2017届高考数学(文)二轮复习 大题专项强化练五 Word版含解析

大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 姓名：________ 班级：________

*

1．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，得an＝2Sn－1＋3， 两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， ∴an＋1＝3an， an＋1∴＝3. an

a2当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.

a1

∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．

－

∴an＝3×3n1＝3n.

(2)由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)×3n.

∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，①

＋

3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)×3n1，②

＋

①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)×3n1

＋

＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n1

－

321－3n1＋

＝3＋2×－(2n－1)×3n1

1－3

＋

＝－6－(2n－2)×3n1.

＋

∴Tn＝(n－1)×3n1＋3.

2．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式；

41

(2)若数列aa＋2的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.

2nn

解：(1)因为2Sn＝(n＋1)an， 当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，

两式相减，得 2an＝(n＋1)an－nan－1， 即(n－1)an＝nan－1，

anan－1所以当n≥2时，＝，

nn－1

ana1所以＝.

n1

因为a1＝2，所以an＝2n.

4

(2)因为an＝2n，令bn＝，n∈N*，

anan＋2

4111

所以bn＝＝＝－.

2n2n＋2nn＋1nn＋1

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

11111－1－－＝2＋23＋…＋nn＋1 

1n

＝1－＝. n＋1n＋111因为>0，所以1－<1. n＋1n＋1

1

因为f(n)＝在N*上是递减函数，

n＋1

1

所以1－在N*上是递增的，

n＋1

1

所以当n＝1时，Tn取最小值.

2

1

所以≤Tn<1.

2