第一章轮胎模型20100312

目录

1.1 轮胎侧偏特性介绍................................................................................................. 1 1.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型..................................................................... 1

1.2.1轮胎坐标系.................................................................................................... 1 1.2.2 理论模型推导............................................................................................... 2

1.2.2.1 接地印迹不存在滑移的情况............................................................. 4 1.2.2.2 接地印迹存在滑移的情况................................................................. 6 1.2.2.3 两种特殊载荷分布函数下的轮胎模型............................................. 9

1.3 轮胎侧偏特性的半经验模型............................................................................... 12

1.3.1“统一模型”(Unitire Model) ..................................................................... 13 1.3.2“魔术模型”（Magic Formula Tire Model） ............................................. 14 1.4 轮胎的“环模型” ................................................................................................... 16

1.4.1坐标系、位移和应变.................................................................................. 17

1.4.1.1 坐标系的建立................................................................................... 17 1.4.1.2 任意点的位移................................................................................... 18 1.4.1.3 应变－位移关系............................................................................... 19 1.4.2动力学方程.................................................................................................. 23

1.4.2.1 哈密尔顿原理................................................................................... 23 1.4.2.2 轮辋－轮胎系统的动能................................................................... 23 1.4.2.3 非保守力做的功............................................................................... 24 1.4.2.4保守力做的功.................................................................................... 26 1.4.2.5 环模型的动力学模型....................................................................... 28 1.4.2.6 复习－复合函数的变分................................................................... 29

1.5 基于环模型的“swift模型” ................................................................................ 30

第一章 轮胎模型

简单说明轮胎分析对车辆动力学特性研究中的作用

1.1 轮胎侧偏特性介绍

（引入为何要介绍复杂的轮胎模型）

1、先介绍为何轮胎在车辆动力学特性分析中的重要作用

车辆受到的外力，除了空气阻力和重力外，其它的力都通过轮胎作用于车辆，因此轮胎的特性，很大程度上影响着外力对车辆的作用结果，轮胎好比人脚上所穿的鞋，鞋的特性影响着人的行走效果，例如，不能在该穿跑步鞋的时候穿拖鞋。

2、本科阶段所学的知识太过简化，没能反应出真实特性。

1.2 轮胎纵滑与侧滑下的简化理论模型

1.2.1轮胎坐标系

1、车轮平面，左边的图给出了车轮平面，即垂直于车轮旋转轴的轮胎中分平面； 2、X轴，车轮平面与地面的交线，沿车辆前进方向为正向；

1

3、坐标原点O，X轴与车轮旋转轴线在地面投影线的交点。 4、Z轴，过O点的垂线，向上为正；

5、Y轴，过O点，垂直于XOZ的线，方向与X、Z轴服从右手螺旋定则。 6、侧偏角，轮胎运动方向与X轴的交角； 7、车轮外倾角，车轮平面与XOZ平面的交角；

1.2.2 理论模型推导

轮胎的简化物理模型如图1所示。假设胎体只能发生y方向的平移弹性变形，而绕z轴的转角与沿x轴的位移均可忽略不计。

z附着区行驶方向滑移区yybR

xo yby 图1（a）轮胎的物理模型 图1（b）轮胎接地印迹 为方便推导，将轮胎接地印迹图的坐标变化成如下：

y附着区行驶方向BPA滑移区VxVtcosyybxCo2ax

图2 新坐标下的轮胎接地印迹

图中，V为地面相对轮胎的速度，其方向与车辆的行驶方向相反。当车辆往前行

2

驶时，接地印迹上的A点，将依次经过B、C，然后退出接地区。

在制动（或驱动）与侧偏联合工况下，轮胎印迹的变形如图2所示。在没有侧偏时印迹中心线与OX轴重合。当轮胎产生侧偏时，地面相对于轮胎的运动速度v与轮胎的旋转平面ox成一个侧偏角，印迹中心线如ABC所示。AB为附着区，BC为滑移区。整个印迹长度为2a。胎体在侧向力Py作用下，产生平移变形：

ybPyCby （1.2.1）

其中，Cby为胎体的侧移刚度。胎面上的一点从A点开始与地面接触，经时间t后，滚动到达P点。这时，轮胎旋转平面上的对应点，由O点转动到X点。其坐标为：

xRt （1.2.2）

其中，－轮胎旋转角速度；R——轮胎滚动半径。

为了计算印迹上的力与力矩，必须先计算印迹上各点的各向剪应力qxx与

qyx，而求剪应力则又必须先确定胎面层上的接触印迹内各点的变形。 1）胎面层上接触区的变形

xVtcosx （1.2.3） yVtcostgVtsinRtsin0式中，R0为车轮的运动半径。

定义制动滑移率Sb与驱动滑移率Sd为：

R0tcosRtR0cosRxSbVtcosR0tcosR0cos SxVtcosxdVtcosx推导得：

xSbx1Sb （1.2.4） yxtg/1Sb为了统一制动与驱动的表达式，这里定义纵向滑移率Sx与侧向滑移率Sy如下（Sx

3

与Sy的定义域为）：

SxSb/1SbVtcosRt/RtSdSytg/1Sb1Sxtg

xSbx1SbSxx于是： （1.2.5）

yxtg/1SSxby可以看出，Sx与一般文献上定义的滑移率Sd的大小相等，但符号相反。 2）胎面层上接触区的剪应力

设胎面材料的x、y方向的刚度分别为常数Cx与Cy，则附着区内P点的相应剪应力为

qxCxxCxSxx （1.2.6） qCyCSxyyyy1.2.2.1 接地印迹不存在滑移的情况

注意：所谓接地印迹处没有出现滑移，即表示印迹处的侧向应力<侧向附着力。

如果胎面接地印迹区内无滑移，则式（1.2.6）对整个印迹范围都适用，合成剪应力为：

qqq其方向可按下式确定：

2x2yCxSxCySy22 x （1.2.7）

tgqyqxCySyCxSx

可见，在一定的Sx、Sy状态下合成应力q的大小与x成正比，其方向与x无关。x、y方向的切力Px、Py可按下式求得：

F2aqdx2a2CSKSxxxxx0x 2a2Fyqydx2aCySyKySy0其中：Kx2a2Cx，Ky2a2Cy

Kx、Ky分别定义为纵滑刚度和侧滑刚度。

4

总切向力F的大小为：

FFx2Fy2其方向同样可表示为：

KxSxKySy22 （1.2.8）

tg这里定义：

FyFxCySyCxSxKySyKxSx

无量纲纵向力 FxFx/Fz 无量纲侧向力 FyFy/Fz

无量纲总切向力 FF/Fz （1.2.9） 相对纵滑率 xKxSx/Fz 相对侧滑率 yKySy/Fz

2相对总滑移率 x2y

其中，Fz—轮胎垂直载荷，－轮胎与路面之间的摩擦系数 所以可得到各切向力的无量纲表达式如下：

FxxFyy （1.2.10） 22FFxFytgFy/Fxy/x考虑到：cosx/，siny/，则x、y向的切向力和总切向力为：

FxFx/ FyFy/定义无量纲的相对剪应力q2aq/Fz，无量纲坐标为ux/a，则在无滑移条件下，有：

5

q2aq2aFzFz2CxSxCySyx2222a2a222aCxSx2aCySyFzFzx （1.2.11） 2x2xy2au与：

quFz/2aqxqcosqx/xuFz/2a （1.2.12） qyqsinyuFz/2a回正力矩可根据印迹上的剪应力qx与qy求得：

Mz2a0ybyqxdx2a02a0xaqxdx2a0Fxybx2SyCxSxdxFxyb4a/3SyFya/3FyDxFxDyybxaxCySydx （1.2.13）

其中定义：Dxa/3为纵向拖距，Dy4a/3Sy为横向拖距。 上式两边除以Pza，则得到无量纲回正力矩表达式为：

yMzMz/FzaFyDxFxDyb （1.2.14）

aDxDx/a1/3其中：

DD/a4/3Syyy1.2.2.2 接地印迹存在滑移的情况

当接地印迹出现滑移时，根据滑移出现的力学条 可得滑移区内的合成应力表达式qxFz。设垂直载荷分布形式的无量纲函数为u，则垂直载荷的一般形式为

qzuFz/2au （1.2.15）

设起滑点B的坐标为x*，对应的无量纲值为u*x*/a，则由变形及刚度特性决

6

定的起滑点B的总切应力为

22qqxqyu*Fz/2a （1.2.16）

其应等于由附着条件决定的切应力

qzu*Fz/2au* （1.2.17） 联立上两式可得

qqzu*

**u/u进而求得起滑点条件为： （1.2.18）

*u2上式中，由于x的取值区间为0～2a，所以u的取值区间为0～2。

2在已知侧偏角以及车速V时，可求得综合相对滑移率x2y，从而

根据上式可以求得起滑点位置x*（或u*）。假定滑移区内的切向力方向与附着区内的方向服从相同规律，则接地印迹上的总切向力为

Paqdua*qdu0uu*2Fz/2udu*Fz/2udu0uu*2

其无量纲表达式为：F1/4u*21m0/2 （1.2.19） 其中：m0udu

0u*根据假设的滑移区切向力方向与附着区一致，可得：

*2FxFx/x/4u1m0/2x/ （1.2.20） *2FyFy/y/4u1m0/2y/回正力矩Mz可由横向应力与纵向应力对原始印迹中心点的力矩求积得到，其表达式为：

MzFyDxFxDyyb

其中，yb为接地印迹前端点的侧向变形。 无量纲表达式为

Mz

DDyMzFyxFxyb （1.2.21） Fzaaaa7

先考虑上式中的第一个分量

FyDxx*02a0xaqydx2ax2axqydx*xqxy/dxFyax2CySydx*xFz/2axy/dxFya0xx*

CySyx/3Fz*au/2uy/duFya*3u2两边除以Fza，得：

FyDx/ayu*3/6y/1/am1/2Fy （1.2.22）

其中，为垂直载荷偏距，表达式为：qzxdxaFz

02am1uudu

0u*将式（1.2.22）两边除以Py，并结合式（1.2.20），得：

Dxu*3/61/am1/21 （1.2.23） *2au/41m2/2结论：由于u*是的函数，且m1与m0都是u*的函数，因此在垂直载荷分布函数

u一定时，Dx/a是综合相对滑移率的单变量函数，且随而单调下降的。

为此，当y一定时，增大x可使增大，从而使Dx/a下降，当0时（即代表滑移区不存在），式（1.2.23）与无滑移区情况下的表达式相同。 下面来考察Mz的另一个分量FxDy：

FxDyyqxdx*qzx/ysdx （1.2.24）

0xx*2a其中，yxSy为附着区内胎面的侧向变形；ys为滑移区内的胎面侧向变形，假设滑移区内的胎面刚度也是Cy，则其表达式为：

y1ysqz

CyCyqy将式（1.2.24）两边除以Fza，并考虑yKySy/Fz，得：

FxDy/FzaSy/6xu*3Sy/2x/2E

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其中：E*2udu

u2两边除以FxFx/Fz，并结合式（1.2.20），得：

Dyau*3*2/61/2E/2/Syu/41m0/2/ （1.2.25）

当0时（即代表不存在滑移区），上式与无滑移区时的表达式相同。 1.2.2.3 两种特殊载荷分布函数下的轮胎模型 （一）均匀载荷分布

均匀载荷分布时，u1，根据式（1.2.18）可得起滑点条件:

*1/u *u21）当1/2时，接地印迹不存在滑移区，参看式（1.2.10）可知此时的总切向力为：

F

Fxx同时有x、y方向的无量纲切向力：

Fyy因此可得回正力矩：

yMzMz/FzaFyDxFxDyb

aDxDx/a1/3其中：

DD/a4/3Syyy

2）当1/2时，接地印迹存在滑移区，参看式（1.2.19）可知此时的总切向力为：

F1/4u*21m0/2

其中：m0uduu*1/，所以

0u*F1/4u*21m0/21

9

1 4x1xFF1x4同时可知：

FFy11yy4对于均布载荷，u1，载荷重心偏至距离0，同时有

m1u*0u*21uudu2

221E*2udu2u*2

2u将上两式代入纵向与横向拖距表达式可得：

11111Dx624212211

111a114241Dy3S

1ya41因此，将上面几式代入无量纲的回正力矩表达式，即可得到无量纲的回正力矩为：

DyybDxMzFyFx

aaa

（二）抛物线对称分布的载荷函数

为使载荷分布函数满足力和力矩平衡条件，可取载荷分布函数为：

3u2u,当0u2 u20,当u0与u2根据式（1.2.18）可得起滑点条件:

322u*2,当03* 或 u3 20u*20，当31）当3时，接地印迹不存在滑移区，参看式（1.2.10）可知此时的总切向力

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为：

F

Fxx同时有x、y方向的无量纲切向力：

Fyy因此可得回正力矩：

yMzMz/FzaFyDxFxDyb

aDxDx/a1/3其中：

DD/a4/3Syyy2）当03时，接地印迹存在滑移区，参看式（1.2.19）可知此时的总切向力为：

F1/4u*21m0/2

其中：m0u*03u*31uduu2uduu*2u*3，所以

20221F1/4u*21m0/211

33x1x11FxF3同时可知：

3y1yFF11y333对于抛物线对称载荷，uu2u，载荷重心偏至距离0，同时有

2m1u*03u*4uuduu

8*3E*2uduu212993u*3u*4u*5 5420将上两式代入纵向与横向拖距表达式可得：

Dxu*3/61/am1/21 au*2/41m2/2 11

Dyau*3/61/2E/2/Syu*2/41m0/2/

因此，将上面几式代入无量纲的回正力矩表达式，即可得到无量纲的回正力矩为：

DyybDxMzFyFx

aaa由此可得著名的fiala轮胎模型。 小结：理论模型的求解步骤： 1）获得垂直载荷分布函数u；

2）根据侧偏角，计算综合相对滑移率；

3）基于，计算起滑位置u*，并判断是否存在滑移区； 4）计算x、y方向的切向力Fx、Fy；

5）计算沿x、y方向的轮胎拖距，并由此求出回正力矩Mz。

根据上面分析可知，轮胎侧偏特性求解关键在于获得载荷分布函数u。

1.3 轮胎侧偏特性的半经验模型

根据前面的分析可知，利用理论模型进行轮胎特性分析的前提是已经获得了轮胎的载荷分布函数u，然而由于u具有很强的非线性和随机性，因此很难获得u的准确表达式，其给利用理论模型进行求解带来了困难。半经验模型是在试验数据的基础上，结合理论模型，拟合出轮胎的侧偏特性模型。

由理论分析可知：F/4u*21m0/2，而其中u*是的函数，因此，对于特定的轮胎，F是的函数，即：

FF

在Sx0（即没有纵滑）的特殊情况下，FFy，y，因此有

FyFy

根据上面的分析可知：在Sx0的特殊情况下，通过Fyy试验数据拟合得到的

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Fy表达式，也就是在Sx0的条件下无量纲总切向力F与相对总滑移率的表达式F。另外，根据轮胎拖距Dx、Dy的表达式可知，Dx、Dy也是u*即的函数，因此也可通过试验进行获取。这样我们便可利用试验数据直接拟合出轮胎特性模型而不需依赖对u的掌握。

1.3.1“统一模型”(Unitire Model)

“统一模型”是我国中国工程院院士郭孔辉提出的。

“统一模型”是利用指数形式，针对试验数据拟合出轮胎的稳态侧偏、纵滑及纵滑侧偏联合工况下的侧向力、纵向力以及回正力矩的指数模型。其表达式如下：

2132F1expE1E112xFFFxxzFyFyFzy MzFyDxFxDy2DxDx0DeexpD1yD2yDeDFyyKcy其中，E1为曲率系数，E1121expFza1/a2；

x为纵向摩擦系数，xb1b2Fzb3Fz2； y为侧向摩擦系数，ya1a2Fza3Fz2；

x为相对纵向滑移率，xKxsx/xFz； y为相对侧向滑移率，yKytg/yFz； Dx0c1c2Fzc3Fz2，Dec4c5Fzc6Fz2，

D1c7expFz/c8，D2c9expFz/c10；

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Kcy为侧向刚度，Kcyd1Fzd2Fz2。

b1、b2、c1、c2、d1、d2均由轮胎试验数以上公式中出现的参数a1、a2、据，利用数学方法进行参数识别获得，其过程如下：

1.3.2“魔术模型”（Magic Formula Tire Model）

由荷兰Delft大学的Hans B.Pacejka教授提出的。

“魔术模型”是以三角函数的形式来拟合轮胎试验数据，其是一个能同时表达纵向力、侧向力和回正力矩的轮胎模型，故称为“魔术”模型，其形式如下：

yxDsinCarctanBxEBxarctanBx YXyxSVxXSH 14

MztFyMzrCtarctanBttEtBttarctanBttttDtcos ttanSHtarctanBrrMzrrDrcostanSHfr式中，YX可以代表纵向力Fx或侧向力Fy，只是在表示不同力的时候，其相应的模型参数都要进行调整；自变量x可以表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率。

公式主要参数说明：

1）SH、SV分别代表原点的水平偏移量和垂直偏移量，其主要是考虑轮胎制造误差带来的影响；

2）D代表峰值因子，C代表形状因子，将模型表达式改为：

yxDsinCZ ZarctanBxEBxarctanBx由上面第一个方程可知，yxmaxD，所以D是yx的峰值；C为形状因子，它控制着魔术公式中正弦函数的范围，因此它决定了所得曲线的形状，C值可由曲线峰值yp以及稳态值ys决定，即C112arcsinys/D/；B可用来展宽或者收缩x的范围，称为刚度因子。

3）BCD代表平移刚度，B代表刚度因子

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系数B、C、D的乘积对应于原点x0处的斜率，当x0时，ZBx，此时yDCBx，所以

dydxBCDtg。当C和D确定后，即可由与tg的关

x0系式求出B，即Btg/CD，或者tgBCD，所以B也被称为刚度系数。

4）E代表曲率因子

轮胎特性曲线与原始中心对称曲线通常有较大的偏差，为了能够产生这种不对称的轮胎特性曲线而引入了曲率因子E，其用来控制曲线峰值处的曲率，

EBxptg/2C/BxparctanBxp，xp为峰值处的自变量。

其它细节参看书《Tyre and Vehicle Dynamics》，2002年出版，作者Hans B. Pacejka，魔术模型就是由Pacejka教授提出的。

优缺点说明：

此处不对统一模型和魔术模型的优缺点进行评述，由于可调参数太多，同一个模型不同的人调试出来的结果可能都不一样，因此没有最好，只有更好。但应该说明一下，由于魔术模型在商业推广上做的较好，在大型动力学仿真软件Adams中的轮胎模型使用的便是魔术模型。

1.4 轮胎的“环模型”

刚性环模型主要是用于分析轮胎的动态特性。

轮胎横截面如上图所示，依据刚度大小可将轮胎模型简化为三个部分：1、带束层，圆形、薄的环；2、胎侧，由径向与周向弹环组成；3、轮辋，由刚性的，

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有质量和惯量的圆组成。

抽象的环模型

1.4.1坐标系、位移和应变

1.4.1.1 坐标系的建立

这里建立两个坐标系，一个是空间固定的坐标系；另一个是旋转坐标系，旋转坐标系的角速度为车轮的旋转角速度；两个坐标系的原点重合，且原点固定不动。如下图所示。

坐标x,z用于描述轮辋中心在固定坐标系中的位置；坐标x*,z*用于描述轮辋中心在旋转坐标系中的位置；环上任意点到车轮中心的向量在固定坐标系中描述为r,，在旋转坐标系中描述为r,，其中，t，为车轮的旋转角速度。

从任意点的向量长度都是r可知，固定坐标系与旋转坐标系的原点重合。 因此，x,z与x*,z*有关系：

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xx*costz*sint**zxsintzcost （1.4.1） t问题：为何要引入两个坐标系？ 1.4.1.2 任意点的位移

设A点为圆环中面上的任意点，则在轮胎运动过程中，轮胎上任意点位移可由三部分组成： 1）车轮旋转运动引起的； 2）车轮平移运动引起的； 3）轮胎变形引起的；

设旋转坐标系中，圆环中面上任意点为A，经车轮平动后为A，经轮胎变形后为A，由于是在旋转坐标中，所以可以忽略旋转运动所带来的位移。

则w,v分别为旋转坐标系中，A点到A点的径向和切向位移；设wr,vr为A点到A点的径向和切向位移，则有如下关系：

**wwrxcoszsin （1.4.2） **vvrxsinzcoswwrxcoszsin应该是：

vvxsinzcosrZ*ARz*X*Ax*

因此，在旋转坐标系中，从车轮中心到变形后的A点的向量为：

Rwnrvn （1.4.3）

式中：nr、n为旋转坐标系中，在轮胎变形前沿径向和切向的单位向量；R为车

18

轮半径。

1.4.1.3 应变－位移关系

设有变形前有两个点A和B，A的位置用极坐标表示为r,，B的位置为

rdr,d，则A到B的距离为：

ds2rddr （1.4.4）

22设变形后的点为分别为A、B，如下图所示：

则变形后，有关系：

Ar,Arr, 同理，有：

Brdr,dBrdrrdr,dd 因为，rdrrdr，dd，所以

Brdr,dBrdrrdr,dd 另外，从上图可以看出，

sinvr （1.4.5） rwr2rrwrvr2rwr

因此有A、B间的距离为：

19

ds2rrdddrdr （1.4.6）

222式中：

ddrdr （1.4.7drr） drrdr将上式代入到式（1.4.6）得到：

ds2G22d2GrddrGrrdr 式中，

G222rrr1Gr21rrrrr1r 2Gr22rrrrr1r下图为变形前后的关系图，定义三个应变：

切向应变：dsrdrd

法向应变：dsdrrrrdr 剪应变：r2

根据余弦定义有关系：

ds2ds22cosds2dsrrdsrr 对比式（1.4.8）与（1.4.11）可得到：

22dsGd dsrr2G2 rrdr将式（1.4.12）代入到式（1.4.10）有

20

1.4.8）

（1.4.9） （1.4.10）

（1.4.11） （1.4.12） （ G1r （1.4.12） rGrr1rsinrcosGrGGrr另外，由式（1.4.5）可得到：

rrrrvrwr1vrrwrrwr2vr1vrwr1rwrrrwr2r（1.4.13）

wrwrr将上式代入到式（1.4.9）得到：

vr2Gr2rwrwrG12rrrvrwrGrvrrvrwrwvrr22（1.4.14）

再将上式代入到式（1.4.12），并考虑到环的变形量很小，略去小项后整理得：

vr1wr1wvrr2r2rwr （1.4.15） rrvr1wrvrrrr考虑到环的厚度很小，所以认为沿厚度方向的径向变形wr,y,t都与中面上的径向变形Wr相等，且剪应变与切向应变相比要小很多，对其进行忽略，因此有：

wr,y,twr,y0,t （1.4.16）

r

wr0 （1.4.17） r21

rvr1wrvr0 （1.4.18） rr另外，假设切向变形量沿厚度方向成线性变化，即有关系：

vr,y,tvr,y0,ty,t （1.4.19）

上式中，为环的横截面的旋转角；

y是环横截面上距离中面的长度；

wr,y0,t、vr,y0,t是中面上的径向与切向变形；

将（1.4.19）和（1.4.16）代入到（1.4.18）得，

wr,y0,t1v,y,tr （1.4.20） 0R为方便描述，以下将vr,y0,t，wr,y0,t用vr、wr代替，其已经特指是中面上的变形。

将式（1.4.19）和（1.4.20）代入到式（1.4.15）的第一式中，可得：

vr11wrwyvyrrRy2Ry2yvrwr22R2vr1wrR1wrvr22R2（1.4.21）

最后，将式（1.4.2）代入上式中，用w和v代替wr和vr，消元整理后得到：

1vyv2w1ww222v （1.4.22）

RR2R2另外，根据几何分析，还可推导出一个结论，轮胎变形后沿径向和切向的单位向量n和与变形前径向和切向的单位向量nr、n的关系为：

n1v1w1wnvnrRR （1.4.23）

1w1vvn1wrnRR 22

1.4.2动力学方程

1.4.2.1 哈密尔顿原理

动力学系统的普遍方程有：拉格朗日方程和哈密尔顿方程。对一个复杂动力学系统而言，要建模首先想到的就是要借鉴这两个方程进行建模。拉格朗日方程是哈密尔顿方程的一个特例，它少了对弹性势能（非保守系统）的描述，由于轮胎具有弹性，必须考虑弹性势能的影响，因此，这里要使用哈密尔顿方程。

设L为拉格朗日函数，即

LTVE

其中，T为系统的动能，V为非保守力所作的功，E为保守力所作的功； 定义哈密尔顿作用量S：拉格朗日函数在时间t1到t2的积分

SLdt

t1t2哈密尔顿原理：对于完整的、有势的力学系统，在相同的时间、相同的起始和终了位置、相同的约束条件下，系统在所有可能的各种运动中，真实运动使哈密尔顿作用量取极值（通常是极小值）。

SLdtTVEdt （1.4.24）

t1t1t2t2满足：qit1qit20，qit为广义坐标。

哈密尔顿原理也可以理解为：当哈密尔顿作用量的泛函S0时，所确定的运动为真实运动，以此来求出动力学方程。

当系统是保守系统时，LTE，此时由式（1.4.24）便可得到拉格朗日方程：

dLLi0idtqqi1,2,

根据式（1.4.24）可知，要想建立起非保守系统的动力学方程，必须先确定系统的动能、保守力所作的功以及非保守力所作的功 1.4.2.2 轮辋－轮胎系统的动能 1）轮胎的动能

由于轮胎环厚度很小，因此假设横截面上各点的速度都与中面上的点的速度相同。因此在旋转坐标系中可得轮胎的动能表达式：

23

T1b201h/22Rrdyd

h/2微元质量：dmRddy

由式（1.4.3）Rwnrvn，可以推导得到：

wnrRwnrvnvn

其中，nrn，nnr，所以有

rwvnrvRwn （1.4.25）

将（1.4.25）代入到（1.4.24）得到

T1b20212ARwvvRwd （1.4.26）

2式中，Abh，表示轮胎横截面的面积；为轮胎的角速度。 2）轮辋的动能

轮辋的运动由平动与转动构成，因此固定坐标系中轮辋的动能为：

21mx2z2Irr

2T2上式中，Ir为轮辋的惯量；r为轮辋角速度相对于轮胎角速度的波动角速度，上式在旋转坐标系统表示为：

T2

2221mx*z*z*x*Irr （1.4.27）

21.4.2.3 非保守力做的功

由于轮胎带束层具有弹性，因此轮胎环中非保守力所做的功即为弹性应变能。根据材料力学可知，由材料应变引起的能量表达式为：

24

Vb2010Rdyd （1.4.28） h/22h/2式中，0为由充气压力引起的带束层沿切向的初始应力，为由运动产生的应力增量。

初始应力产生的应变能表达式如下：

轮胎环上的微元受力图

受力分析：

1）轮胎微元受到胎体沿径向的弹性力作用，kww0Rd，kw为胎体沿圆周方向单位长度的径向弹性刚度，w0为胎体沿径向的初始变形； 2）离心力作用，dm2RAR22d；

3）胎体内气体的径向作用力，p0bRd，p0为胎体内气体压力； 4）横截面上的切向力0A；

5）横截面上的径向变形力r0A，由于d很小，cosd1，且上、下两个截面的径向变形力方向相反，为此，径向变形力互相抵消。 方向如图所示；根据以上分析，可列出沿径向的力平衡方程：

20Asind/2p0bRdAR22dkww0Rd

根据，虎克定律有：

0Ew0 R其中，E为材料的杨氏模量，R为轮胎中面半径，w0为胎体沿径向的初始变形。 将上两式结合，消去w0整理得到：

25

p0bRAR22 A21kwR/EA0由于E相对较大，因此，上式可简化为：

0Ap0bRAR22 （1.4.29）

将式（1.4.22）和式（1.4.29）代入式（1.4.28），整理后得到：

V2221v0AwEvIv2w02d 2AwvAw22RRR0 （1.4.30） 式中，Ibh3/12为横截面的惯性积。 1.4.2.4保守力做的功 1）胎体的弹性变形能

E1结合式（1.4.2）得到：

2012kvvrRrkwwr2Rd

2E120221****RdkvxsinzcosRkwxcoszsinvrw2

（1.4.31）

式中，kv为胎体沿圆周方向单为长度的切向弹性刚度；kw为胎体沿圆周方向单为长度的径向弹性刚度；

2）胎体内压缩气体对轮胎所做的功

压缩气体在胎体变形后的法线方向上做功，在切线方向上不做功，因此有：

E220p0bnRd （1.4.32）

26

nnrn

根据式（1.4.23）

n1v1w1wnvn rRR可知，n与n间的夹角的余弦和正弦函数分别为：

cos1wv R1vw Rsin1因此，在n方向的虚位移v和nr方向的虚位移w，其在n方向的投影值之和为：

nvcoswsin1v1w （1.4.33） 1wwvvRR将上式代入到式（1.4.32），可得：

E2p0bnRdp0b100221v1wwwvRd （1.4.34） RR3）其它外力对车轮和轮胎所做的功

在旋转坐标系中，将车轮和轮胎受到的所有其它外力用沿5个广义坐标x*、

z*、r、w和v分解，分别为：沿x*和z*方向的力fx*、fz*，沿r方向的旋转力矩T，沿w和v方向的qw和qv来表示，则这些力和力矩所作的虚功为：

E3

20qwwqvvRdfx*x*fz*z*Tr （1.4.35）

27

1.4.2.5 环模型的动力学模型

根据哈密尔顿原理，式（1.4.24）SLdtTVEdt0，这

t1t1t2t2里设：

L0T1T2V1，EE1E2E3

所以哈密尔顿原理变形为：

SL0Edt0

t1t2将上面的变分展开后可得：

ddtddtddtddtddtL0dL0d2L0L0Ewdwd2wwwL0dL0L0EvdvvvL0L0E （1.4.36） rrrL0L0E***xxxL0L0Ez*z*z*式中，变量上方的点代表对时间的微分，变量右上方的/代表对的微分。 整理后为：

EI4w3vEAvwR443R2p0bvwqwR02Avw22Rkwwx*cosz*sinAw2v2w EI3w2vEAw2v0AwvR432R22R2kvvx*sinz*cosRrAv2w2v p0bwvqvR32Irr2kvRrR20kvvdT

28

mx*2z*2x*Rkwkvx*R20kwwcoskvvsindfx*

mz*2x*2z*Rkwkvz*R20kwwsinkvvcosdfz*

1.4.2.6 复习－复合函数的变分

下面对上面动力学方程组中的第一个方程进行推导： 设有复合函数L0w,w,t，则L0w,w,t对w的变分为

L0wL0ww,ww,tL0w,w,tL0ww,ww,tL0w,ww,tL0w,ww,tL0w,w,t L0Lw0www同理，对于L0w,w,v,v,w,w,v,r,x*,z*,t对w的变分可写为：

L0wL0LLLw0w0w0w wwwwdwdwdtdwdtdwdtdwdtdw 另外，w22dtdtdtdt上面证明中，利用到了dwdw，即在等时变分t0的条件下，和d可以互换。

t2t1t2Ldt2dLL0dL0wdtwdt0w0wdtt1wdtt1wdtwdtwt2另外：

t2dLt2dLL000wwdtwdttt1dt1dtwwwt1

wddwdwddwddwddwddwdw222ddddd 29



t2t1t2Lt2dL00dwdtwdtt1wdt1wdL0dwwdL0wdtwL0wdtwt2dL0wt1dwt1t2t2dL0wdtt1dw

1.5 基于环模型的“swift模型”

当考虑路面不平度的影响时，即路面输入频率较高时，为适应高频响应，不能采用传动的统一或魔术等稳态轮胎模型，swift正是出于这种考虑才提出的。荷兰Delft工业大学和TNO联合开发的，在ADAMS12.0中提供了该模型，

Swift模型简图

Swift模型是在“环模型”的基础上发展起来的，其考虑的因素更多，例如： 1、考虑了环和轮辋之间的变形阻尼；

2、考虑了胎体左、右两个面之间的变形刚度和阻尼

3、考虑轮胎时，接地处存在沿垂线方向、侧向以及车轮平面与接地平面之间存在偏转等现象，在接地处引入了垂向、侧向以及侧偏方向的刚度和阻尼； 4、轮胎接地处的侧偏模型采用了“魔术”模型，以魔术模型计算出来的力和力矩作为轮胎动力学模型的输入。

30