圆锥曲线知识点总结(经典版)

圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1||MF2|2a。

x2y2y2x2椭圆的标准方程为：221（ab0）（焦点在x轴上）或221（ab0）（焦点在y轴

abab上）。

注：①以上方程中a,b的大小ab0，其中bac；

222x2y2y2x222②在221和221两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y的分

ababx2y21（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时母的大小。例如椭圆

mn表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

x2y2①范围：由标准方程221知|x|a，|y|b，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；

ab②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

x0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A1(a,0)，

A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长

.

.

半轴长和短半轴长。

|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a，由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，

222且|OF2||B2F2||OB2|，即cab；

222④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ec叫椭圆的离心率。∵ac0，∴0e1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为xya。

2222．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1||PF2||2a）。

注意：①式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支；

|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a表示两条射

线；③当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。

（2）双曲线的性质

x2y2①范围：从标准方程221，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa的外侧。即

abx2a2，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

x2y2②对称性：双曲线221关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点

abx2y2是双曲线221的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

abx2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线221的方程里，对称轴是x,y轴，所

abx2y2以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0)，他们是双曲线221的顶点。

ab令x0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

.

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1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从

x2y2图上看，双曲线221的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

ab⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：xy(0) ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。

22x2y2y2x21与1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标⑥注意169916轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y2px2p0叫做抛物线的标准方程。

pp,0），它的准线方程是x ；

22注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2px，x2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

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222.

标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) y l 图形 y x y l x o F F o l F o x 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 p(,0) 2px 2(p,0) 2px 2p(0,) 2py 2y0 p(0,) 2py 2y0 x0 x轴 x0 x轴 y轴 (0,0) y轴 (0,0) (0,0) (0,0) e1 e1 e1 e1 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点

{

f1(x0,y0)0f2(x0,y0)0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没

有交点。 二、圆：

1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

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2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r

222

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r

(2)一般方程：①当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(是

D2E24F。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+

22

2

2

2

2

2

222

DE,)半径22D2E22)+(y+)=D22E2-4F

4②当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-2

2

DE,-); 22③当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=(x0-a)(y0-b)。

（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 抛物线 22AaBbCA2B2定义 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}. 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}. 图形 .

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方 标准 方程 程 x2y21(ab>0) a2b2x2y21(a>0,b>0) a2b2y22px 参数方程 xacosybsin (参数为离心角）xasecybtan (参数为离心角）x2pt2y2pt(t为参数) 范围 中心 ─axa，─byb 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b |x|  a，yR 原点O（0，0） x0 顶点 (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. (0,0) 对称轴 x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) pF(,0) 2p 2准 线 a2x=± c准线垂直于长轴，且在椭圆外. a2x=± c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. 2c （c=a2b2） x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=a2b2） 离心率 【备注1】双曲线：

ec(0e1) aec(e1) ae=1 ⑶等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.

x2y2⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.22与

abx2y2x2y2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：220. a2b2ab⑸共渐近线的双曲线系方程：

x2a2y2b2(0)的渐近线方程为

x2a2y2b20如果双曲线的渐近线为

xy0时，ab.

.

它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线：

x2a2y2b2(0).

pp2,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐22pppp2标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开

2222（1）抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是(

2口向上；

pp），准线方程y=，开口向下. 22p22（2）抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MFx0；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)

2p与焦点F的距离MFx0

2pp2（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点

22抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

2p2p2p2yypxx,AFx则弦长AB=x1x2+p或AB(α为直线AB的倾斜角)，，(AF1212142sin2叫做焦半径). 五、坐标的变换：

（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 叫做平移(或移轴)公式.

（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：

方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k ''xx'hyy'k或

x'xhy'yk

(x-h)2(y-k)2+=1 22ab椭圆 a2x=±+h ca2y=±+k c(x-h)2(y-k)2+ =1 22ba(h,±c+k) .

.

(x-h)2(y-k)2-=1 22ab双曲线 (±c+h,k) a2x=±+k ca2y=±+k cx=-x=h y=k x=h y=k (y-k)2(x-h)2-=1 22ab(y-k)=2p(x-h) 2(h,±c+h) (p+h,k) 2p+h,k) 2p+k) 2p+k) 2p+h 2y=k (y-k)=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)=2p(y-k) 22(-x=p+h 2p+k 2y=k (h, y=-x=h (x-h)=-2p(y-k) 2(h,- y=p+k 2x=h 六、椭圆的常用结论：

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x2y2xxyy5. 若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.

ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

abx0xy0y21. a2bx2y27. 椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点

ab角形的面积为SF1PF2btan22.

x2y28. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).

.

.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b211. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，即

abaKABb2x02。

ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是2222；

ababab【推论】：

x2y2x2y2x0xy0yx2y21、若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2222。椭圆221abababab（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程

x2y2是221. abx2y22、过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直

ab线BC有定向且kBCb2x02（常数）. ay0x2y23、若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，

ab则

actancot. ac22x2y24、设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记

abF1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsinax2y25、若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上

ab求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26、P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab.

.

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7、椭圆22abA2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y28、已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

ab4a2b2a2b2111122

;（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）SOPQ的最小值是2.

ab2ab2|OP|2|OQ|2a2b2x2y29、过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，

ab则

|PF|e.

|MN|2x2y210、已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),

aba2b2a2b2x0则. aax2y211、设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则

ab2b22(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan.

1cos2x2y212、设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

ab2ab2|cos|PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|22.(2) 2accostantan1e.(3) SPAB22a2b22cot. 2bax2y213、已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、

abB两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

.

.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x2y2xxyy5、若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02021.

ababx2y26、若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦

abP1P2的直线方程是

x0xy0y21. a2bx2y27、双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲

ab线的焦点角形的面积为SF1PF2bcot22.

x2y28、双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)）当M(x0,y0)在右支上时，

ab|MF1|ex0a,|MF2|ex0a；当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于

焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

b2x0x2y211、AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOMKAB2，

abay0即KABb2x02。 ay0x0xy0yx02y02x2y212、若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2222.

abababx2y2x2y2x0xy0y13、若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2222.

ababab【推论】：

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x2y21、双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时

abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22、过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，

ab则直线BC有定向且kBCb2x02（常数）.

ay0x2y23、若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2,

abPF2F1，则

cacatancot（或tancot）. ca22ca22x2y24、设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2

ab中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

(sinsin)ax2y25、若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在双

ab曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26、P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

ab|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y2222227、双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

abx2y28、已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

ab4a2b2a2b211112222;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）SOPQ的最小值是2. 222baba2|OP||OQ|abx2y29、过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交

ab.

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x轴于P，则

|PF|e.

|MN|2x2y210、已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),

aba2b2a2b2则x0或x0.

aax2y211、设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则

ab2b22(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2bcot.

1cos2x2y212、设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

ab2ab2|cos|. PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|22|accos2|(2) tantan1e.(3) SPAB22a2b22cot. 2bax2y213、已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相

ab交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：

4acb2b①aybycx顶点().

4a2a2②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

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x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的参数方程为（或）（t为参数）. 2y2pty2pt22 y22px y22px x22py x22py ▲y▲y▲y▲y图形 OxxOxOxO pF(,0) 2p 2x0,yR xx轴 p,0) 2p) 2 pF(0,) 2p 2xR,y0 y 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 F(F(0,p 2x0,yR xp 2xR,y0 yy轴 （0,0） e1 PFpx1 2PFpx1 2PFpy1 2PFpy1 2圆锥曲线的性质对比

圆锥曲线 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 x∈[-a,a] y∈[-b,b] 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c 抛物线 y^2=2px p>0 x∈[0,+∞) y∈R 关于x轴对称 (0,0) (p/2,0) 准线 x=±(a^2)/c x=-p/2 .

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渐近线 离心率 焦半径 —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 ————— e=1 ∣PF∣=x+p/2 焦准距 通径 参数方程 p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 p 2p x=2pt^2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y0·y=p(x+x0) 斜率为k的切线方程

y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k

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