立体几何证明垂直专项含练习题及答案精编版

立体几何证明------垂直

一.复习引入

1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________.

3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行

5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________.

7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行.

8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理

知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 语言描述 如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α 图形 判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 条件 b为平面α内的任一直线，而l对这l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，一直线总有l⊥α n 结论 l⊥ l⊥ 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）

知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行. 直线垂直于这个平面内的所有直线 1

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 图形 条件 结论 知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二

面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）

二面角的平面角的三个特征:

ⅰ.点在棱上 ⅱ.线在面内 ⅲ.与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：001800.

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定

定义 判定 文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直 直. 图形 结果 α∩β=l α-l-β=90o α⊥β

（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）

三．常用证明垂直的方法

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：

（1） （2） （3） （4）

通过“平移”。

利用等腰三角形底边上的中线的性质。 利用勾股定理。

利用直径所对的圆周角是直角

2

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P且b⊥平面α,则a⊥平面α(1) 通过“平移”,根据若a//b, 1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=求证：AE⊥平面PDC. A

2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD， ∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．求证：平面PCE⊥平面PCD；

1DC，E为PD中点. 2.COD BA DE B P C PFEBACD（第2题

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

3、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC． （Ⅰ）求证：PCAB；

3

P

A

C B

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（3）利用勾股定理

4.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD,PA1,PD2. 求证:PA平面ABCD；

（4）利用直径所对的圆周角是直角

5、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

4

_P _A

_D

_B

_C

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课堂及课后练习题：

1.判断下列命题是否正确，对的打“√”，错误的打“×”。 （1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （ ） （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （ ）

（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（ ）

2.已知直线

a,b

和平面，且ab,a,则

b

与的位置关系是

________________________________________________.

3.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD,AB//CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且DF1AB,PH为PAD中AD边上的高。 2（1）证明：PH平面ABCD；

4.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD, E为PC的中点, PA＝AD。 证明: BE平面PDC;

5

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5.如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

6.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CACBCDBD2,ABAD2. （1）求证：AO平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

DOBECA

7.如图，四棱锥SABCD中，ABBC,BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2,CDSD1． （Ⅰ）证明：SD平面SAB;

6

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8.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD平面PAC;

课堂及课后练习题答案： 1

（1） √ （2） √ （3）√ 2.b//或者b 3.

证明：因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD，又因为AB平面PAD，所以ABPH，

ABAD=A，所以PH平面ABCD

4.分析：取PD的中点F，易证AF//BE, 易证AF⊥平面PDC，从而BE平面PDC .5.证明：因为PAB是等边三角形，PACPBC90, 所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。 如图，取AB中点D，连结PD,CD,

7

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则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC,

所以ABPC。 6.（1）证明：连结OC BODO,ABAD,AOBD. BODO,BCCD,COBD. 在AOC中，由已知可得AO1,CO3. 而AC2,

AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.

BDOCO, AO平面BCD

7.

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为

矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB,SE3. 又SD=1，故ED2SE2SD2，

所以DSE为直角。

由ABDE,ABSE,DESEE，

得AB平面SDE，所以ABSD。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以SD平面SAB。

8