正方形的判定专项练习30题（有答案）
1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
2．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
3．已知：如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF． （1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．
理由是：因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上． 所以BF=AE，∠F=∠ _________ 可得BF∥ _________
又因为E是AC的中点，所以EC=AE， 所以BF= _________
因此，四边形BCEF是平行四边形（根据 _________ ）
（2）小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形．你也来试试．
你认为添加条件 _________ 后，四边形BFEC是 _________ ．（友情提示：我们将根据你所提出问题的难易程度，给予不同的分值．）理由是： _________ ．
4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证： （1）点F为AC中点；
（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？并证明你的结论．
6．求证：对角线相等的菱形是正方形．
已知：四边形ABCD是菱形，且AC=BD （又：AC，BD互相平分） 求证：四边形ABCD是正方形．
7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．
8．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．
（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由． （Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？
9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE． （1）求证：△BFD≌△CED；
（2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．
10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．求证：四边形ABCD是正方形．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F． （1）求证：DE=DF；
（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是 _________ ．
12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．
13．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE是正方形．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）试说明△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F． （1）说明 EO=FO．
（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．
（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？
16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E （1）求证：PD=PE；
（2）DE与BC平行吗？请说明理由；
（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．
17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F， （1）求∠ADB的度数；
（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形．
18.证明：对角线相等的菱形是正方形．
19．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB． ①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．
21．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？
22．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB． 求证：四边形BEDF是正方形．
23．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH． 求证：四边形EFGH是正方形．
24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F． 求证：四边形CEDF是正方形．
25．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的． 求证：四边形EFGH是正方形．
26．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．
27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由．
28．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB． （1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是 _________ 形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 _________ 形；
（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 _________ 形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）
30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：
（1）说明四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？ （4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？
（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？ （第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）
矩形的判定30题参考答案：
1.（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO．
∵△ACE是等边三角形， ∴AE=CE． ∴BE⊥AC．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）从上易得：△AOE是直角三角形， ∴∠AEB+∠EAO=90° ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO=60°， ∴∠AEB=30°
∵∠AEB=2∠EAB， ∴∠EAB=15°，
∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°． 又∵四边形ABCD是菱形． ∴∠BAD=2∠BAO=90°
∴四边形ABCD是正方形． 2．（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是矩形．
（2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，
∵∠AEC=90°，
∴∠EAC=45°=∠ACE， ∴AE=CE，
∵四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形． 3．（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC（3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．（2）A层次：（提出问题（1分），说理1分） 添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分） 理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）． B层次：（提出问题分，说理1分）
添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形． 理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形又知
AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形． C层次：（提出问题（3分），说理3分）
添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方
形．（7分） 理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边形BFEC为矩形，又因为AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．
4．∵四边形ABCD是矩形， ∴四个内角均为90°，
∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线， ∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴△EBC为等腰直角三角形， ∴∠E=90°，
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°， ∴四边形MFNE为矩形，
∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°， ∴△DAF≌△CBE（AAS） ∴AF=BE， ∵AM=BM，
∴AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM， ∴四边形MFNE是正方形． 5．（1）∵四边形DBEC是平行四边形， ∴DE∥BC，
∵D为AB中点，
∴DF为△ABC的中位线， 即点F为AC的中点；
（2）∵平行四边形BDEC， ∴CE平行等于BD． ∵D为AB中点， ∴AD=BD，
∴CE平行且等于AD，
∴四边形ADCE为平行四边形， 又∵AD=CD=BD，
∴四边形ADCE为菱形； （3）应添加条件AC=BC．
证明：∵AC=BC，D为AB中点， ∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°． ∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°． ∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）
6．∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD也是平行四边形， 又∵AC=BD（且AC，BD互相平分）， ∴四边形ABCD也为矩形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是正方形．
7．∵DE平分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD， ∴EF=EG， ∵DE=DE，
∴△DEF≌△DGE（HL），
∴∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF， ∴FE∥DG，GE∥DF，
∴四边形EFDG是平行四边形， ∵∠EFD=90°，
∴四边形EFDG是矩形， ∵EF=EG，
∴四边形EFDG是正方形．
8．Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时， 矩形ABCD的长是宽的2倍． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC， 又∵AM=DM，
∴△AMB≌△DMC（SAS） ∴∠AMB=∠DMC
∵四边形PEMF为矩形， ∴∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°
∴AM=DM=DC，即AD=2DC． ∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；
法2：∵四边形PEMF为矩形， ∴∠M为直角，
∴B、C、M三点共圆，BC为直径， 又∵M为AD的中点， ∴BC=2CD，
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．
（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．
∵△AMB≌△DMC， ∴MB=MC．
∵四边形PEMF为矩形， ∴PE∥MB，PF∥MC 又∵点P是BC中点， ∴PE=PF=MC
∴四边形PEMF为正方形．
9．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠BFD=∠CED=90°， 在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）； （2）答：四边形AFDE是正方形．
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴四边形AFDE是矩形， 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE， ∴DF=DE，
∴四边形AFDE是正方形
10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE， ∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED， ∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD， ∴∠CBE=∠ABE=45°，
∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形， ∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形． 11．（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵D是BC中点，AB=AC， ∴BD=CD，
在△BFD与△CED中，
∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF．
（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时， 则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形， 又∵∠A=90°，
∴菱形AEDF为正方形
12．过点D作DG⊥AB，垂足为G， ∵∠CFD=∠CED=∠C=90°， ∴四边形CEDF是矩形．
∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线， ∴DF=DG，DG=DE． ∴DF=DE．
∴四边形CFDE是正方形．
13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形CFDE是矩形．
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF．
∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 14．（1）∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C．
∵D为BC边的中点， ∴BD=CD．
在△BED与△CFD中， ∵
，
∴△BED≌△CFD（AAS）；
（2）四边形AEDF是正方形．理由如下： ∵∠DEB=90°，∠A=90°， ∴∠DEB=∠A， ∴AF∥ED． 同理，AE∥FD，
∴四边形AEDF是矩形．
又由（1）知，△BED≌△CFD， ∴ED=FD，
∴矩形AEDF是正方形 15．（1）∵MN∥BC，
∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，
∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线， ∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF， ∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF， ∴OC=OE，OC=OF， ∴OE=OF，
（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，
理由：∵O点为AC的中点， ∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF， ∴OA=OC=OE=OF， ∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形，
（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，
理由：∵O点为AC的中点， ∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF， ∴OA=OC=OE=OF， ∴AC=EF，
∵AC⊥BC，MN∥BC， ∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形． 16．1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠PDB=∠PEC=90°， ∵P是BC的中点， ∴BP=PC，
即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC， ∴△PDB≌△PEC， ∴PD=PE．
（2）答：DE∥BC，
理由是：∵△PDB≌△PEC， ∴BD=CE， ∵AB=AC， ∴
=
，
∴DE∥BC．
（3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°， ∴四边形ADPE是矩形， ∵AB=AC，BD=CE， ∴AD=AE，
∴矩形ADPE是正方形，
即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形． 17．（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°；
（2）四边形CEDF是正方形． 过D作DG⊥AB于G，
∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线， ∴DF=DG，DE=DG， ∴DF=DE，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∴四边形CEDF是正方形．
18．连接AC、BD相交于O
∵菱形ABCD
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD ∵AC=BD ∴OA=OB
∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直） ∴∠OAB=∠OBA=45° 同理∠OBC=∠OCB=45° ∴∠OBA+∠OBC=90° ∴∠ABC=90° ∴ABCD是正方形．
19．①∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形； ②∵四边形AEDF为菱形， ∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可 20．∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠AED=90°，∠AFD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴□AEDF是矩形 在△BDE和△CDF中 ∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点 ∴BD=DC
∴△BDE≌△CDF ∴DE=DF
∴□AEDF是正方形
21．四边形CDFE是正方形 理由如下：
∵FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC ∴四边形CDFE是矩形 ∵CF平分∠ACB ∴∠FCD=45° ∴CD=DF
∴四边形CDFE是正方形
22．∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°． ∴四边形BEDF为矩形．
又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DF=DE．
∴矩形BEDF为正方形．
23．∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG， 又∵BE=CF=DG=AH， ∴CG=DH=AE=BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG，
∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA， ∴四边形EFGH为菱形，
∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA， ∴∠FEB+∠HEA=90°， ∴四边形EFGH是正方形．
24．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°， 又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形， ∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方形．
25．∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，
∴∠BAE=∠ABE=45°． ∴∠E=90°．
同理，∠F=∠G=90°． ∴四边形EFGH为矩形．
∵AD=BC，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°， ∴△ADH≌△BCF（AAS）． ∴AH=BF．
又∵∠EAB=∠EBA， ∴AE=BE．
∴AE+AH=EB+BF，即EH=EF． ∴矩形EFGH是正方形．
26．四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形． 理由如下： ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC，且EF=AC， EH∥BD，且EH=BD， ∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，EF⊥EH， ∴AC=BD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．
即四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．
27．本题答案不唯一，以下是其中两种解法：
（1）添加条件AB∥DC，可得出该四边形是矩形； 理由：∵AB∥DC，AB=DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）添加条件AC垂直平分BD，那么该四边形是正方形．
理由：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD． ∵AB=DC，
∴AB=AD=BC=DC．
∴四边形ABCD是菱形． ∵AC垂直BD，
∴四边形ABCD是正方形．
28．（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO=AC，
∵EA=EC， ∴EO⊥AC， 即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED， ∴∠1=∠DAC， ∴AO=DO，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AC=2AO，DB=2DO， ∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形．
29．（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形； （2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAE=∠DAF， ∴∠ADE=∠DAE， ∴AE=DE，
∴▱AEDF是菱形；
（3）由（1）知四边形AEDF是矩形，由（2）知四边形AEDF是菱形，所以四边形AEDF是正方形． 30．（1）四边形ADEF是平行四边形． ∵等边三角形BCE和等边三角形ABD， ∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°﹣∠ABE，∠ABC=60°﹣∠ABE， ∴∠DBE=∠ABC． 在△BDE和△BCA中
，
∴△BDE≌△BCA．（2分） ∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF， ∴DE=AF． 同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分） 理由：∵∠DAF=360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAF=90°， ∴▱ADEF是矩形． （3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．（6分） 理由：∵AB=AC， ∴AD=AF，
∴▱ADEF是菱形．
（4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）
（5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）
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