专题18 新定义与阅读理解题(第01期)(解析版)

专题18 新定义与阅读理解题

1．（2019•湘西州）阅读材料：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，则x1•y2=x2•y1，根据该材料填空，已知a=（4，3），b=（8，m），且a∥b，则m=__________． 【答案】6

【解析】∵a=（4，3），b=（8，m），且a∥b，∴4m=3×8，∴m=6；故答案为：6． 【名师点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键． 2．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=__________． 【答案】

rrrrrrrrrrrr81或 5418080=50°， 2【解析】①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：∴特征值k=

808； 505②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，

201； 80481综上所述，特征值k为或；

5481故答案为或．

54∴特征值k=

【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．

3．（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3=7．

则（1）用含x的式子表示m=__________； （2）当y=–2时，n的值为__________．

【答案】（1）3x；（2）1．

【解析】（1）根据约定的方法可得：m=x+2x=3x；故答案为：3x； （2）根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y． 当y=–2时，5x+3=–2． 解得x=–1． ∴n=2x+3=–2+3=1． 故答案为：1．

【名师点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法． 4．（2019•枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10． （1）求4⊗（–3）的值；

（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值． 【答案】（1）5；（2）

1. 3【解析】（1）根据题中的新定义得：原式=8–3=5；

2xy2①（2）根据题中的新定义化简得：，

x4y1②①+②得：3x+3y=1，则x+y=

1． 3【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2019•济宁）阅读下面的材料：

如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x16（x＞0）是减函数． x666x26x16x2x1． x1x2x1x2x1x2∵06x2x1∴＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．

x1x2

∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）=

6（x＞0）是减函数． x1+x（x<0）， 2xf（–1）=

117+1=0f2=+2=（–），（–）（–）–． (1)2(2)24（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________； （2）猜想：函数f（x）=

1+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）； x2（3）请仿照例题证明你的猜想．

2663，–；（2）增；（3）见解析． 9161【解析】（1）∵f（x）=2+x（x<0），

x【答案】（1）–

1126633=f4=4=∴f（–3）=––，（–）––，

(3)2(4)2916故答案为：–

2663，–； 9161+x（x<0）是增函数， 2x（2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3）， ∴函数f（x）=

故答案为：增； （3）设x1x1x211xx=xx1（–）（–121222）

x12x2x12x2∵x1∴f（x1）–f（x2）<0，∴f（x1）1+x（x<0）是增函数． 2x【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．

6．（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．

【基础训练】 （1）解方程填空：

①若2x+x3=45，则x=__________； ②若7y–y8=26，则y=__________； ③若t93+5t8=13t1，则t=__________； 【能力提升】

（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；

②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10． 【解析】（1）①∵mn=10m+n， ∴若2x+x3=45，则10×2+x+10x+3=45， ∴x=2， 故答案为：2．

②若7y–y8=26，则10×7+y–（10y+8）=26， 解得y=4， 故答案为：4．

③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得

若t93+5t8=13t1，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1， ∴100t=700， ∴t=7， 故答案为：7．

（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n）， ∴则mn+nm一定能被11整除，

∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n）， ∴mn–nm一定能被9整除．

∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2） ∴mn•nm–mn一定能被10整除． 故答案为：11；9；10．

（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算， 972–279=693， 963–369=594， 954–459=495， 954–459=495，… 故答案为：495．

②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c）， 结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2， ∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0， ∴a–c≤9，

∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，

∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到：

981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，

故都可以得到该黑洞数495．

【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．

7．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 设S=1+2+22+…+22017+22018①， 则2S=2+22+…+22018+22019②， ②–①得2S–S=S=22019–1， ∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29=__________； （2）3+32+…+310=__________；

（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．

3111an11【答案】（1）2–1；（2）；（3）a=1时，S=n+1；a≠1时，S=．

2a110

【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①， 则2S=2+22+…+210②， ②–①得2S–S=S=210–1， ∴S=1+2+22+…+29=210–1； 故答案为：210–1；

（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①， 则3S=32+33+34+35+…+311②， ②–①得2S=311–1，

3111所以S=，

21131即3+32+33+34+…+310=；

23111故答案为：；

2（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，

则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②， ②–①得：（a–1）S=an+1–1，

a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；

an11a≠1时，a–1才能做分母，所以S=，

a1an11. 即1+a+a+a+a+…+a=

a12

3

4

n

【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法．认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法． 8．（2019·江西）特例感知

222（1）如图1，对于抛物线y1xx1，y2x2x1，y3x3x1，下列结论正确的序

号是_________；

①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；

②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移

1个单位得到； 2③抛物线y1，y2，y3与直线y1的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念

2（2）把满足ynxnx1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.

知识应用

在（2）中，如图2.

①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为：k1，k2，k3，…，kn（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.

③在②中，直线y1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接CnAn，Cn1An1，判断CnAn，Cn1An1是否平行？并说明理由.

【答案】（1）①②③

nn22（2）①Pn,1，yx1．

24②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为1k2．

③不平行，直线CnAn的斜率（比例系数）为kn，与n取值有关(若两直线平行，则斜率会相等). 【解析】（1）①当x=0,y1y2y31，所以正确；

②y1,y2,y3的对称轴分别是直线x1，x21，x3，所以正确；

③y1,y2,y3与y1交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．

2nn24nn24（2）①ynxnx1x，所以顶点Pn,，

424221232nn24nn24Px1x21， 令顶点n横坐标，纵坐标y，y24422即：Pn顶点满足关系式yx1.

2②相邻两点之间的距离相等．

理由：根据题意得；Cnkn,knk1，Cn1kn1,knkk1， ∴CnCn–1两点之间的铅直高度=knkk1knk1k． CnCn–1两点之间的水平距离=kn1(kn)1． ∴由勾股定理得CnCn–12=k2+1， ∴CnCn–1=k21. ③CnAn与Cn1An1不平行． 理由：

根据题意得：Cnkn,knk1，Cn1kn1,knkk1， Ann,1，An1n1,1．

222222

过Cn，Cn–1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，

所以D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）. 在Rt△DAnCn中，

2CnD1knk1k2nktan∠DAnCn=kn，

AnDn(kn)k在Rt△EAn–1Cn–1中，

2Cn1E1knkk1k2nkktan∠EAn–1Cn–1=kn1，

An1En1(kn1)k∵kn1≠kn，

∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1， ∴CnAn与Cn1An1不平行．

9．（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．

点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°． 问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．

【答案】见解析.

【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1， 如图所示：

则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1， ∴△EB1C1是等腰直角三角形， ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，

∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点， ∴∠M1C1N1=90°+45°=135°， ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°， ∴E、C1、N1三点共线，

A1B1EB在△A11B1M1和△EB1M1中，A1B1M1EB1M1，

B1M1B1M1∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS）， ∴A1M1=EM1，∠1=∠2，

∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4， ∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°， ∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．

【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．

10．（2019·甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． 试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE=73． 【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下： ∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）如图1，

∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

AGAC在△GAB和△CAE中，GABCAE，

ABAE∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=42，BE=52， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=73．

【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．