二次函数与直角三角形存在问题

 2012个性化辅导教案 老师 姓名 学科 名称 课题 名称 学生姓名 年级 学管师 上课时间 月 日 _ _ :00-- __ :00 直角三角形的存在问题 教学 重点 【经典练习讲解】 1. （2011•济南）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值； ②当S最大时，在抛物线y=﹣x+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由． 22教 学 过 程 1 2012个性化辅导教案 2. 如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）。点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动。其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ。求： （1） 点 （填M或N）能到达终点； （2） 求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t和取值范围，当t为何值时，S的值最大； （1） 是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。 yCN←BQOM→P Ax

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2012个性化辅导教案 3. （2010•铜仁地区）如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合． （1）设OP=x，OE=y，求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值； （2）当PD⊥OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式； （3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△EPM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 3

2012个性化辅导教案 4. （2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，

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2012个性化辅导教案 OC=4，抛物线y=x+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b，c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下： ①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由． 2

点：二次函数综合题。 分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值； 2（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标； （3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得； ②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m﹣2m﹣3），可得m﹣2m﹣2=，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n﹣2n﹣3），可得n﹣2n﹣2=﹣得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标． 解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5）， 2∵二次函数y=x+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴， 2222），点D的坐标，求解得：b=﹣2，c=﹣3； （2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴直线AB的解析式为：y=x+1， 2∵二次函数y=x﹣2x﹣3， 2∴设点E（t，t+1），则F（t，t﹣2t﹣3），

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2012个性化辅导教案 ∴EF=（t+1）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）+∴当t=时，EF的最大值为∴点E的坐标为（，）； （3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD． 可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4） ； ， 22， S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=②如图： 2ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m﹣2m﹣3） 则有：m﹣2m﹣2=， 解得：m1=∴P1（，m2=，），P2（， ，）， 2 2ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n﹣2n﹣3） 则有：n﹣2n﹣2=﹣2， 解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去）， ∴P3（，）， ，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以综上所述：所有点P的坐标：P1（EF为直角边的直角三角形． 6

2012个性化辅导教案 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很 5. （2011•徐州）如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，﹣2）． （1）求此函数的关系式； （2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由． 2 7

2012个性化辅导教案 6. （2009•防城港）如图，在平面直角坐标系中，直线y4x6与x轴、y轴分别相交于A、3D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折，使点Ｏ刚好落在直线AD上的点C处． （1）求BD的长． （2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBDS1，S△NOAS2，当点N运动到什么位置时，S1与S2的积的值最大，求出此时点N的坐标． （3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；

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2012个性化辅导教案 若不存在，说明理由． yD N C B O A x 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y12xbxc与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点． 2（1） 求抛物线的解析式和顶点C的坐标； （2） 设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为（0≤90）． ① 当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形； ② 设BP=t，AQ=s求s与t之间的函数关系式．

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2012个性化辅导教案 y C O A P D Q B x 8. （2009•湛江）已知矩形纸片OABC的长OA=４，宽OC=３，以OA所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系。点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△OPC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合． (1)若点Ｅ落在BC边上，如图①，求过P、C、D三点的抛物线的解析式； (2)若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP=x，AD=y当x为何值时，y取得最大值？ (3)在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的

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2012个性化辅导教案 直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 y C E y B C F E F D D B O 图① P A x O P 图② A x 9. （2009•营口）如图，正方形ABCO的边长为5，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O(2＜45º)，B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y＝ax＋bx＋c过点A1、B1、C1． (1)求tan的值； (2)求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标； ．．．． 11 2012个性化辅导教案 (3)求抛物线的解析式及其对称轴； (4)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条．．．．．．．件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10. （2011•西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（﹣1，0）．如图所示，B点在抛物线y=x+x﹣2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12 2 2012个性化辅导教案 11. （2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． ①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值； ②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答． 2 13

2012个性化辅导教案 12. （2011•朝阳）平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，﹣）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0），且BC=5，AC=3（如图（1））． （1）求出该抛物线的解析式； （2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s． ①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）； ③ 当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

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2012个性化辅导教案 13. （2010•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）． （1）求过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S； ①求S与t的函数关系式； ②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？ （3） 点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由． 15

2012个性化辅导教案 14. （2010•达州）如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax+2x与x轴相交于点B，O． （1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标； （2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 2 16

2012个性化辅导教案 课后小结 上课情况： 课后需再巩固的内容： 配合需求：家 长 _________________________________ 学管师 _________________________________ 17