„„„2分 „„„„„„3分 „„„„„„4分 „„„„„„5分 „„„„„„6分 „„„„„„7分 „„„„„„

(21) 6k23k24x1x2，x1x2， „„„„„„8分

13k213k2因为以线段AB为直径的圆过点N，

所以ANBN, 所以

y1y21 x1tx2t则(x1t)(x2t)y1y20

所以(x1t)(x2t)k2(x11)(x21)0，

所以(1k2)x1x2(x1x2)(k2t)t2k20， „„„„„„10分

3k246k2(1k)(k2t)t2k20 2213k13k246tk2t23t2k20 „„„„„„11分

3tk2(t2)(t24)0 (t2)(3tk2t2)0

所以若以线段AB为直径的圆恒过点N(t,0)， 则t20，即t2，

所以当直线AB的斜率存在时，存在N(2,0)使命题是真命题 „„„„12分 ②当直线AB的斜率不存在时，其方程为x1.

A(1,1),B(1,1)

以线段AB为直径的圆的方程为(x1)y1， 因为N(2,0)满足方程(x1)y1，

所以当直线AB的斜率不存在时，点N(2,0)也能使命题是真命题. „„„14分 综上①②知 ，存在点N(2,0)，使命题是真命题.

2222