2019年湖南省湘潭市中考数学试卷(附答案,解析)

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）

1．（3分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是( ) A．|3|

B．3

C．(3)

1D．

32．（3分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是( )

A． B．

C． D．

3．（3分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为( ) A．0.24105

B．2.4104

C．2.4103

D．24103

4．（3分）（2019•湘潭）下列计算正确的是( ) A．a6a3a2

B．(a2)3a5

C．2a3a6a

D．2a3a6a2

5．（3分）（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x24xc0有两个相等的实数根，则c( ) A．4

B．2

C．1

D．4

6．（3分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是( )

A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10

7．（3分）（2019•湘潭）如图，将OAB绕点O逆时针旋转70到OCD的位置，若AOB40，则AOD( )

A．45

B．40

C．35

D．30

8．（3分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为( ) A．

12090 x20xB．

12090 x20xC．

12090 xx20D．

12090 xx20二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分） 9．（3分）（2019•湘潭）函数y1中，自变量x的取值范围是 ． x610．（3分）（2019•湘潭）若ab5，ab3，则a2b2 ．

11．（3分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．

112．（3分）（2019•湘潭）计算：()1 ．

413．（3分）（2019•湘潭）将一次函数y3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为 ． 14．（3分）（2019•湘潭）四边形的内角和为 ．

15．（3分）（2019•湘潭）如图，在四边形ABCD中，若ABCD，则添加一个条件 ，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）

16．（3分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积1所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢2)．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），

2公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC弦

AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的

面积为 平方米．

三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）

2x617．（6分）（2019•湘潭）解不等式组3x1，并把它的解集在数轴上表示出来．

x2

18．（6分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3y3(xy)(x2xyy2) 立方差公式：x3y3(xy)(x2xyy2)

3xx22x4根据材料和已学知识，先化简，再求值：2，其中x3． x2xx3819．（6分）（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：21.41，31.73)

20．（6分）（2019•湘潭）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的

心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： ①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85，83，63，92，90． ②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数x 人数 等第 90x100 80x90 a 70x80 60x70 x60 5 5 C 2 1 A B D E ③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④依据统计信息回答问题 （1）统计表中的a ．

（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 ．

（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？

21．（6分）（2019•湘潭）如图，将ABC沿着AC边翻折，得到ADC，且AB//CD． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AC16，BC10，求四边形ABCD的面积．

22．（6分）（2019•湘潭）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“312”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考

（1）“12”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）

（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．

23．（8分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正k半轴相切于点C，连接MA、MC，已知M半径为2，AMC60，双曲线y(x0)经过圆心M．

x（1）求双曲线yk的解析式； x（2）求直线BC的解析式．

24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 25．（10分）（2019•湘潭）如图一，抛物线yax2bxc过A(1，0)B(3.0)、C(0,3)三点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）P(x1，y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值范围；

（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，

点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求FMN周长的最小值．

26．（10分）（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD53，CD5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．

（1）求CAD的大小；

（2）问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由． ②MBN的大小是否改变？若不改变，请求出MBN的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．

2019年湖南省湘潭市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）

1．（3分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是( ) A．|3|

B．3

C．(3)

1D．

3【分析】根据负数的定义可得B为答案． 【解答】解：3的绝对值30；

30；

(3)30；

10． 3故选：B．

2．（3分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是( )

A． B．

C． D．

【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；

B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；

C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；

D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；

故选：C．

3．（3分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为( ) A．0.24105

B．2.4104

C．2.4103

D．24103

【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．

【解答】解：将24000用科学记数法表示为：2.4104， 故选：B．

4．（3分）（2019•湘潭）下列计算正确的是( ) A．a6a3a2

B．(a2)3a5

C．2a3a6a

D．2a3a6a2

【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．

【解答】解：A、结果是a3，故本选项不符合题意；

B、结果是a6，故本选项不符合题意；

C、结果是5a，故本选项不符合题意；

D、结果是6a2，故本选项符合题意；

故选：D．

5．（3分）（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x24xc0有两个相等的实数根，则c( ) A．4

B．2

C．1

D．4

【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：方程x24xc0有两个相等的实数根， △(4)241c164c0，

解得：c4． 故选：A．

6．（3分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是( )

A．平均数是8

B．众数是11

C．中位数是2

D．极差是10

【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，

极差为13211，故D不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的； (7213117)58，即平均数是8，故A事正确的．

【解答】解：(7213117)58，即平均数是8，故A事正确的． 出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，

从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的； 极差为13211，故D不正确； 故选：A．

7．（3分）（2019•湘潭）如图，将OAB绕点O逆时针旋转70到OCD的位置，若AOB40，则AOD( )

A．45

B．40

C．35

D．30

【分析】首先根据旋转角定义可以知道BOD70，而AOB40，然后根据图形即可求出AOD． 【解答】解：OAB绕点O逆时针旋转70到OCD的位置，

BOD70，

而AOB40，

AOD704030．

故选：D．

8．（3分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90

个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为( ) A．

12090 x20xB．

12090 x20xC．

12090 xx20D．

12090 xx20【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 12090， x20x故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分） 9．（3分）（2019•湘潭）函数y1中，自变量x的取值范围是 x6 ． x6【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x60， 解得x6． 故答案为：x6．

10．（3分）（2019•湘潭）若ab5，ab3，则a2b2 15 ． 【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可． 【解答】解：ab5，ab3， a2b2 (ab)(ab)

53 15，

故答案为：15．

11．（3分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是

3 ． 5【分析】随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【解答】解：选出的恰为女生的概率为3故答案为．

5112．（3分）（2019•湘潭）计算：()1 4 ．

433， 325【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．

11【解答】解：()14，

144故答案为：4．

13．（3分）（2019•湘潭）将一次函数y3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为 y3x2 ．

【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．

【解答】解：将正比例函数y3x的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为y3x2， 故答案为：y3x2．

14．（3分）（2019•湘潭）四边形的内角和为 360 ．

【分析】根据n边形的内角和是(n2)180，代入公式就可以求出内角和． 【解答】解：(42)180360． 故四边形的内角和为360． 故答案为：360．

15．（3分）（2019•湘潭）如图，在四边形ABCD中，若ABCD，则添加一个条件 ADBC ，能得到平行四边形ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）

【分析】可再添加一个条件ADBC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．

【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：ADBC． 故答案为：ADBC（答案不唯一）．

16．（3分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积1所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢2)．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），

2公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC弦

AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的

面积为 10 平方米．

【分析】根据垂径定理得到AD4，由勾股定理得到ODOA2AD23，求得OAOD2，根据弧田面积1（弦矢矢2)即可得到结论． 2【解答】解：弦AB8米，半径OC弦AB，

AD4，

ODOA2AD23，

OAOD2，

弧田面积11（弦矢矢2)(8222)10， 22故答案为：10．

三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）

2x617．（6分）（2019•湘潭）解不等式组3x1，并把它的解集在数轴上表示出来．

x2

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 2x6①【解答】解：3x1，

x②2解不等式①得，x3， 解不等式②，x1，

所以，原不等式组的解集为1x3， 在数轴上表示如下：

．

18．（6分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3y3(xy)(x2xyy2)

立方差公式：x3y3(xy)(x2xyy2)

3xx22x4根据材料和已学知识，先化简，再求值：2，其中x3． x2xx38【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

3xx22x4【解答】解：2 x2xx383xx22x4 x(x2)(x2)(x22x4)31 x2x22， x222． 32当x3时，原式19．（6分）（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：21.41，31.73)

【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长．

【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：AMN90，ANM30，BNM45，AN8km， 在直角AMN中，MNANcos308343(km)． 2在直角BMN中，BMMNtan4543km6.9km． 答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．

20．（6分）（2019•湘潭）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： ①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85，83，63，92，90． ②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数x 人数 等第 90x100 80x90 a 70x80 60x70 x60 5 5 C 2 1 A B D E ③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④依据统计信息回答问题 （1）统计表中的a 7 ．

（2）心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 ．

（3）学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？

【分析】（1）根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可． （2）根据圆心角360百分比计算即可． （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．

【解答】解：（1）总人数210%20（人)，a2035%7， 故答案为7．

（2）C所占的圆心角360故答案为90． （3）20001100（人)， 20590， 20答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．

21．（6分）（2019•湘潭）如图，将ABC沿着AC边翻折，得到ADC，且AB//CD． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AC16，BC10，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由折叠的性质得出ABAD，BCCD，BACDAC，BCADCA，由平行线的性质得出BACDAC，得出BACDACBCADCA，证出AD//BC，ABADBCCD，即可得出结论；

（2）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出ACBD，OAOB1AC8，OBOD，由勾股定理求2出OBBC2OC26，得出BD2OB12，由菱形面积公式即可得出答案． 【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：

ABC沿着AC边翻折，得到ADC，

ABAD，BCCD，BACDAC，BCADCA，

AB//CD， BACDAC，

BACDACBCADCA， AD//BC，ABADBCCD，

四边形ABCD是菱形；

（2）连接BD交AC于O，如图所示： 四边形ABCD是菱形，

ACBD，OAOC1AC8，OBOD， 2OBBC2OC2102826，

BD2OB12，

四边形ABCD的面积11ACBD161296． 22

22．（6分）（2019•湘潭）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“312”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考

（1）“12”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）

（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．

【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；

（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）画树状图如下，

由树状图知，共有12种等可能结果； （2）画树状图如下

由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果， 1所以他们恰好都选中政治的概率为．

923．（8分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正

k半轴相切于点C，连接MA、MC，已知M半径为2，AMC60，双曲线y(x0)经过圆心M．

x（1）求双曲线yk的解析式； x（2）求直线BC的解析式．

【分析】（1）先求出CM2，再判断出四边形OCMN是矩形，得出MN，进而求出点M的坐标，即可得出结论；

（2）先求出点C的坐标，再用三角函数求出AN，进而求出点B的坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图，过点M作MNx轴于N，

MNO90，

M切y轴于C， OCM90， CON90，

CONOCMONM90，

四边形OCMN是矩形，

AMCM2，CMN90， AMC60， AMN30，

在RtANM中，MNAMcosAMN233， 2M(2,3)，

k双曲线y(x0)经过圆心M，

xk2323，

双曲线的解析式为y23(x0)； x

（2）如图，过点B，C作直线， 由（1）知，四边形OCMN是矩形，

CMON2，OCMN3，

C(0,3)，

在RtANM中，AMN30，AM2，

AN1， MNAB，

BNAN1，OBONBN3，

B(3,0)，

设直线BC的解析式为ykxb，

3kb0， b33k3， b3直线BC的解析式为y3x3． 3

24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？

【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：(10m )盒，再列出关系式即可．

3【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒， (12072)x(8040)y1280x10则有，解得

120x80y2800y20故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．

（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意 总利润W(120m72)(10m)800 311化简得Wm26m1280(m9)21307

331a0

3当m9时，取得最大值为1307，

故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元． 25．（10分）（2019•湘潭）如图一，抛物线yax2bxc过A(1，0)B(3.0)、C(0,3)三点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）P(x1，y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值范围；

（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求FMN周长的最小值． 【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；

（2）可以求出点Q(4,y2)关于对称轴的对称点的横坐标为：x2，根据函数的增减性，可以求出当y1y2时P点横坐标x1的取值范围；

（3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．

【解答】解：（1）抛物线yax2bxc过A(1，0)B(3.0)、C(0,3)三点

abc0233，b，c3； 9a3bc0 解得：a33c3抛物线的解析式为：y3223xx3． 33

（2）抛物线的对称轴为x1，抛物线上与Q(4,y2)相对称的点Q(2,y2) P(x1，y1在该抛物线上，y1y2，根据抛物线的增减性得：

x12或x14

答：P点横坐标x1的取值范围：x12或x14．

（3）C(0,3)，B，(3,0)，D(1,0) OC3，OB3，OD，1

F是BC的中点，

33F(，)

22当点F关于直线CE的对称点为F，关于直线CD的对称点为F，直线FF与CE、CD交点为M、N，333)，F(0,0)即点O， 此时FMN的周长最小，周长为FF的长，由对称可得到：F(，223332FFFO()2()3，

22即：FMN的周长最小值为3，

26．（10分）（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD53，CD5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．

（1）求CAD的大小；

（2）问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由． ②MBN的大小是否改变？若不改变，请求出MBN的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度． 【分析】（1）在RtADC中，求出DAC的正切值即可解决问题． （2）①分两种情形：当NANM时，当ANAM时，分别求解即可． ②MBN30．利用四点共圆解决问题即可．

（3）首先证明ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）如图一（1）中，

四边形ABCD是矩形，

ADC90，

tanDACDC53， AD533DAC30．

（2）①如图一（1）中，当ANNM时，

BANBMN90，BNBN，ANNM，

RtBNARtBNM(HL)，

BABM，

在RtABC中，ACBDAC30，ABCD5，

AC2AB10，

BAM60，BABM，

ABM是等边三角形，

AMAB5， CMACAM5．

如图一（2）中，当ANAM时，易证AMNANM15，

BMN90， CMB75，

MCB30，

CBM180753075， CMBCBM，

CMCB53，

综上所述，满足条件的CM的值为5或53．

②结论：MBN30大小不变．

理由：如图一（1）中，BANBMN180，

A，B，M，N四点共圆，

MBNMAN30．

如图一（2）中，BMNBAN90，

A，N，B，M四点共圆，

MBNMAN180，

DACMAN180， MBNDAC30，

综上所述，MBN30．

（3）如图二中，

AMMC， BMAMCM， AC2AB，

ABBMAM， ABM是等边三角形，

BAMBMA60， BANBMN90， NAMNMA30， NANM，

BABM，

BN垂直平分线段AM，

FMNM5， 2FM53，

cos303NFM90，NHHM，

FH153MN． 26

考试小提示

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