甘肃省天水一中2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

数学理科

（满分 100 时间 90分钟）

一、

选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题p:xR,2x5，则p为( )

A、xR,2x5 B、xR,2x5 C、x0R,2x05 D、x0R,2x05 2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S84a3，a72，则a9（ ） A．-6 B．-4 C．-2 D．2

3．已知椭圆的一个焦点为F(0，1)，离心率e1，则该椭圆的标准方程为( )

2x2y2x2y2x2y222A．1 B．1 C．y1 D．x1 4334224.若aR，则a2是(a1)(a2)0的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5. 抛物线yA．3

12x上点P的纵坐标是4，则其焦点F到点P的距离为（ ） 4

C．5

D． 6

B．4

2y26．过双曲线x1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B

3两点，则AB（ ） (A)43 (B)23 (C)6 （D）43 37．下列4个命题是真命题的是（ ）

22xy0则x、y均为零”的逆命题 ①“若

②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若ABA则AB”的逆否命题 ④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④

1

x2y28.已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两

ab点.若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2A．1 B．1 C．1 D．1

4536362727181899．已知抛物线C：y＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝( )

1

A. B. 2 C.2 210．已知点

，

分别是双曲线

D．2 2

的左、右焦点，过

且垂直于

2

轴的直线与双曲线交于值范围是（ ） A.

B.

，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取

C. D.

二 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置 11．若过点P(5,2)的双曲线的两条渐近线方程为x2y0和x2y0,则该双曲线的实轴长为___________.

12.已知数列an满足3an1an0,a24,则an的前10项和等于________． 313. 实轴是虚轴的3倍，且经过点P(3,0)的双曲线的标准方程是

14. 已知数列{an}中，a13,a25，且对于任意的大于2的正整数n,有anan1an2则

a2015 15．已知F为抛物线yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB22（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是 三、解答题：本大题共4个小题，共40分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,

解答应写在答题卡指定的区域内． 16．（本题满分8分）

1x

已知c>0，设命题p：函数y＝c为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数 f(x)

2

2

11

＝x＋>恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．

xc17．（本题满分10分）

已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=1*

（nN），求数列bn的前n项和Tn． 2an118. （本题满分10分）

已知抛物线C：y＝2px(p>0)过点A(1，－2)． （Ⅰ）求抛物线C的方程

（Ⅱ）)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于19．（本题满分12分）

在直角坐标系xOy中，点P到两点(22,0)、(22,0)的距离之和等于6，设点P的轨迹为曲线C，直线xmy10与曲线C交于A、B两点． （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若以线段AB为直径的圆过坐标原点，求m的值；

（Ⅲ）当实数m取何值时，AOB的面积最大，并求出面积的最大值．

理科答案

一 DABAC DCDBC 二 11 6 12 3135

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 5

2

10x2 13 9y21 14 -5 15 3 三 16解 ∵函数y＝c为减函数， ∴0函数f(x)＝x＋>对∈[，2]恒成立，

xc2f(x)min＝21

x·＝2， x

x

11111

当x＝，即x＝1∈[，2]时，有<2，得c>，即q真时，c>.(5分)

x2c22

3

∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．(6分) 1

①p真q假时，021

故c的取值范围为02

17 （Ⅰ）设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有

a12d72a110d26Sn=3n+，解得

a13,d2，所以

；an3（2n1)=2n+

n(n-1)2=n2+2n． 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an2n+1，所以bn=1111111==(-)， =an21（2n+1)214n(n+1)4nn+1所以Tn=n11111111，即数列bn的前n项和)=(1-+++-)=(1-n+14(n+1)4223nn+14Tn=n．

4(n+1)18解：(1)将(1，－2)代入y＝2px，

2

得(－2)＝2p×1， 所以p＝2.

2

故所求的抛物线C的方程为y＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，

y＝－2x＋t，2由2得y＋2y－2t＝0. y＝4x，

2

因为直线l与抛物线C有公共点， 1所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

2另一方面，由直线OA与l的距离d＝|－t|5可得＝，

55解得t＝±1.

5

， 5

11因为－1∉－，＋∞，1∈－，＋∞， 22

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

19解：（Ⅰ）由已知可得，点P的轨迹C是以(22,0)、(22,0)为焦点，长半轴为3的

4

椭圆．

x2它的短半轴bac981，故曲线C的方程为y21．---------2分

922（Ⅱ）设A(x1,y1)、B(x2,y2)．

x29y29消去x并整理得(m29)y22my80 xmy12m8，．-----------------4分 yy1222m9m9若以线段AB为直径的圆过坐标原点，则OAOB，∴x1x2y1y20．-----------5分

判别式0，故y1y2x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1，

x1x2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)1(m21)(∴(m21)(82m)m()1． 22m9m982m)m()10 22m9m918(m21)2m2(m29)09m210m．----------------8分

3

5