二次函数
知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用
a, b 表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，
”分开，横、纵坐标的位置不能颠
倒。平面内点的坐标是有序实数对，当
a b 时， a,b 和 b, a 是两个不同点的坐标。 知识点二、函数及其相关概念
1 、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应， 那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（ 1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（ 2）列表法
把自变量 x 的一系列值和函数
y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（ 3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点三、概念总结及基本性质
1、二次函数的概念：一般地，形如
函数的定义域是全体实数．
y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。二次
2. 、二次函数 y ax2 bx c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量
x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 3、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减，上加下减）
（1） y
ax2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a 的符号
开口方向
顶点坐标 对称轴
性质
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x
0 ，0 0 时， y 随 a
0
向上
y 轴
x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x
0 时， y 随 a 0
向下
0 ，0
y 轴
x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 ．
（2）
y
ax2 c 的性质：上加下减。
开口方向
a 的符号
顶点坐标 对称轴 性质
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x
向上 0 ，c
0 时， y 随 a
0
y 轴
x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c ． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x
0 时， y 随 a
0
向下
2 0 ，c
y 轴
x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c ．
（3） y a x h 的性质：左加右减。
2
（4） y a x h
k 的性质：
4、二次函数 y ax2
bx c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数
y ax2 bx c 化为顶点式 y
.
a( x h) 2 k ，确定其开口方向、对
称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
一般我们选取的五点为：顶点、与
y 轴的交点 0 ，c 、以及 0 ，c 关于对称轴对称的点
2h ，c 、与 x 轴 的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 5、二次函数 y ax2
bx c 的性质
x 轴的交点，与 y 轴的交点 .
1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b ，顶点坐标为 b ，4ac
b 2 ．
2a 2a 4a
当 x
b 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x 2a b 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x
2a
b b 时，y 有最小值 2a
4ac b2 4a
．
2. 当 a 0 时，抛物线开口向下， 对称轴为 x
，顶点坐标为
2a
b ，4ac b 2 ．当 x 2a 4a
b
时， y 随 x
2a
的增大而增大；当 x
b
时， y 随 x 的增大而减小；当 x
2a
b
2a
时， y 有最大值
4ac b
4 a
2
．
6、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y 2. 顶点式： y 3. 两根式： y
ax2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； a( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a
0 ）；
a( x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .
知识点四、二次函数、二次方程、二次不等式 相同：
(1) 表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式
；
(2) 它们都含有类似的代数式：
ax2 bx c ；
(3) 它们的代数式都只含有一个未知数( 一元 ) ；
(4) 它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次
。 区别：
(1) 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式
； (2) 二次函数中，代数式
ax2 bx c 等于因变量 y ；
一元二次方程中，代数式
ax 2 bx c 等于零；
一元二次不等式中，代数式
ax 2 bx c 大于或小于零；
(3) 图像：
二次函数的图像是一条曲线：抛物线；
一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点
； 一元二次不等式的解集是线段或射线
。 联系：
(1) 一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识 (2) 令二次函数
。
y ax 2 bx c 的 y 0 ，则原式变为一元二次方程 ax2 bx c =0
，
令一元二次不等式 ax2 (3) 二次函数 y
bx c ＞ 0 的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程
ax 2 bx c =0 。
ax 2 bx c 抛物线与 x 轴的两交点的横坐标
x1 、 x2 （ x1 ＜ x2 ），即为一元二次方程
ax 2 bx c =0 的两根。
（抛物线与 x 轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。 一元二次不等式 ax2 对于 ax2 ① 当
）
bx c ＞ 0 解集是： x ＜ x1 或 x ＞ x2 ；
bx c ＜0，解集是： x1 ＜ x ＜ x2 。
b 2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1 ，0
，B x2 ，0 ( x1 x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程
2
ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1 b a
4ac .
② 当 ③ 当
0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 0 时，图象与 x 轴没有交点 .
1' 当 a 2' 当 a
0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ；
0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ．
8、两点间距离公式
点 A 坐标为（ x1，y1）点 B坐标为（ x2，y2）。则 AB间的距离，即线段 AB的长度为
x1 x2
2
y1 y2 2
【题型总结】
题型一：考查二次函数的定义、性质 1、已知以 x 为自变量的二次函数 y 2、当 m _________时，函数 y = 3、下列函数：①
2
( m 2)x 2 m2
2m 2 的图像经过原点， 则 m 的值是
(m 2 + m )x m - 2m - 1 是关于 x 的二次函数 . 2
2 2
1
⑤ y = x (1 - x ) ，其中是二次函数的是
y = 3x ；② y = x - x (1 + x ) ；③ y = x (x + x )- 4 ；④ y = x 2 + x； 题型二：综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像 3、如图，如果函数 y
kx b 的图像在第一、 二、三象限内，那么函数 y kx 2 bx 1 的图像大致是（
y 1 0 x C
）
y 1 0 x A
y
y
o-1 x B
0 -1 x D
4、在同一直角坐标系中， 函数
y mx m 和 y
mx 2 2 x 2 （ m 是常数，且 m
0 ）的图象可能是 （ ）
y
y
y
y
O
x
O B
x
O C
x
O D
x
A
题型三：考察图像平移 5、把抛物线 y A． y
x2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位 ，则平移后抛物线的解析式为 （
B． y
）
( x 1)2 3 (x 1)2 3 C ． y
( x 1)2
3
D． y
( x 1)2
）
3
6、抛物线 y
1
2 1 x2 向左平移 8 个单位，再向下平移 9 个单位后，所得抛物线的表达式是（
2
-9 B. y=
1
2
A. y=
(x+8) (x-8) +9
C. y=
1
(x-8) 2 -9 D. y=
1
2
(x+8) +9
2
2
2 2
题型四：由抛物线的位置确定系数的符号 7、二次函数 y
ax2 bx c 的图像如图 1，则点 M (b, ) 在（
c
）
a
A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
2
D ．第四象限
8、已知二次函数 y ax bx
c（ a ≠ 0）的图象如图 2 所示， ?则下列结论： ① a 、b 同号； ②当 x =1 和 x =3 ）
时，函数值相等；③ 4 a + b =0；④当 y=-2 时， x 的值只能取 0. 其中正确的个数是（ A． 1 个 B
．2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
(1)
(2)
题型五：考查用待定系数法求二次函数的解析式 9、已知：关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c
3 的一个根为 x 2 ，且二次函数 y ax是直线 x 2 ，则抛物线的顶点坐标为 ( )
A(2 ， -3)
B.(2
， 1) C(2 ，3)
D
．(3 ， 2)
10、已知一条抛物线经过 (0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为 x
5 ，求这条抛物线的解析式。
3
题型六：考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值 11、已知抛物线
2
y ax bx c（ a ≠ ）与 x 轴的两个交点的横坐标是－
0
1 3
、 ，与
y
（1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 2
bx c 的对称轴
轴交点的纵坐标是－ 3
。2
.
【过手训练】 1、当 m
_______时，函数 y = (m -
4) x m 2- 5m + 6 +3x 是关于 x 的二次函数。
）
2、抛物线 y A、开口向下
x2 不具有的性质是（
B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 3、苹果熟了，从树上落下所经过的路程
2S 与下落时间 t 满足 S ＝ gt （ g＝ 9.8 ），则 S 与 t 的函数图像大 2
1
D 、最高点是原点
致是（
s
）
s
s
s O
t
t
O
t
O B
t
O C
A
4、函数 y
D
ax2 与 y
ax b的图象可能是（
）
A．
5、二次函数 y
B ． C ． D ．
3
x2 ，当 x1 x2 0 时，求 y1 与 y2 的大小关系 . 2
6、函数 y
1 x 3 2 2的图象可由函数 y 2
1 x2 的图象向
2
平移 3 个单位，再向
平移 2
个单位得到 . 7、抛物线 y 8、二次函数 y A、 2 2
x 2 6x 16 与 x 轴交点的坐标为 _________
x 2 2x 1的图象在 x 轴上截得的线段长为（
C 、 2 3
D 、 3 3
）
B 、 3 2
9、二次函数 y = mx 2 + 2x + m - 10、已知二次函数 y
4m 2 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是
4x 2 2mx m2 与反比例函数 y
2m 4 的图象在第二象限内的一个交点的横坐
x
标是 -2，则 m = 11、二次函数 y
ax 2 bx c( a
0) 的图象如图所示，对称轴是直线
x 1 ，则下列四个结论错误 的是
．．
A． c 0
B
． 2a b 0
2
C ． b2
4ac 0 D
． a b c 0
12、已知二次函数 y ③ abc
axbx c 的图象如图所示，有以下结论：①
a b c 0 ；② a b c
）
1；
0 ；④ 4a 2b c 0 ；⑤ c a 1 其中所有正确结论的序号是（
A．①②
B． ①③④
C．①②③⑤
D ．①②③④⑤
13、二次函数 y
ax 2
bx c(a
0) 的图象如图，下列判断错误的是（
）
A． a 0
B ． b 0
2
14 、 二次函数 y ax
C． c 0D． b2
4ac
0
bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误
c ＞ 0
的是（ ．．
）
A． a 0
B ． c
0 C ． b2 4ac ＞ 0 D ． a b
y
1 1
1 O
x
（11 题）
（ 12 题） （ 13 题）
（ 14 题）
15 y 、已知二次函数
kx 2
7 x 7
与 x 轴有交点，则
k
的取值范围是
.
2 x 16、关于 x 的一元二次方程
x n 0 没有实数根，则抛物线 y
与 x 轴交点的个数为（
x 2 x n 的顶点在第 _____象限；
y 17
、抛物线
A 、 0
B 、1
x
2
2kx 2
）
C、 2 D 、以上都不对
18、二次函数 y A 、 a 0, 19、 y
ax 2 bx c 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是（ 0
）
B、 a 0, 0 C、 a 0,
0 D、 a 0, 0
2 x 2 kx 1与 y x
x k 的图象相交，若有一个交点在
x 轴上，则 k 为（
）
A、 0 B 、 -1
C 、 2
D 、
1
4
20、若一次函数 y (m 1)x A．有最大值
m 的图象过第一、三、四象限，则函数 m 4 C．有最小值
y
mx2 mx （
）
m
B．有最大值
m
4
D．有最小值 m
4 4
21、已知抛物线 是
2 y x 2 x 3 ，若点 P （ 2 ， 5 ）与点 Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点
Q 的坐标
．
22、抛物线 y ax 2 bx c( a A. 0
B.
0) 的对称轴是直线 x 1 ，且经过点 P（ 3，0），则 a
b c 的值为（
） － 1
C. 1 D. 2
23、二次函数 y
ax2
bx c 的图象过 A (-3,0), B (1,0), C (0,3), 点 D 在函数图象上，点 C, D 是二次
B, D
函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点 求（ 1）一次函数和二次函数的解析式；
（ 2）写出使一次函数值大于二次函数值的
x 的取值范围 .
24、已知二次函数的图象经过点
A （ -3,0 ）， B （ 0,3 ）， C （ 2, － 5），且另与 x 轴交于 D 点。
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点 P （－ 2,3 ）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△ PAD 的面积；如果不在，试说明理由
25、已知二次函数 y
x 2
bx c 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（－
1， 0），与 y 轴的交
点坐标为（ 0， 3）。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值
y 为正数时，自变量 x 的取值范围。
y
3
－1 O x
26、已知二次函数 y
1
x 2 bx c 的图象经过 A （ 2， 0）、 B （ 0，－ 6）两点。
2
（ 1）求这个二次函数的解析式
（ 2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C ，连结 BA, BC ，求△ ABC 的面积。
27、已知二次函数 (1) 求证： c 2b
y x 2 bx c 1 的图象过点 P (2 ， 1) ．
4 ；
(2) 若二次函数的图象与 x 轴交于点 A x1 ,0 、 B ( x2 ， 0) ，△ ABP 的面积是
3 4
，求 b 的值．
28、根据条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过（ -1 ， -6 ）、（1， -2 ）和（ 2， 3）三点；
（2）抛物线的顶点坐标为（
-1 ， -1 ），且与 y 轴交点的纵坐标为 -3 ；
4，且顶点坐标是（ 3，－ 2）；
（3）抛物线在 x 轴上截得的线段长为
29、已知函数 y
m 2 xm 2 m 4 是关于 x 的二次函数，求：
（1） 满足条件的 m 的值；
（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时
x 为何值时， y 随 x 的增大而增大； x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？
（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当
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