用谐振腔模型推导普朗克公式及实验验证

用谐振腔模型推导普朗克公式及实验验证

刘晓洋

（山西大同大学 物理与电子科学学院，山西 大同 037009）

摘要：本文以Planck量子假设为基础，运用电动力学及热力学统计物理相关知识，

对Planck黑体辐射公式进行了推导，并借助WGH-10型黑体辐射实验装置，对Planck辐射定律、Stefan-Boltzmann定律以及Wien定律进行了验证。

关键字：Planck公式；黑体辐射；经典表达式；辐射源；传递函数

目录

引言 ................................................................... 1

1概述 .................................................................. 1

2 Planck黑体辐射公式的研究 ............................................. 2 2.1 Planck 黑体辐射定律 ................................................ 2 2.2 Planck黑体辐射公式的推导 .......................................... 2 2.3 Planck公式向经典公式的转化 ........................................ 7

3黑体辐射公式的实验验证 ................................................ 7 3.1黑体辐射定律 ....................................................... 8 3.2 黑体辐射实验验证 .................................................. 8 3.2.1 黑体辐射实验原理 ............................................... 8 3.2.2 实验内容和实验步骤 ............................................. 9 3.2.3 黑体辐射实验数据处理及计算结果 ................................ 12

4 结论 ................................................................ 14

参考文献： ............................................................ 14

引言

一个世纪前，Kelvin曾经说过：现在在物理的领域，已经没什么新的发现了。但是，在物理学万里晴空中，却有两朵乌云出现在众人的视线中。

其中一朵是从迈克尔逊实验中浮现的，在这5年后，从这朵乌云中诞生了相对论；另一朵则是从黑体辐射这个问题中浮现出来的，就在1年后，量子力学从这朵乌云中横空出世。

对于Planck公式的证明，很多教材中都给出了不同的证明方法，本文以Planck量子假设为基础，运用电动力学及热力学统计物理，对Planck黑体辐射公式进行推导。并借助WGH-10型黑体辐射实验装置，对Planck辐射定律、Stefan-Boltzmann定律以及Wien定律进行验证。 1概述

黑体辐射问题研究的是，辐射与周围物体处于平衡状态时，能量按波长或者按频率的分布[1]。

我们知道，温度不一样时，不一样的物体会发出不同颜色的光，也就是频率不一样的电磁波。当物体温度增加时，原子与分子在每秒内振动的次数就会逐渐增加，那么辐射的电磁波的频率就越大，也就是波长越短。那么把这种由于物体中的分子、原子的热振动而发射电磁波的现象，就称为热辐射[2]。同样，对于物体外部辐射过来的电磁波，物体对其会有吸收反射或的作用。当一个物体在相同时间内，向外辐射的与向内吸收的能量一样时，此时便处于热平衡状态。物体在平衡状态时，物体的温度不会发生变化。

若一个物体能够将照射到它上面全部的光，也就是电磁波全部都吸收，这种物体就是黑体。这种物体实际上并没有。一个封闭的空腔可以近似地认为是黑体[2]。

1896-1899年间，在研究黑体辐射问题时，人们碰到了前所未有的难题。物理学家们通过实验得出的平衡时黑体辐射能量密度按波长分布的曲线，它的形状和位置与空腔的形状及组成物质并没有关系，只与黑体的绝对温度有关系[1]。

Wien从热力学出发，分析了实验数据，得到一个经验公式--Wien公式[3]：

)3e(C2ν/Td EdC1

其中，C1 ,C2为常数。

根据这个公式画出的曲线，与实验结果在高频部分还很一致，但在低频部分却明显不相符。

1

之后，Rayleigh和Jeans从电动力学和统计物理学出发，也得到一个黑体辐射能量分布公式。

Rayleigh-Jeans公式：

82kTd Ed3c根据这个公式得到的图像，与实验结果在长波部分很一致，可是在短波部分却不符合。

可见上述两个公式都不能在全部波长区内解释黑体辐射现象，之后，Planck综合了Wien公式和Rayleigh-Jeans公式，采用一定方法对两个公式进行处理，最终得到了Planck公式。Planck公式与实验结果在整个波长范围都能够很好的相符合。为了能够给公式一个很好的理论证明，于是Planck提出了能量量子假设[4]。

2 Planck黑体辐射公式的研究 2.1 Planck 黑体辐射定律

Planck在对黑体辐射的探究中，提出了能量量子化假设：

（1）能够把黑体当作是由大量的谐振子构成的，每个振子都可以发出某一种频率的电磁波，那么黑体向外辐射的能量就是连续分布的。当达到热平衡后，它们就会形成与驻波相仿的变化的电磁场。

（2）黑体吸收或发射的热辐射能量并不是连续值，而只能是一系列离散的值，每个振子的能量只能取h的整数倍，其中h为Planck常数[2]，h6.6261034J.s。

2.2 Planck黑体辐射公式的推导

带电谐振子的振动引起黑体辐射的能量，为了使推导过程变得简单，我们可以把黑体看做是一个正方体谐振腔，边长为L。如图所示： z

y x 则谐振腔内的E或H满足如下方程。设：u(x,y,z)为E或H的任一直角分量[5]，

2

有

u+ku0 (k用分离变量法，令

u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z) 则将上式代入（1）式，可分为三个常微分方程：

2222) （1）

d2X2kX0xdx22dY2 2kyY0 （2）

dyd2Z2kz2Z0dz其中，

2222 kxkykz。

由（2）的解得u(x,y,z)的解为：

u(x,y,z)(C1coskxxD1sinkxx)(C2coskyyD2sinkyy) (C3coskzzD3sinkzz) （3） 式中Ci,Di为任意常数。 根据边界条件

enE0enH 和

En0 n可以对Ci,Di有一些限制。

例如考虑Ex，当x=0时，有

Ex0，因此在（3）中不取 ~sinkxx项。 xEx对y=0和z=0时，有Ex0，因此在（3）中不取~coskyy和~coskzz项。对

Ey和EZ也可以进行同样的考虑。由此可得

ExA1coskxxsinkyysinkzz EyA2sinkxxcoskyysinkzz （4）

EzA3sinkxxsinkyycoskzz

3

再考虑xL,yL，zL上的限制条件，得 kx其中，

nx,ny,nz= 0,1,2…

Lnx， kyLny， kzLnz

nx,ny,nz依次表示沿正方体三边所包含的半波数目。

在（4）中所含三个任意常数A1,A2和A3。由方程E0，它们之间应满足关系

kxA1kyA2kzA30 因此，A1,A2和A3中只有两个是独立的。

 则第i个本征态ki为：

2222222 |ki|()(nxnynz)()ni

LL  在正方体的一条边长内，半波长的个数为 ni2Li ，ici  第i个本征态的频率为： icni 2L 当Li时，i与i可以大体上当作是连续变化的，即有 c（5） n

2L上式说明，在整数n空间，每一组整数nx,ny,nz决定着一个谐振子的频率。因此，在d内的谐振子个数为：

4n2 dn18 dNL 42d

c3  42 dV c34V2d c34

其中，V为正方体的体积。

又 每一个频率为的电磁波，都有两个方向上的振动，且这两个方向是垂直 的

 频率区间d的本征模数为： dN()8V2d c3 令,T表示本征振动的平均能量，u,Td代表单位体积，在,d内的能量，于是：

,Td,TdN Vu 8V2,Td 3c,Td u82,Td （6） 3c 由我们学过的知识，可以得到谐振子能量为： En(n3)h ，（n =0,1,2…） 2当系统处于热平衡态时，谐振子按能量分布是一种的概率规律，仍遵从麦克斯韦—玻尔兹曼分布[6]，即：

an()eEn 代表频率为的振子处于能级En的平均数。

所以振子的平均能量为:

Ee，T ennnEnEn

Ee ennnEnEn

即：

lnZ 

5

其中

 ZEne n0代表频率为的振子的配分函数。 所以我们可以得到：

 ZeEn0n

3)h2 en0(n

e3(h)2nhe n0e h

1e所以

1dZ lnZZd3(h)2 其中，hhe1hehkT

11。 kT 由上面的式子可以看到，本征振动的,T并不是kT，而与有关，但是根据能量均分定理，,T应该是kT，所以其不成立。

把上面的式子代入

,Td u82,Td 3c8h3d 得到 u(,T)d3hkTce182hd 3hkTce1

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这就是Planck黑体辐射公式。

2.3 Planck公式向经典公式的转化

(1）当hkT，即辐射频率较高时，Planck黑体辐射公式可化为Wien公式[7]。

Planck黑体辐射公式：

8h31Edd3hkTc1e

当较高时，h1，所以ekThkT1ehkT，

那么Planck公式可写为：

8h3hEde3c

这就是Wien公式。

kTd

(2）当hkT，即辐射频率较低时，Planck黑体辐射公式可化为Rayleigh-Jeans公式[7]。

Planck黑体辐射公式：

8h31Edd3hkTc1e

当较小时，h1，故能将ekThkT按h展开，

kT

ehkT1h...kT hkT

将上式取前两项，则

ehkT1 那么Planck公式可写为：

8h3kT82EddkTd33chc

这就是 Rayleigh-Jeans 公式。

3黑体辐射公式的实验验证

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3.1黑体辐射定律 （1）Planck辐射定律 ET2hc25hckT（W/m3） (e1)其中，ET为黑体的单色辐出度，也就是能量密度。 （2）黑体的积分辐射--Stefan-Boltzmann定律 ET其中，ET为黑体辐出度。

04ETdT（W/m2）

25k45.67010-8W/m2K4 2315ch其中，为Stefan-Boltzmann常数。 （3）Wien位移定律 maxTA

其中，max为黑体能谱曲线上峰值对应的波长。

3 A2.89610(mK)

Wien位移定律表明，随着温度的升高，黑体能谱曲线上的最大值对应的波长向短波方向移动。

3.2 黑体辐射实验验证 3.2.1 黑体辐射实验原理

黑体辐射的光谱分布与辐射方向以及周围环境无关，只与辐射体的温度有关[1]。黑体辐射定律验证实验就是要得到在不同色温下，黑体热平衡时辐射能量随波长变化的数据[8]，从而验证Planck辐射定律、Stefan-Boltzmann定律和Wien位移定律。 近代物理实验室采用的设备，是由天津市港东科技发展有限公司生产的WGH-10型黑体实验装置，该装置由电压可调的稳压溴钨灯光源，电子放大器，接收单元，A/D采集单元，扫描系统，光栅单色仪，计算机及输出设备组成[8]。

本实验装置采用稳压溴钨灯作为黑体辐射源[8]，借助计算机系统得到实验数据，经过一定数据处理从而可以直接验证Planck辐射定律、Stefan-Boltzmann定律和Wien位移定律。

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黑体辐射实验的主要装置本应是标准黑体，但是标准黑体的价格昂贵，由于溴钨灯辐射能量密度曲线的形状与黑体的辐射能量密度曲线的形状相似[9]，因而实际上我们选择用溴钨灯来取代黑体作为辐射源，其电压可以调节，电流也能够进行调节。但是与黑体的能量密度曲线相比，它存在着一定程度上的偏差。故我们需要对其进行适当的修正，使其可以近似充当黑体辐射源，从而进行实验验证。RT为钨丝灯总辐射本领：

RTTET 其中，T是总辐射系数，ET是黑体的辐射能量。 ETT4， 因此 RTTT4 其中， T一般我们采用TRT ET[10]

（1-e-BT），这样便可把溴钨灯的能量密度曲线近似修正为黑

体的能量密度曲线，从而开始进行实验验证。

上式中的B1.47104。

3.2.2 实验内容与实验步骤

（1）将实验系统的开关和溴钨灯的开关开启。然后将显示器的开启，以及运行计算机。

（2）进入黑体辐射实验系统软件的主界面，待系统自动归零后，将“工作方式”下的“模式”一栏，选择为“能量”、将“间隔”一栏，选择为“2nm”。将“工作范围”下的“起始波长”和“终止波长”设置为“800.0nm--2500.0nm”。将“最大值”一栏先设置为“5000.0”，“最小值”设置为“0.0”。“最大值”与入射缝以及出射缝的宽度有关系，入射缝与出射缝越大，进入的能量以及射出的能量就会越大，“最大值”一栏最大可以选择“10000”。

（3）本次实验入射缝为0.2mm，出射缝为0.2mm，首先选择溴钨灯在色温为2940K，此时电流为2.5A，增益1次，采集3次，点击单程扫描得到基线，即溴钨灯辐射能量曲线。此时并没有进行传递函数的计算，因此并没有进行将溴钨灯修正为黑

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体。其中采集3次是指，图像上每一点，也就是每一个数值，其实是3次实验结果的平均值。

扫描结果如下图所示：

由上图我们可以看到，基线能量很小，这与实验中选择的入射缝与出射缝的宽度均为0.2mm，狭缝宽度较小有一定关系。同时，实验中溴钨灯能量损耗也较多。 然后引入传递函数：

(,T)E1TE2T[8]

其中，E1T，E2T依次是未标定的钨丝灯的能量值和已经标定的能量值。 软件中自带了一条温度在2940K时，标定好了的溴钨灯的能量曲线。 （4）在“传递函数”项目与“修正为黑体”项目前打上对勾。

（5）先选取2.50A，进行黑体扫描，并输入与之相应的色温2940K，将经过传递函数修正后的辐射谱线存在寄存器2内。由于Stefan-Boltzmann定律是在归一化下进行的，所以我们也要把实验得到的谱线归一化。从下图我们可以看出，经过归一化后得到的谱线比未经归一化的辐射谱线在图中位置高，也就是能量大。 下图为3条辐射谱线的对比图：

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（6）此时根据上图中波峰的最大值，将“最大值”一栏设置为“4000.0”。在表1中任意选取5个不一样的电流值，重复上述步骤，并输入与之相应的温度，将实验曲线依次存入5个寄存器内，并依次对每个实验结果归一化。本次实验选取的电流依次为：2.50A、2.30A、2.20A、2.10A、2.00A，与之对应的色温分别为：2940K，2860K，2770K，2680K，2600K，在图1中对应的谱线为从上往下。实验结果如图1所示。

电流（A） 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 色温（K） 2250 2330 2400 2450 2500 2550 2600 2680

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2.20 2.30 2.50 2770 2860 2940 表1 钨丝灯的各个电流与温度对照表

图1 修正后5个电流下溴钨灯的能量密度曲线

3.2.3 黑体辐射实验数据处理及计算结果 （1）验证Planck辐射定律

在五条曲线上各取一个点，为了减小实验误差，我们分别选取曲线上能量最大的一点，按Enter键，在出现的方框中点击“计算”。 表2为处理后的实验数据： 波长/nm 978 1020 色温/T(K) 2940 2860 ET理/Wmm3 ET实/Wmm3 2832.2 2467.3 2793.7 2467.6 相对误差 1.36% 0.01%

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1094 1100 1142 2770 2680 2600 2092.8 1781.5 1529.9 2082.5 1780.1 0.49% 0.08% 1527.6 0.15% 表2 验证Planck辐射定律

由表2我们可以看出，ET的理论值与实际测量值的相对误差平均为0.41%，误差很小。

（2）Stefan-Boltzmann定律的实验证明

表3为验证Stefan-Boltzmann定律的实验数据：

色温/T(K) 2940 2860 2770 2680 2600 ET/Wmm2 T4 /1014Wmm2K4 5.6351 5.6799 5.6324 5.5755 5.5504 4.2101e+000 7.4712e+013 3.8002e+000 6.6906e+013 3.3160e+000 5.8873e+013 2.8762e+000 5.1587e+013 2.5364e+000 4.5698e+013 表3 验证Stefan-Boltzmann定律

由表3的实验数据，我们可以算出5.61461014W/(mm2K4)。由于理论值为

5.67010-14W/(mm2K4)，则实际测量值与理论值的相对误差为0.98% 。

（3）验证Wien位移定律

表4为验证Wien定律的实验数据：

色温/T(K) max/mm 972 1020 1094 1100 1142 A/(mmK) 2.858 2.917 3.030 2.948 2.969 2940 2860

2770

2680

2600

表4 验证Wien位移定律

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由上表中的数据，我们可以算出A2.944mmK。由于理论值A2.896mmK，则实际测量值与理论值的相对误差为1.65% 。 4 结论

Planck黑体公式成功地处理了第二朵乌云中出现的问题，而且提出了量子化假设。通过实验验证了Planck辐射定律，并从实验数据以及绝对黑体理论谱线中可以发现，实验得到的辐射谱线与理论谱线基本符合，辐射能量的理论值大多数高于实验值，这是由于溴钨灯的能量有损耗，比黑体能量小的原因所造成的。并且验证了Stefan-Boltzmann定律和Wien位移定律，相对误差均不超过1.65%。

参考文献：

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[9] 陆婉珍.现代近红外光谱分析技术[M ].北京: 中国石化出版社，2000:58~65

[10]陈晓明.黑体辐射定律及实验教学相关问题探讨[J].实验室研究与探索,2009,28(5):27~29

Deduction of Planck Formula and Test on the Experiment of

Black-body Radiation

Liu Xiaoyang

(Department of Physics and Electronic Science,Shanxi Datong University,037009)

Abstract:This paper based on the Planck’s quantum assumption and used electrodynami-

cs and the thermodynamic statistical physics，to deduce the Planck Formula.And based on the instrument of WGH- 10 experiment apparatus，to test the basic rule of black-body radi- ation.

Key words:Planck formula;black-body radiation;classic;radiant source;transfer function

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