哈工大概率论小论文

浅谈概率论

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航天学院 电子信息科学与技术 学号

【摘 要】:概率论与数理统计课程是工科大学的一门应用性很强的必修基础课程。通过近一个学期的学习，我对概率论也有了一些粗浅的认识，本文将从概率论的历史和发展讲起，接着对二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系进行一个简单的论述，然后将概率论的一些概念与以往学过的概念进行类比，最后对概率论在工科数学分析中的几个巧用进行说明，并附加了几个实例。

【关键词】：二项分布；泊松分布；正态分布；类比；级数；广义积分 1 概率论的起源和发展

概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分, 最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的, 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身, 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此,整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。”然而, 饶有趣味的是, 这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索: 人们对于机会性游戏的研究思考。 所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏, 如赌博等。 这种游戏不是哪一个民族的单独发明, 它几乎出现在世界各地的许多地方, 如埃及、印度、中国等。 著名的希腊历史学家希罗多德在他的巨著《历史》中写道: 早在公元前1500年, 埃及人为了忘却饥饿的困扰, 经常聚集在一起掷骰子和紫云英,这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏, 照一定规则,根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前1200年起, 人们把纯天然的骨骼(如脚上的距骨) 改进成了立方体的骰子。[1]

二十世纪以来, 概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去.无论在研究领域, 还是教育领域, 它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是, 对于概率论历史的研究也日益引起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上, 十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位, 1812年拉普拉斯首次出版的《分析概率论》标志

着概率论历史上的一个重要阶段--古典概率论的成熟。概率论发展到1901年, 中心极限定理终于被严格的证明了, 以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代, 人们开始研究随机过程, 著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。到了近代, 出现了理论概率及应用概率的分支, 及将概率论应用到不同范筹, 从而产生了不同学科。因此, 现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。

2二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 2.1 二项分布、泊松分布之间的关系

定理1 泊松定理:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn,它与试验次数有关,如果limnpn0，则对任意给定的k, 有

nlimCp(1pn)nknknnkkk!e k=0,1,2…

泊松定理的证明见文献（课本）。由该定理知，当二项分布B（n,p）的参数n很大，p很小，而λ=np大小适中时，二项分布可用参数为np的泊松分布来近似, 即

Cp(1p)knknkkk!e

这就是二项分布的泊松逼近。当然应尽可能地大, 否则近似效果往往不佳。 二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件即每次试验中事件出现的概率p很小, 当伯努利试验的次数n很大时, 事件发生的频数的分布。实际表明, 在一般情况下, 当p<0.1时, 这种近似是很好的, 甚至n不必很大都可以。 2.2 二项分布和正态分布之间的关系

定理2 设在n重伯努利试验中，成功的次数为Yn,而在每次试验中成功的概率为p(0limp(nt22Ynnpnpqx)x1edt(x)2.

定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理, 它的证明见文献[2]。该定理表明, 当充分大时, 二项分布可用正态分布来近似, 即二项分布的正态逼近。

2.3 泊松分布与正态分布之间的关系

由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似,也可以用正态分布

近似。显然, 泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系, 下面的定理说明泊松分布的正态逼近。

定理3 对任意的at22limkke1k!2baedx 其中 a，b。  定理3的证明见文献[3]

如前文所述, 二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。当p很小时, 即使n不是很大, 用泊松分布近似二项分布, 已经相当吻合。但是在这种情形下, 用正态分布去近似二项分布, 却会产生较大的误差。直观上也可以想象得到, p很小, n又不大, 则λ=np一定不会很大。由定理3可知, 正态分布就不能很好地近似泊松分布, 因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二项分布。

在n充分大, p既不接近于0也不接近于1时实际上最好满足(0.1≤p≤0.9) 用正态分布去近似二项分布, 效果就较好。 3 类比法在概率论中的运用 3.1事件和集合的类比

事件是概率论的一个基本概念， 事件的关系与运算可以和集合的关系与运算作类比学习。如在事件中，AB表示A出现则B一定出现，在集合中，AB表示A是B的子集。

需要注意的是，事件的相等和集合的相等有不一样的性质，即由两个集合相等可以得出它们含有完全相同的元素，而两个事件相等则并不意味着它们是同一个事件。这种不同点要加以区分，以免混淆。此外， 事件运算的性质和集合运算的性质, 如:交换律，结合律，分配律，对偶律等，也可以类比学习。 3.2某些数字特征与有关向量的概念的类比 3.2.1 方差与向量长度平方的类比 随机变量X的方差定义如下:

D（X）=E[X-E（X）]2，其中E（X）表示X的数学期望。

方差可以和向量长度的平方类比，设α为n维向量，α=（x1，x2，…，xn），

222x3…+xn则|α|2=（x12x2）。

3.2.2 协方差，相关系数和向量的内积，夹角余弦的类比

随机变量X，Y的协方差定义如下:

cov（X，Y）=E［X-E（X）］［Y-E（Y）］=E（XY）-E（X）E（Y）。 特别地，cov（X，X）=E［X-E（X）］2=D（X）

协方差可以和向量内积作类比。设α，β为向量，用α·β表示它们的内积，则有α·α= |α|2。 4 概率论方法的几点应用 4.1 数列求极限

数学分析中的数列极限问题的证明和计算有的比较烦琐, 若用概率论的方法去解决, 可达到事半功倍的效果。

5n例1 求 lim

nn!解 设X服从λ= 5 的泊松分布, 即

5n5 p(xn)e

n!5n5则 e1，

k1n!5n所以 e5

k1n!5n由级数收敛的必要性可知: lim=0

nn!实际上,这种形式的极限求值均可构造λ=a 的泊松分布来求值, 再用级数收敛的必要性去判断即可。 4.2 级数求和

1例2 求n32n1n1

解：构造随机变量服从P=

232的几何分布 3

即 P(n)=

13n1

则 E233 ED=94422又因为 E=nn122313n12=31n32n1n1

所以

1n32n10n1=

9 24.3 求广义积分

例3 求ex22

解：因为被积函数是偶函数

1所以 原式=

2ex22dx

由正态分布的性质得：所以 e21x22dx=1

ex22dx=2

又 所以 0eex22dx=220ex22dx

0x2dx=

2 2推广：对形如f(x)dx这样的积分问题我们可以利用正态分布的密度函数可以解决，实际求解的时候，我们可以把它推广到一般的情形比如

F（x）=xxxf(t)dt，解法如下：

12(tu)e22dt

x2解:设 (x)(t)dte21t22dt

令 vtu

则有 dtdv

所以F（x）=x12(tu)xue22dt=2e21v22dv(xu)

当给出具体x,,u值，我们通过查表就可算出结果。

例4求(2x2x3)e2(x2x3)dx

2解：直接计算是很麻烦的。现在利用随机变量的数学期望与方差公式以及密度函数的性质进行计算。

2(x1) 因为 x2x3

12()2222(x1)(x2x3)22ee所以 e1

2()2221从而可以利用正态分布随机变量～N(1,)求积分。

2===(2x2x3)e222(x2x3)dx

2e(2x2x3)e2(x1)dx

2e2E(2x2x3) [2E(x)2E(x)E(3)]

2232)D(X)E(X) 2e22又因为 E(3)3,E(X)1,E(X(2x22x3)2x3)e(xdx=42e2

用概率论的方法证明数学分析中的问题，主要是引入随机变量、恰当的构造模型把分析的语言转化为概率论语言，然后利用概论密度函数、期望、方差等相关概率论的知识去解。由以上解题可知概率论在数学分析某些问题的求解确实有 一定的优点。[4]

[参考文献]

[1] 概率起源于玩骰子游戏的数学理论 魏东东 课余揽胜·数学史话 2007年4月

[2] 概率论与数理统计 王勇 高等教育出版社

[3] 概率论与数理统计 梁之舜, 邓集赞 北京高等教育出版社

[4] 概率论方法的几点应用 方永锋,徐顼,邱泽阳 甘肃联合大学学报( 自然科学版) 2006年9月 第5期