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2018-2019学年浙教版七年级数学竞赛试卷
题号 得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一
二
三
总分
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共6小题，4*6=24） 1．如果A．a＜0 2．当a=
=﹣1，则a的取值（ ） B．a≤0 C．a≥0 ，b=
D．a＞0
时，代数式2a（a+b）﹣（a+b）2的值为（ ）
C．2008•2009 D．1
A．﹣1 B．
3．下列各图中都有一个正方体及正方体的侧面展开图．若正方体的“着地面”不动，沿着正方体的某些棱剪开并展开后，能与阴影部分重合的图是（ ）
A． B． C． D．
4．两个有序正整数，和为915，最大公约数为61，这两个数有（ ）种可能． A．4
B．6
C．8
D．14
5．已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ） A．a＞﹣1 B．a=1 C．a≥1 D．非上述答案
6．有一座3层的楼房失火了，一个消防队员搭了23级的梯子爬到3楼楼顶上去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼的窗口喷出火来，他往下退了2级，等火过去了，他又爬上了6级，这时发现楼顶有一块木头的将要掉下来，他又后退了3级，躲开了这块木头，然后又往上爬了6级，这时他距离楼顶还有 （ ） A．3级 B．4级 C．5级 D．6级
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第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共6小题，4*6=24）
7．已知x、y、z都是质数，且x≤y≤z，x+y+z=12，xy+yz+xz=41，则x+2y+3z的值为 ． 8．整数11994+91994+81994+61994的奇偶性为 （填奇数或偶数）．
9．一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，则A、B两港口的距离为 千米．
10．已知a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= ． 11．若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有 个． 12．假设一家旅馆共有30个房间，分别编以号码l～30，现在要在每个房间的钥匙标上数字，为保密起见，要求数字用密码法，使服务员容易识别，而使局外人不易猜到、现在要求密码用两位数，左边的一个数字是原房号除以5所得的余数，右边的一个数字是原房号除以7所得的余数．那么标有36的钥匙所对应的原房号是 号．
评卷人 得 分
三．解答题（共5小题，52分）
13．（10分）已知非负实数x，y，z满足大值与最小值．
14．（10分）有三堆石子的个数分别为20、10、12，现进行如下操作：每次从三堆的任意两堆中分别取出1粒石子，然后把这2粒石子都加到另一堆上去．问：能否经过若干次这样的操作，使得
（1）三堆石子的石子数分别为4、14、24；
，记W=3x+4y+5z．求W的最
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（2）三堆石子的石子数均为14．
如能满足要求，请用最少的操作次数完成；如不能满足，请说明理由．
15．（10分）妈妈给小敏101元钱买花装饰圣诞树．花店的花成束出售，规格与价格如表所示．为了使买到的花朵最多，请你给小敏提建议：每种规格的花买几束？为什么？（要写推理过程）
规格
A B C
每束花的朵数 20 35 50 价格（元/束） 4 6 7
16．（10分）某市内轻轨从A地到B地途经8个站，火车有普快和直快两种．直快的车速是普快车速的1.2倍．普快在中间某一站停6分钟，其余站各停3分钟，当直快赶上普快时，普快需给直快让道5分钟，直快中间不停车．假设普快从A地发出40分钟后，直快也从A地发出．在以下两种情况下，分别求出直快从起点到终点所需要的时间： （Ⅰ）若两车同时到达终点；
（Ⅱ）若直快较普快提前14分钟到达终点．
17．（12分）有一个八位数，它的前五位数字组成的五位数与后三位数组成的三位数的和等于20436，而它的前三位数组成的三位数与后的和五位数字组成的五位数等于30606，求这个八位数．
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参考答案与试题解析
1．解：∵a为分母， ∴a≠0， ∴当a＞0时，当a＜0时，故选：A． 2．
解：原式=2a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2=a2﹣b2， 当a=故选：D． 3．
解：由原正方体知，带图案的面展开后A、C、D都不符合，所以能得到的图形是B． 故选：B．
4．解：设两数为a，b，则 a+b=915，（a，b）=61， 设a=61x，b=61y，
由1≤x≤14，1≤y≤14，（x，y）=1，x+y=15，得
（x，y）=（1，14）（14，1）（2，13）（13，2）（4，11）（11，4）（7，8）（8，7）共8组． 故选：C． 5．解：如图，
，b=
时，原式=2009﹣2008=1． ==1； =﹣1．
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令y=|x|和y=ax+1，
而函数y=ax+1必过点（0，1），
∵方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根， ∴直线y=ax+1与函数y=|x|在第二象限只有交点， ∴a≥1， 故选：C．
6．解：根据题意得：（23+1）÷2﹣2+6﹣3+6=12﹣2+6﹣3+6=19， 23﹣19=4（级），
则这时他距离楼顶还有4级． 故选：B．
7．解：必有一个质数为2（所以先令其中任意一个未知数为2）， 令z=2， x+y+2=12， x+y=10， xy+2y+2x=41， xy+2（x+y）=41， xy+20=41， xy=21，
x、y分别为3和7．
因为无论x、y、z哪一值是2、3、7，前面的式子都成立，所以有六组解． x+2y+3z=3+14+6=23， 或=3+4+21=28， 或=2+6+21=29，
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或=2+14+9=25， 或=7+4+9=20， 或=7+6+6=19． ∵x≤y≤z，
∴x+2y+3z=2+6+21=29． 故答案为29． 8．
解：∵9n的个位数字为9，1，9，1…，即2次一循环， ∵1994÷2=997， ∴91994的个位数字为1，
∵8n的个位数字为8，4，2，6，8，4，2，6…，即4次一循环， ∵1994÷4=498…2， ∴81994的个位数字为4，
∵6n的个位数字为6，1n的个位数字为1， ∴11994+91994+81994+61994的个位数字为2． ∴整数11994+91994+81994+61994是偶数． 故答案为：偶数． 9．
解：设A、B两个港口的距离为d，
甲顺水速度：28+4=32千米/时，甲逆水速度：28﹣4=24千米/时， 乙顺水速度：20+4=24千米/时，乙逆水速度：20﹣4=16千米/时， 第二次相遇地点：
从A到B：甲速：乙速=32：24=4：3，甲到B，乙到E；
甲从B到A，速度24，甲速：乙速=24：24=1：1，甲、乙在EB的中点F点第一次相遇； 乙到B时，甲到E，这时甲速：乙速=24：16=3：2，甲到A点时，乙到C点； 甲又从A顺水，这时甲速：乙速=32：16=2：1，所以甲、乙第二次相遇地点是AC处的点H，
AH=×AB=AB=d， 第二次追上地点：
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甲比乙多行1来回时第一次追上，多行2来回时第二次追上． 甲行一个来回2AB时间乙行一个来回2AB时间
++
==﹣×2=
d ， =，
，
一个来回甲比乙少用时间：甲多行2来回的时间是：
说明乙第二次被追上时行的来回数是：
=4，甲第二次追上乙时，乙在第5个来回中，甲在第7个来回中．
甲行6个来回时间是乙行4个来回时间是﹣
=
×6=×4=
， ，
﹣
=
，
，从A到B甲少用时间：
说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中．
﹣=，从B到A，甲比乙少用时间：﹣=，=，追上地点是从B到
A的中点C处．
根据题中条件，HC=40（千米），即=40，解得d=240千米． 故答案为：240．
10．解：∵a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008， ∴a﹣b=﹣1，a﹣c=﹣2，b﹣c=﹣1，
则原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]=3． 故答案为：3．
11．解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）． ∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）； 42=2×3×7不是奇异数； 69=3×23是奇异数（第二类）， 111=3×37是奇异数（第二类），
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125=53是奇异数（第一类）， 137是质数，不是奇异数， 343=73是奇异数（第一类），
899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类）， 3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），
7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）． 因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个． 故答案为：8．
12．解：设所求原房间号为x，则x除以5余数为3， x除以7余数为6，
由第二个条件知x只能为6，13，20，27， 其中只有13符合第一个条件，故x=13． 故答案为：13． 13．解：设
=k，
则x=2k+1，y=﹣3k+2，z=4k+3， ∵x，y，z均为非负实数， ∴
，
解得﹣≤k≤，
于是W=3x+4y+5z=3（2k+1）﹣4（3k﹣2）+5（4k+3）=14k+26， ∴﹣×14+26≤14k+26≤×14+26， 即
≤W≤
．
．
∴W的最大值是35，最小值是
14．解：设20个为A堆，10个为B堆，12个为C堆，
（1）为达到用最少的操作次数完成，并且满足从两堆中取出，考虑思路是有两组石子的数目要降低，
∴因此需以如下方式调配石子： X=10﹣﹣＞A=4 降6， Y=20﹣﹣＞B=14 降6，
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Z=12﹣﹣＞C=24 升12， ∴需要6次， （2）不能满足，
∵为达到三堆石子的石子数均为14，三堆石子需分别满足降6，升4，升2，意味着有两堆石子的数目要升高，这与题目不符， ∴不满足．
15．解：设A，B，C三种规格的花依次买a，b，c束，则4a+6b+7c=101 因为4a，6b为偶数，101为奇数，从而7c为奇数，所以c为奇数． 又∵A，B，C三种规格的花平均每元钱可依次买
=5朵，
≈6朵，
≈7朵花，
∴为了使买到的花朵最多，应尽可能地多买规格C的花．…10′ 由于
=14.4…，所以c≤14
又∵c为奇数，
从而c=13，11，9，…15′
当c=13时，4a+6b=101﹣7×13=10， 从而2a+3b=5． 所以a=1，b=1．
答：买A，B，C三种规格的花依次为1，1，13束时，这时花朵最多，共有20×1+35×1+50×13=705（朵）．…20′
16．解：（Ⅰ）设A地与B地相距x千米，普快速度为y（千米/分），则特快的速度为1.2y千米，由题意，得 则+27=40+
，
解得=78（分），
因此直快从起点到终点所需时间为
=65分钟
（Ⅱ）设A地与B地相距x千米，普快速度为y（千米/分），则特快的速度为1.2y千米，由题意，得 +27+5=40+
+14
解得=132（分）
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因此直快从起点到终点所需时间为=110分钟
17．解：设这个八位数为 x×100000+y×1000+z 其中，x，z为三位数，y为两位数． 依题意，x×100+y+z=20436； x+1000y+z=30606； 易见x＜204，y≤30 （1）
又 x（1﹣100）+y（1000﹣1）=10170﹣11x+111y=1130 取x=89+111t（t＞=1，因为x为三位数） 此时y=
=
=19+11t，
前面已得 x＜204，y≤30 （1） 故取x=200，y=30 代入， 得：z=406
故这个八位数是：20030406．
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