基于最大熵原理的人口预测模型的最优控制

第３０卷第４期（上）　２０１４年４月　赤峰学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏｌ｜３０Ｎｏ．４　Ａｐｒ．２０１４　基于最大熵原理的人口预测模型的最优控制　戴晓娟　（宁夏师范学院摘数学与计算机科学学院，宁夏　固原　７５６０００）　要：本文提出一种基于最大信息熵的人口预测模型，该模型以熵函数作为目标函数，以已知数据　的各阶统计距作为约束条件，通过最大化熵来预测人口的发展状况．并通过现有数据，对我国未来人口分　布做了相应的预测．　关键词：最大熵；预测；模型；最优控制　中图分类号：０２３２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２６０Ｘ（２０１４）０４—００１６－０３　１　引言　此研究报告说明，人口老龄化速度加快，高龄　人类社会发展到今Ｅｔ，面临着一系列严峻的挑　趋势明显，这显然也会影响到将来的人口发展．因　战，诸如战争与和平、生态失衡、人口爆炸、环境污　此我们建立偏微分方程对我国将来的人口数量作　染、资源短缺等．其中尤为突出是人口问题，因为人　出更加合理的估计．即假设人口的数量不仅和时间　口的发展影响和制约着经济的发展，而经济的发展　ｔ有关，还与年龄Ｘ有关．　则关乎社会的进步，人类的文明，它们之间是相辅　＋　＝一　（ｘ，ｔ）ｐ（ｘ，ｔ），ｔ，ｘ＞０　相成的．　以中国为例，由于我国是一个人口大国，我们　ｐ（ｘ’。　ｐ０（ｘ）　（１）　所面临的人口问题，不仅有人口数量控制的问题，　ｐ（Ｏ，ｘ）：ｆ（ｘ）　一　更重要的是面临着复杂的人口流动、管理、保障和　发展的问题．在这一过程中，如何遵循以人为本的　Ｆ（ｘ，ｔ）＝』：ｐ（Ｘ＇１）ｄｘ　其中ｔ＞０为时间，Ｘ为人的年龄，均为连续变　科学发展观，遵循经济规律和人口变动规律，最大　量，ｐ（ｘ，ｆ）为人口密度函数，　（ｘ，ｆ）为死亡率，Ｖ（ｘ，ｔ）为　限度的实现社会公正，是新时期人口发展和管理面　给定时刻ｔ年龄小于Ｘ的人口分布函数．这个连续　临的新课题．正确认识人口变动特征，则是解决人　型人口发展方程描述了人口的演变过程，从这个方　口问题的前提．　程确定出的密度函数可以直接得到各个年龄的人　根据全国第六次人口普查数据的显示，我国人　口数，即人口分布函数．　口有如下显著特点：　本文在此模型的基础上提出一种基于最大信　（１）人口增速减缓，经济社会发展推动生育率　息熵的人口预测模型，该模型以熵函数作为目标函　的进一步下降　数，以已知数据的各阶统计距作为约束条件，通过　（２）“未富先老”人口老龄化加剧　最大化熵来预测人口的发展状况．　（３）城市化水平提速，中国已经进入城市人口　２最大信息熵原理　快速增长期　２．１基本原理　（４）出生人口性别比例失衡，制约经济发展和　熵最初来源于热力学．在哲学和统计物理中被　社会稳定　解释为物质系统的混乱和无序程度．信息论则认为　（５）流动人口成正增长趋势，影响社会的发展　它是信息源的状态的不确定程度．所谓熵增加原　基金项目：本文系校科研项目（ＹＢ２０１３４７）　一ｌ６一　理，是指孤立系统向着微观状态最混乱的方向变　响，能够更精确地描述人口年龄的结构及发展趋　势，故选取我国１９９０年到２０１０年的人口数据．　化，直到熵达到最大．　１９４８年，香农把波尔兹曼熵的概念引入信息　论并把熵作为度量一个随机事件的平均不确定性．　因此，信息数量的大小，可以用被消除的不确定性　的多少来表示，而随机事件的不确定性的大小可以　用概率分布函数来描述．　如果随机变量为离散型，ｘ的取值为Ｘｉ，ｉ＝ｌ，２，　…鉴于模型（１）属二维概率分布，有两个变量，所　以取时间为任意固定值，密度函数的变化决定人口　的分布．我们首先来确定时刻ｔ年龄为ｘ的人口死　亡率Ｗ（ｔ，Ｘ），由于现阶段由于医疗水平等条件的限　制，可以近似地认为在一定时期内人口死亡率是保　持不变的，即认为Ｉｘ（ｔ，ｘ）仅仅是年龄ｘ的函数　（ｘ）．　利用提供的数据进行数据拟合，得到的年龄与死亡　，ｎ，ｘｉ出现的概率为ｆ）ｉ，ｉ：１，２，…，ｎ，∑ｐｉ＝１，则包含　ｉ＝１　的信息量为Ｈ（ｘ）＝一∑ｐｉｌｏｇｐｉ，其中Ｈ是ｐｌ，ｐ　，…，ｐ　ｉ＝１　的连续函数，当且仅当ｐｌ＝ｐ：＝…：ｐ　时，Ｈ取最大值．　如果随机变量ｘ是连续分布的，其分布密度　函数为ｐ（ｘ），Ｘ熵定义为　ｆ　Ｈ（ｘ）＝一ｊ　ｐ（ｘ）ｌｏｇｐ（ｘ）ｄｘ　矗　基于熵的定义，可以直观地说明最大熵分布原　理：使其熵在一些约束条件下达可以到最大值，即　ｆ　ｍａｘＨ（Ｘ）＝－Ｊ。ｐ（ｘ）ｌｏｇｐ（ｘ）ｄｘ　Ｊ　ｐ（ｘ）ｄｘ＝１　』　ｘ　（ｘ）ｄｘ＝　ｎ＝１，２，…，Ｎ　式中，　为第ｎ阶原点矩，其值可由样本数据　计算出来，Ｎ为所用原点矩的阶数．　２．２求解方法　最大熵分布就是在保证样本的统计特性条件　下通过调整ｐ（ｘ）使熵Ｈ达到最大．现用经典的变分　法求解目标函数的极值问题．　引入拉格朗日乘子ｈｏ，ｈ　一，入　，令　Ｌ＝Ｈ（ｘ）＋入。（ｆ　ｐ（ｘ）ｄｘ一１）＋　：入１（ｊ　ｐ（ｘ）ｘ“ｄｘ一　ｌ１）　（３）　３Ｌ／Ｏｐ（ｘ）＝０，得　Ｎ　．　ｏｔＳＯｐ（ｘ）一『Ｒ（１＋ｌｎｐ）ｐ（ｘ）ｄｘ＋ｊ　入　』　ｘ怔ｏ　／　Ｎ　、　可得ｐ（Ｘ）＝ｅｘｐ（入０＋∑　１　（４）　３最大信息熵在人口预测模型中的应用　３．１模型选取　由于偏微分方程考虑了年龄对人口增长的影　率之间的函数关系为：　Ｉ（ｘ）Ｊ：ｅ　＝ｅ　ｍ　ｍ　（１５））Ｊ　３．２取已得样本得５阶原点距为约束条件，由公式　＝　ＩＩ１　ｉ＝∑ｘｌ　ｉｎ计算．其中，ｎ为采样次数，ｉｎ为原点距　阶次．　３．３根据特征值矩阵求出各个约束条件，应用最　大熵原理求出特征估计的分布函数，得到一个预测　的人口分布函数Ｐｉ，根据式（１），（２）可得　ｒ　ｍａｘＨ（Ｘ）＝－Ｉ　ｐ（ｘ）ｌｏｇｐ（ｘ）ｄｘ　Ｊｆ　ｐ　（ｘ）ｄｘ＝１　（６）　』　ｘ５ｐ（ｘ）ｄｘ＝　１　ｉ　。，Ｎ　其中Ｘ为人口的年龄变量，是预测问题的变　量．通过调整Ｐ来使得熵最大，并采用拉格朗Ｅｔ乘　子法来求解此问题．　设Ｈ为拉格朗日函数，拉格朗日乘子因子为　ｋｌ，．－－，ｋ　，根据式（４）则有：　Ｈ＝Ｈ（ｘ）＋（入０＋１）（Ｊ　Ｒｐ（ｘ）ｄｘ一１）　十ｉ　１∑　Ｉ【　　ｆ　（ｘ）ｄｘ．１∑　ｉＩｎ　ｉ＝１　ｎ　ＪＩ　　（７）　令ｄＨ／ｄｐ（ｘ）＝０有　一ｆ［１ｎｐ（ｘ）＋１］ｄｘ　。＋１）　＋　：ｉ　ｄｘ＝０　（８）　根式（５）可以解得ｐ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｈｏ＋∑入ｉｘｉ）　（９）　式（１０）就是最大熵概率密度函数的解析形式．　将式（１Ｏ）代入式（３）可得　由图１可以看出，我国人口结构老龄化进程加　（１０）　速，在２０５０年左右达到高峰，随机趋稳．图２得　出，到２０２０年乡镇人口大批涌入城市，城市人口　饱和．除此，还可以看出，在实现稳定低生育水平　的前提下，由于人口基数大，未来相当一个时期　人口还将持续增长，但由于计划生育政策的执行　ｘｏ＝．１ｎｌ　＼Ｊ　ｅｘｐｌ　、ｉ＝１　Ｊｄｘ）　（１２）　零增长．　５结论　使我国人口得以控制，在４０到５Ｏ年以后将达到　把（９）式代入（６）式，即可得到此人口的概率密度　函数确定的最大熵．再把（５）与（９）式代入（１）式，可得　利用最大熵原理分析人口密度函数，从而确定　到人口的结构预测和人口分布结果．　４实例研究　通过以上所述模型的建立过程及相应的算法，　运用历年的统计数据，借助Ｍａｔｌａｂ软件对我国人　口分布作中长期（２０２０年～２０５０年）预测，求得以下　结果：　图２　一１８一　人口分布函数，得到的对未来人口结构和分布的预　测情况．我国人口的年龄变化是一种随机事件，最　大熵方法确定的被测量分布是含有最少主观假定　的分布，因此用最大熵原理来预测其分布是可靠　的．　参考文献：　［１］朱雪龙．应用信息论基础［Ｍ］．ｊ匕京：清华大学出　版社．２００１．　［２］沈世镒，吴忠华．信息论基础与应用［Ｍ】．北京：高　等教育出版社。２００４．７．　［３］徐宗学．熵极大识别准则及其应用［『】．武汉水力　电力学院学报，１９８７．　（４］马力，张学文．最大熵原理与概率分布函数［Ｍ】．　数理统计与应用概率．１９９３．　［５］冯利华，张萍．基于最大熵原理的台风统计预报　Ⅱ】．海洋科学，２００３，２７（３）：４７—５１．　（６］朱成骐，孙宏斌，张伯明．基于最大信息熵原理的　短期负荷－￣ｍ，ｌ综合模型［『］．中国电机工程学报，　２００５（１０）：１—６．　［７］李环，高全胜，李育武，周静．中国人口增长的状态　空间预测模型Ⅱ］．武汉工业学院学报，２００９，２８　（１）：１０１－１０５．