(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

3-3-1 判断下列系统的状态能控性。

10（1）A,10100101,B01 001B（2）A02431110000,0101B

111031110（3）A030,B00（4）A000120010010【解】： (1)

UcB11AB,rankUcn2，所以系统完全能控。 01(2)

UcBAB1100A2B01111117 前三列已经可使rankUcn3，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。 （3）

A为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。 （4）

A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。

同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。 可以求一下能控判别阵。

01113AB11112131213,rankUc2，所以系统不完全能控。 1331UcBABAB2121212

3-3-2 判断下列系统的输出能控性。

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01131x00ux0300120(1) 0y101x1101000001x0xu(2) 61161y100x

【解】： （1）

031已知A030,01011，C101，D00 B001100020 DCBCAB0031CA2B0011前两列已经使rankDCBCABCA2Bm2，所以系统输出能控。

（2）

系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C满秩，且输出维数m小于状态维数n，所以状态能控则输出必然能控。

2-3-3 判断下列系统的能观性。

100x00111xxx； 24310(1) ；(2) y11xy011x12120x(3) 0y0400x040xx； （4）03010y114x11x1200【解】： （1）

10001101,C已知A0121 243 45

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01C2V0CA2CA112144 前三行已使rankV0n3，

所以系统完全能观（后续元素不必计算）。

（2）

1A1C1V0CA21,C11 01,rankV0n2 1所以系统完全能观。

（3）

状态空间表达式为约旦标准型，且C阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。 （4）

状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。

也可求

14C1V0CA444,2CA16164V00,rankV02

所以系统不完全能观。

AxBu，若x1、x2是系统的能控状态，试证状态x1x23-3-4 设系统状态方程为x也是能控的（其中α、β为任意常数）。

【解】： 设：

yCxx

因为，状态x1和x2能控，所以至少有

rankBABAn1B2。

而由系统输出能控的判别阵得：

rankCBCABCA2Brank(CBABAn1B)1，（C阵又满秩）。

所以yCxx一定是能控的。

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3-3-5 设系统∑1和∑2的状态空间表达式为

100xx111u1:341y21x11222x2u2x: yx22（1）试分析系统∑1和∑2的能控性和能观性，并写出传递函数；

（2）试分析由∑1和∑2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数； （3）试分析由∑1和∑2组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。 【解】： （1）

1012:U,rankU2;V1cco1432,rankVo2

22x2u2x:2 y2x2两个子系统既能控又能观。

（2）以系统1在前系统2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO系统，传递函数相同）： 系统有下关系成立：

u1u，u2y1，yy2

xx1 x2A1xb2C110000b1xu340x1u A201220y0C2x001xUcb014,rankU2;AbA2b1413c014

C001VoCA212,rankVo3

2744CA串联后的系统不能控但能观。

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传递函数为：

G(s)G2(s)G1(s)C2(sIA2)1b2C1(sIA1)1b1

s1[1(s2)11]213s410s212 12(s4s3)(s2)(s4s3)（3）并联后的系统数学模型为： 系统有下关系成立：

u1u2u，yy1y2

并联后的状态空间表达式为：

A1x0yC110000b1x1uxu340 A2b20201C2x211xUcb014,rankU3; AbAb1413c1242C211VoCA322,rankVo3

2654CA并联后系统既能控又能观。

传递函数为：

G(s)G1(s)G2(s)C1(sIA1)1b1C2(sIA2)1b2

s1213s410s212s28s71 1[1(s2)1]2(s4s3)s2s36s211s6

3-3-6 已知系统的传递函数为G(s)sas310s227s18 （1）试确定a的取值，使系统成为不能控或为不能观； （2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式； （3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 【解】：

系统的传递函数可以写成：

48

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G(s)sas310s227s18sa

(s3)(s1)(s6)(1)

当a1，3，6时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。 (2)

在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式； 能控标准型为：

1000x0u001x 1827101ya10x(3)

在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 能观标准型为：

01x0y0018a1u027x

110001x

3-3-7 已知系统的状态空间表达式为 10a00xbux00cyabcx

试问能否选择常数a、b、c使系统具有能控性和能观性。 【解】：

aaba22bUcbbb2ccc2

在上述行列式中，无论a、b、c 如何取值，都有两行元素线性相关，则Uc0，rankUc2。

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aV0a2abab2ab2cc2c

在上述行列式中，无论a、b、c 如何取值，都有两列元素线性相关，则V00，rankV02。

所以，无论常数a、b、c取何值，系统都不能控和不能观。

3-3-8 系统的结构如题3-3-8图所示，图中a、b、c、d均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时a、b、c、d应满足的条件。

u(t)x2(t)x1(t)cy(t)bda

题3-3-8图

【解】：

系统状态空间表达式为：

1ax1cx2uxac1xux2dx1bx2uxdb1yxy10x1

系统能控的条件为：

Ucb1acAb1dbUcdbac0。

系统能观的条件为：

c10V0,cAacVoc0。

3-3-9 设系统

a1A10

(A,C)的系数矩阵为

a30,Cc1000a201

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其中a1,a2,a3,c1为实数。试问系统数具体表示。 【解】：

Cc1V0CAa1c1CA2a2cac2111(A,C)能观的充要条件是什么？要求用A、C中的参

0a2c1a1a2c1a3c1013a3c1c1a12a1a3c1a1a20a2a1a2a30a3 a1a3V0c13a320c10,a30.

3-3-10 已知系统的状态空间表达式为 1b10xxbu232yccx12

欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数b1,b2,c1,c2应满足的关系。 【解】：

f()IA2320,11,22

A为友矩阵，且特征值互异，所以

PP11P21111,21221P1 11xPx

10x2b1b2uxbb022 1yccc2cx1212显然，当状态x2既能控又能观，而状态x1既不能控又不能观的条件是：

c1c20,c12c20cc201 2bb0,bb0b2b0221112当状态x1既能控又能观，而状态x2既不能控又不能观的条件是：

c12c20,c1c20c12c20 bb0,2bb0bb0121212

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3-3-11 设n阶系统的状态空间表达式为2n-1Axbux，试证：

yCx（1）若Cb=0，CAb=0，CAb=0，……CAb=0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。

2n-2n-1（2）如果满足Cb=0，CAb=0，CAb=0，……CAb=0，CAb≠0则系统总是又能控又能观的。 【解】：

（1）以三阶系统为例：

CV0UcCAb2CACbCAbCA2b000AbA2bCAbCA2bCA3b0CA3b0

CA2bCA3bCA4b0CA3bCA4bV0Uc0,V0Uc0

所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。

（2）以三阶系统为例：

CV0UcCAb2CACbCAbCA2b00k3AbA2bCAbCA2bCA3b0kCAb CA2bCA3bCA4bkCA3bCA4bV0Uck3(CA2b)30V00,Uc0,

所以该系统既能控又能观。

611y6y6u，试写出对偶系统的状态空间表达3-3-12 已知系统的微分方程为yy式及其传递函数。

【解】：

因为G对偶(s)bT(sIAT)1CT[C(sIA)1b]TG原系统T(s)

又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。

6 G(s)3s6s211s6系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。 能控标准型为：

00x6y60

000u01x

11610x152

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能观标准型为：

01x0y00660u011x

16001x

3-3-13 已知系统的状态方程为x101x1u，试求出它的能控标准型。 12【解】：

Ucb11Ab,rankUc1n2。 11所以系统不能控，不存在能控标准型。

10xx3-3-14 已知系统的状态空间表达式为 24试求出它的能观标准型。

y11x【解】：

判系统的能观性：

C11V0,rankV02

CA34所以系统能观。 方法之一： ①求变换阵

T0T1T0T101AT1,T1V0111

2111AT1,T011211②设xT0x对原状态空间表达式做线性变换得：

04xx 15y01x方法之二：

依据特征多项式f(s)sIAs25s4直接可以写出能观标准型的A，C阵。

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04A，C01。

15

3-3-15 已知系统传递函数为G(s)【解】：

系统的传递函数可以写成：

G(s)s26s8s24s32s5s24s31

s26s8s4s32，试求能控标准型和能观标准型。 传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。 能控标准型为：

100xx341u y52xu能观标准型为：

035x14x2u y01xu

3-3-16 已知完全能控系统的状态方程为x010xu，试问与它相应的离散化方101程x(k1)【解】：

cosTsinTsinT1cosTx(k)sinTu(k)是否一定能控。 cosTcosTsinTsinT1cosTx(k)sinTu(k)， cosT离散系统完全能控的条件为Mc矩阵满秩。

已知x(k1)而McH1cosTGHsinTcosT(1cosT)sin2T，所以系统是否能控，取决

sinT(1cosT)cosTsinT于采样周期T的取值使能控判别阵满秩。

McH1cosTGHsinTcosT(1cosT)sin2T

sinT2cosTsinTMc2sinT(cosT1)

当Tk(k1,2,n)时，rank(Mc)2离散化方程也是能控的。

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3-3-17 试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。

1210,b0,C111 010（1）A04312210（2）A020,b0,C111

1401【解】：

（1）

①按能控性进行结构分解

UcbAb014A2b000,rankUc2

913

所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵Tc。

0103011Tc001，Tc100

130010 按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：

0321cxxc1420xuxcc0001

xy121cxc②按能观性进行结构分解

C111132,rankV2V0CA 02CA195

所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵P01。

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P01111100132，P0211 312100按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：

100xx34011x0y100x001x002ux001

（2）

①按能控性进行结构分解

UcbAb012A2b000,rankUc2

101

所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵Tc。

0100011Tc001,Tc100

100010 按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：

0141cxxc1220xuxcc0020

xy111cxc②按能观性进行结构分解

C111101,rankV2V0CA 02CA121

所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵P01。

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P01111001101,P0110

100011按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：

10010xx0x230x1u021100

x0y100x0

3-3-18 试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。 010230（1）A102412000,b0,C3010； 10421001,b2,C112。 223（2）A2012【解】：

（1）

系统的特征方程为：

f()IA(4)(3)(2)(1)0

化为对角标准型，其变换阵为：

00P010101711021,1311731801.1270.14290.3330.5100.3330100110 00P1

化成对角标准型为：

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040030x00200001.6670x0u1 010y0013.333x 可以看出系统不能控也不能观，需按能控性和能观性进行结构分解。

其中x3为能控能观的状态变量xco；x1为能控不能观的状态变量xco；x4为不能控能观的状态变量xco；x2为不能控不能观的状态变量xco

将上述方程按xco，xco，xco，xco的顺序排列，则有：

2x3x100x4x200x31x4001.6671u010x40

003x20y103.3330x00或写成

co20xxc004xc000xco00y103.33300xco1x00c01.667u10xc00

03xco00x（2）

UcbAb111,rankU3A2b21226 c202C112V0CA125,rankV03 2CA7411系统既能控又能观，无需分解。

4y3yu6u8u，3-3-19 已知系统的微分方程为试分别求出满足下列要求的状态y空间表达式：

（1）系统为能控能观的对角标准型； （2）系统为能控不能观的； （3）系统为能观不能控；

（4）系统为不能控也不能观的。 【解】：

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G(s)s26s8s24s32s5s24s311.50.51。 s1s3传递函数无零极点对消，则原系统既能控又能观。

Y(s)1.50.5U(s)U(s)U(s) s1s3设：

1X(s)U(s)1s11X(s)U(s)2s31x1ux23x2ux110x11xxx1u 0322xy1.5x10.5x2u1.50.51u

x2人为增加一对偶极子，得：

G(s)(2s5)s(s4s3)s212s25ss4s3s321

系统能控不能观的状态空间表达式为：

0001001x0xu 0341y052xu系统能观不能控的状态空间表达式为：

01x0y00003x5u1420

01xu系统既不能控又不能观的状态空间表达式为：

1003x00y1.50.5011u0x 000xu

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第三部分 现代控制理论习题详解 第三章 线性控制系统的能控性和能观性

12x3-3-20 已知系统的状态空间表达式为 2y1100023x2u，利用线性变换xTx，0122x101其中T001，对系统进行结构分解。试回答以下问题：

011(1)不能控但能观的状态变量以x1，x2，x3的线性组合表示；

(2)能控且能观的状态变量以x1，x2，x3的线性组合表示； (3)试求这个系统的传递函数。 【解】：

T1110011,010ATAT1,BTB,CCT1

线性变换后系统的状态空间表达式为：

120x2x1130x2x222u x3022x30y101x 系统的特征方程为：

f()IA(1)2(2)0

将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为：

010.5461P010，P1010 220122 约当标准型为：

2004~~~,BP1B2,CAP1AP011CP112.5

0010~x3不能控。 A为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态~因为：

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第三部分 现代控制理论习题详解 第三章 线性控制系统的能控性和能观性

x xTx，xP~~xP1Tx

413x ~x001200所以不能控但能观的状态变量~x34x1x23x3

x1001~xx3 1x能控且能观的状态变量~22x200x12x3 线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传

递函数：

4~20~xx012u

y11~x0s2~~~G(s)Cco(sIAco)1bco11s10142 2s

(s1)(s2)s33-3-21 已知系统的传递函数矩阵为G(s)(s1)(s2)， s4s3（1）求系统的能控标准型实现，画出系统的状态图；

（2）求系统的能观标准型实现，画出系统的状态图；

（3）用传递函数并联分解法，求系统对角标准型的实现，画出系统状态图。 【解】：

r1,m2,n3.

s3Y1(s)(s1)(s2)U(s) Y(s)G(s)U(s)s42s312690ssU(s)1U(s) 32321s6s11s61能控标准型为：

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1000x0u y1961x0u 0x01y1231261161系统状态图如题3-3-21图1所示。

6u3xx32x3x2x1xx19y162113y26题3-3-21图1

能观标准型为：

0010000001000000100609200660110xu

001131060106102Imx020202Ima0ImB0a1ImxB1ua2ImB2y10000100yx1u 0000012系统状态图如图题3-3-21图2所示。

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6611u91xx13x3x3x5xx5y1631162x2x24x3x4x6xx6y26

题3-3-21图2

对角标准型为：

s312s1s2Y1(s)(s1)(s2)0U(s)U(s)Y(s)1U(s) 1s42s3s3Y1(s)21U(s)U(s) s1s21U(s)U(s) s31U(s),s21U(s) s3Y2(s)设：

X1(s)1U(s),s1X2(s)X3(s)1100x11xx2020x21u 3003xx31Y1(s)21U(s)U(s)2X1(s)X2(s) s1s21U(s)U(s)X3(s)U(s) s3Y2(s) 63

第三部分 现代控制理论习题详解 第三章 线性控制系统的能控性和能观性

x1y12100yx21u 001x23系统状态图如题3-3-21图3所示。

u1xx12y12x2x23xx3y23题3-3-21图3

3-3-22 已知系统的微分方程为12y1y2y2u1u2(1)2y，试求该系统的最小实现。

yyyyuu(2)122121【解】：

由（1）式-（2）式和2×（2）式-（1）式得：

1y12u2y yyu3u2212 在零初始条件下，拉氏变换得：

Y1(s)2Y2(s)1U2(s) s11s111[sU1(s)3U2(s)]U1(s)3U2(s)s1s1s1

11U1(s)U1(s)3U2(s)s1s11X(s)U1(s)1s1 1X(s)U2(s)2s1 64

第三部分 现代控制理论习题详解 第三章 线性控制系统的能控性和能观性

110x110u1xxx01u,012222x100u1y10yx10u 13222Ucb1010Ab,rankUcn2 010120C13V0,rankV0n2

CA0231系统完全能控能观，所以上述系统为最小实现。

3-3-23 从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，说明下图题3-3-23图中闭环系统∑的能控性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性是一致的。

u(t)y(t)0

题3-3-23图

【解】：

设开环系统的传递函数为G0(s)M(s)，则开环系统能控且能观的条件是无零极点D(s)M(s)。

M(s)D(s)对消，即M(s)和D(s)无公因子。而闭环系统的传递函数为G(s)①开环系统传递函数G0(s)有零极点对消时，M(s)和D(s)有公因子，设为(sa)。

(sa)M(s)则闭环系统传递函数G(s)也有零极点对消，所以闭环系统∑的能控

(sa)(M(s)D(s))性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性是一致的。

②开环系统传递函数G0(s)没有零极点对消时，M(s)和D(s)没有公因子，则闭环系统传递函数G(s)M(s)也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统∑的能控

M(s)D(s)性与能观性和开环系统∑0的能控性与能观性也是一致的。

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