2017全国二卷理科数学高考真题和答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国2卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3i（） 1iA．12i B．12i C．2i D．2i

1.

2.设集合1,2,4，xx4xm0．若21，则（）

A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90 B．63 C．42 D．36

2x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（）

y30A．15 B．9 C．1 D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 开始7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中

输入a有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的

成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

S=0,K=1A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩

否C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 K≤68.执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（）

A．2 B．3 C．4 D．5

是S=S+a∙Ka=aK=K+1x2y229.若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y24所

ab截得的弦长为2，则C的离心率为（）

A．2 B．3 C．2 D．

23 3输出S结束10.已知直三棱柱C11C1中，C120，2，CCC11，则异面直线1与C1所成角的余弦值为（）

.

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A．331510 B． C． D． 23552x1`11.若x2是函数f(x)(xax1)e的极值点，则f(x)的极小值为（）

A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（） A.2 B.34 C.  D.1 23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D．

14.函数fxsin2x3cosx3（x0,）的最大值是． 4215.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则

21． Sk1kn16.已知F是抛物线C:y8x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(AC)8sin2B． 2(1)求cosB (2)若ac6 , ABC面积为2,求b.

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

频率组距0.068频率组距0.0400.0340.0320.0460.0440.0240.0200.0140.0120.0200.0100.0080.004O25303540455055606570箱产量/kgO3540455055606570箱产量/kg旧养殖法新养殖法

.

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（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法

的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（） 0.050 3.841

0.010 6.635 0.001 10.828 k n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)2

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE//平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，二面角M-AB-D的余弦值

E求

PMADx2y2120.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足NPBC上，

2NM.

(1) 求点P的轨迹方程；

.

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(2) 设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）已知函数f(x)axaxxlnx,且f(x)0. （1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e22f(x0)22.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为

cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a0,b0,ab2，证明： （1）(ab)(ab)4； （2）ab2．

5533.

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 三、解答题 17.解：

（1）由题设及ABC得sinB8sin2 sinB（41-cosB）上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=2n 16. 6 n12，故

15 1715814得sinB，故SABCacsinBac 171721717又SABC=2，则ac

2由余弦定理及ac6得

b2a2c22accosB2（a+c）2ac(1cosB)1715362(1)2174所以b=2 18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg” 由题意知PAPBCPBPC 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62

故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

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（0.0680.0460.0100.008）5=0.66

故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 K2箱产量≥50kg 38 66 62 34 2200626634381001009610415.705

由于15.7056.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+0.5-0.34． ≈52.35（kg）0.06819.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFAD,EF=11又BAD,由BADABC90得BC∥AD，CAD22

所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF． 又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB

（2）

由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

1，3)， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，.

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PC(1，0，3),AB(1，0，0)则

BM(x1，y，z),PM(x，y1，z3)

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以

cosBM,nsin450，z(x1)2y2z22 2即（x-1）²+y²-z²=0

又M在棱PC上，设PMPC,则 x,y1,z33

22x=1+x=1-22(舍去)，y=1y=1由①，②得z6z622 所以M1-2626,1，，从而AM1-,1，

2222

设m=x0,y0,z0是平面ABM的法向量，则

mAM02-2x02y0即mAB0x006z00

所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n10 5mnmn10 5因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NPxx0,y,NM0,y0

由NP2NM得x0=x,y02y 2x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以1

22因此点P的轨迹方程为x2y22

.

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（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则 OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn， OPm,n,PQ3m,tn,

由OPPQ1得-3mm2tnn21，又由（1）知m2+n2=2，故 3+3m-tn=0

所以OQPF0，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.解：

+ （1）fx的定义域为0，设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0 因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa若a=1，则g'x=11,g'1=a1,得a1 x1.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单调递x增.所以x=1是gx的极小值点，故gxg1=0 综上，a=1

（2）由（1）知fxx2xxlnx,f'(x)2x2lnx 设hx2x2lnx,则h'(x)212121x

1212当x0,时，h'x＜0；当x,+时，h'x＞0，所以hx在0,单调递减，在,+单调递增

又he2＞0,h＜0,h10，所以hx在0,有唯一零点x0，在,+有唯一零点1，且当

121212x0,x0时，hx＞0；当xx0,1时，hx＜0，当x1,+时，hx＞0.

因为f'xhx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'x00得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0) 由x00,1得f'x0＜1 4因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e10,1,f'e10得

.

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fx0＞fe1e2

所以e2＜fx0＜2-2 22.解：

（1）设P的极坐标为，＞0，M的极坐标为，＞0，由题设知

11OP=，OM=1=4 cos由OMOP=16得C2的极坐标方程=4cos＞0 因此C2的直角坐标方程为

x2y24x0

2（2）设点B的极坐标为B，＞0,由题设知

BOA=2，B=4cos,于是△OAB面积

S=1OABsinAOB24cossin332sin2322当=-12

3时，S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： （1）

aba5b5a6ab5a5bb6ab3322a3b3aba4b42

4abab4（2）因为

22.

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aba33a2b3ab2b3323aba+b2+33a+b42a+b23a+b43

所以a+b8，因此a+b≤2.

.