动点与等腰三角形

中考复习——动点专题

等腰三角形

1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1米/秒得速度从C点出发，沿CB向B移动。当其中有一点到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒。 （1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式；

（2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；

（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。

BQAPC2AKABsin4542．，∠4B=45。动点M从B点出发沿线段BC以2.已知等腰梯形ABCD，AD=3，AB=，CD=5

2每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

A D

N B M

C

3.（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C． （1）求点C的坐标．

（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．

（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．

（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

4.（2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上. 另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，

OCAC，C120．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒

1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△O C D为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图(2)，现有MCN60，其两边分别与OB， AB交于点M，N，连接

MN．将MCN绕着点C旋转（0，使得M，N始终在边OB和边旋转角60）

AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周

长；若发生变化，请说明理由．

5．（08湖北仙桃等4市）如图，直角梯形OABC中，AB∥OC,O为坐标原点，点A在

OHBCy轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，23），∠BCO= 60°，

于点H.动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.

（1） 求OH的长；

（2） 若OPQ的面积为S（平方单位）. 求S与t之间的函数关系式.并求t为

何值时，OPQ的面积最大，最大值是多少？

（3） 设PQ与OB交于点M.①当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值. ②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论.

Q MA y B H P O

C x 6.（2010 浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，

P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？ C

BPEDQH A

7.（2011六盘水）如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上． （1）在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．

（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）当t（0＜t＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．

4

8．如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴

3

交于点B.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1

个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点

P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Oyy=-x+7A4y=x3yy=-x+7A4y=x3BxO（备用图）

Bx9.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）． （1）求当t为何值时，两点同时停止运动；

（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

B

A

E O D F

C

10.( 湖北天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动 点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．

(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示) (2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？

(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变， 试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值． 3

y B N O M

①

A

x

y B N O ② MA x