基本不等式小结

基本不等式小结

一、背景

数量关系有两种：等式关系和不等式关系，

在等式关系有一种很重要的关系——恒等关系，

在不等式关系中也有一种类似的重要的关系——恒“不等”关系（恒或恒·这里的“恒”是恒成立的意思），基本不等式正是这种恒成立关系中的一种，正是这种恒成立的关系使我们能解决一些大小比较和求最值的问题。

二、内容

（一）基本不等式

*a,bR1， ab2ab 等号成立ab

222，a,bR ab2ab 等号成立ab

（二）基本不等式的变式

a2b2ab2(ab)ab2(a2b2)(ab)2221，

22a,bR，\"=\"成立ab

2，a,bR

(ab)24ab(ab2)ab2 等号成立ab

2223，a,b,cR abcabbcca 等号成立abc

2222a,b,cR(abc)3(abc)等号成立abc 4，

三，习题：

（一）：比较大小的题型

24已知：m0,求证：6m24m1，

22若0a1,0b1,且ab,则:ab,2ab,2ab,ab最大的一个是？2，

3，已知：a,b,c为正数，且abc1,求证：2a32b32c333

22已知：0ab,ab1,则：1/2,b,2ab,ab4，

总结：

特殊值法，基于基本不等式（及变形）的推理

（二）：求最值的题型

111已知a,b,c是正数，abc1,则：的最小值是？abc1，

4已知：x0,求y=2x的最大值x2，

3，

已知：x2,则：yx1最小值是？x2

11已知：0x,则：yx(12x)的最大值是？224，

总结：

基于基本不等式（及变形）的推理

因为最值是肯定能取到的，故一定要验证“一正二定三相等”的条件

（三）：综合题型

1，若直角三角形的周长为定值L(L>0),求面积的最大值

小结：

一、数列

题型一：求通项公式

对策：定义，推论

题型二：求和

对策：定义，裂项，错位相减

二、立体几何

题型一：异面直线成角

题型二：线面角

题型三：面面角

对策：法向量成角

三、三角问题

题型一：三角函数

对策：归一

题型二：解斜三角形

对策：正弦定理、余弦定理

四、复数

对策：定义

五、导数

对策：定义，几何意义

六、不等式