【重庆版】2016届高三上学期月考(4)——数学理

月考（4）

2016届上学期高三一轮复习

第四次月考数学理试题【重庆版】

本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题），第II卷（非选择题），满分150 分，考试时间120分钟。 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.向量a(1,x)，b(2,1)，若ab，则a

A.5 B. 5 C. 3 D. 2

甲 9 8 0 1 3 2 0 1 2 3 乙 9 7 1 1 4 2 4 0 2 0 1 1 5 2. 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如

右图．则这10天甲加工零件的平均数及乙加工零件的中位数分别为 A.23,24 B.24,24 C.24,23 D.23,23

3.设随机变量服从正态分布N(2,9)，若P(ab)P(ab)，则a A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.设an是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列，则A．3

2a4 a1B．4 C．6

2D．7

25.设圆C1:x1y21与圆C2:x3y21，点P为一动点，由点P作圆C1与圆C2的切线PA,PB，切点分别为A,B．若PAPB，则点P的轨迹方程为

A．xy30 B．xy30 C．xy30 D．xy30

6. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为

A．2000 B．4096 C．5904 D．8320

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2xy207. 设x,y满足约束条件8xy40，若目标函数zabxya0,b0的最大值为8，则x0 , y0开始 a2b210ab的最小值为

S=0，n=1 n2013 否 是 A．32 B．33 C．34 D．35 8. 运行如图所示的流程图，则输出的结果S是 A．

2011201320112013 B． C． D．

4224SScos2n 3输出S 结束 9. 已知anlogn1(n2)(nN*)，把使得乘积a1a2a3an为 整数的n叫做“成功数”，则区间(1,2013)内所有成功数的和为 A．1024 B．2003 C．2026 D．2048 10. 设定义在1,e上函数fx得f00n=n+1 （第8题）

xlnxaaR．若曲线y1cosx上存在点x0,y0使

fyy，则实数a的取值范围是

221,ee10,ee1 A．1,2ln2 B．0， D．2ln2 C．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）

3+i（i为虚数单位）的虚部为________． 1ix112. 在区间1,1上随机取一个数x，则cos的值介于0与之间的概率为_____．

2211. 复数zx2y2o13. 已知双曲线221a0,b0的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线

ab的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e的取值范围是_____．

考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14. 如图，圆O的半径为1，直线AB与圆O相切于点B，且AB3，连接AO并延长交圆O于C、D两点，则ΔABC的面积为 _______．

DOCBAx23t15. 直线（t为参数）与曲线2acos（θ为参数且

y3ta0）相切，则a______．

216.若不等式x1x2aa1的解集为x，则实数a的取值范围是______．

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三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

已知函数fx5sinxcosx53cosx253． 2（Ⅰ）求fx的最小正周期；

（Ⅱ）求fx的单调递增区间，并求出fx在5,上的最大值与最小值． 36

18. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是道乙类题的概率都是

3，答对每54，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布5列和数学期望EX．

19. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）

在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若ABAC2，求ABC面积的最大值．

20. （本题共12分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问6分） 已知函数fxalnx1cb. 212xa1x，a0． 2（Ⅰ）讨论函数fx的单调性； （Ⅱ）若函数yfx12a3a的图象与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围． 221. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）

x2y2设椭圆C:221ab0过点M(2,1)，且左焦点为F1(2,0)．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同两点A,B时，在线段AB上取点Q，满足

APQBAQPB．证明：点Q总在某定直线上．

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22. （本题共12分，第（Ⅰ）问4分, 第（Ⅱ）问8分）

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22已知曲线Cn:x2nxy0nN,n1,2,．从点P1,0向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切

线ln，切点为Pnxn,yn．

（Ⅰ）求数列xn，yn的通项公式； （Ⅱ）证明：x1x3x5x2n1

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1xnx2sinn． 1xnyn数学理

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数学（理科） 参考答案

一、选择题 1 A

二、填空题

11. 2 12. 14.

2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 B 8 C 9 C 10 B 1 13. 2, 33 15. 1 16. 1,0 453 2三、解答题

17. （Ⅰ）f(x)5sinxcosx53cosx251cos2x535sin2x53sin2x53cos2x5(sin2xcoscos2xsin)2222335sin(2x（Ⅱ）由3) ∴最小正周期T=

2 222125k](kZ) f(x)的递增区间是[k,12122k2x32k得kx5k(kZ) 123x54532x f(x)min,f(x)63332max5.

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19. （Ⅰ）acosC11cbsinAcosCsinCsinB 22112sinAcosCsinCsin(AC)sinAcosCcosAsinCcosAA（Ⅱ）

223ABAC2两边平方可得：c2b22bccosA4，即b2c2bc4，由均值不等式，将

13b2c2bc42bc，则bc4，所以SABCbcsinAbc3，当且仅当bc时，取

24到最大值3.

ax2(a1)xa(xa)(x1)20. （Ⅰ）f(x)x(a1)

xxx当a1时，f(x)在(0,1)和(a,)上单增，在(1,a)上单减. 当a1时， f(x)在(0,)上单增.

当0a1时，f(x)在(0,a)和(1,)上单增，在(a,1)上单减；

1211a3aalnxx2(a1)xa23a 则g(x)f(x) 222121当a1时，g(1)0且g(a)0即a2a0且alna2a0，显然无解；

22（Ⅱ）令g(x)f(x)当a1时，g(x)在(0,)上单增，显然不满足题意； 当0a1时，g(a)0且g(1)0即a综上，

11a52 25a25且，22ee1a52． e2 - 6 -

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x2y221. （Ⅰ）1

42（Ⅱ）方法一：设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)。

APAQ由题设知AP,PB,AQ,QB均不为零，记,则0且1

PBQB又A，P，B，Q四点共线，从而APPB,AQQB

于是 4x1x2yy2xx2yy2， 11 x1， y1

111122x122x2y122y24x，（1） y，（2） 从而

1212222又点A、B在椭圆C上，即x12y124,(3) x22y24,(4)

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4s2y4 即点Q(x,y)总在定直线2xy20上 22.

解：（Ⅰ）设直线

ln：ykn(x1)，联立x22nxy20得

n2n1222222(1kn)x2(2kn2n)xkn0，则(2kn2n)24(1kn)kn0，∴kn（n2n1舍去）

2knnn2n1n2xyk(x1)，即，∴ xnnnn2n1n11kn(n1)22nn1xnn1（Ⅱ）证明：∵

n1xn1n111 2n1x1x3x5x2n1132n1132n11 242n352n12n1∴x1x3x5x2n11xn

1xn- 7 -

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由于

xnyn1xn1，可令函数f(x)x2sinx，则f'(x)12cosx，令2n11xnf'(x)0，得cosx2，给定区间(0,)，则有f'(x)0，则函数f(x)在(0,)上单调递减，

4422sinx在(0,)恒成立，又0411，

2n134∴f(x)f(0)0，即x则有

1xnx11，即2sin2sinn.

2n12n11xnyn - 8 -