一、单选题(共 40 分)
1.下列四个选项中为负整数的是（ ） A.0 【答案】D 【分析】
根据整数的概念可以解答本题 【详解】
解：A、0既不是正数也不是负数故选项A不符合题意
B.−0.5
C.−√2
D.−2
B、−0.5是负分数故选项B不符合题意 C、−√2不是负整数故选项C不符合题意 D、-2是负整数符合题意
故选：D 【点睛】
本题主要考查了大于0的整数是正整数小于0的整数是负整数本题熟记负整数的概念是解题的关键
2.如图在数轴上点A、B分别表示a、b且𝑎+𝑏=0若𝐴𝐵=6则点A表示的数为（ ）
A.−3 【答案】A 【分析】
由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数即可得出AB表示的数 【详解】
B.0
C.3
D.−6
解：∵𝑎+𝑏=0
∴𝐴𝐵两点对应的数互为相反数 ∴可设𝐴表示的数为𝑎则𝐵表示的数为−𝑎 ∵𝐴𝐵=6 ∴−𝑎−𝑎=6 解得：𝑎=−3 ∴点𝐴表示的数为-3 故选：A 【点睛】
本题考查了绝对值相反数的应用关键是能根据题意得出方程−𝑎−𝑎=6 3.方程
1𝑥−3
=的解为（ ）
𝑥
2
A.𝑥=−6 【答案】D 【分析】
B.𝑥=−2 C.𝑥=2 D.𝑥=6
分式方程去分母转化为整式方程求出整式方程的解即得到x的值经检验即可得到分式方程的解 【详解】 解：
1𝑥−3
= 𝑥
2
去分母得：𝑥=2𝑥−6 移项合并得：−𝑥=−6 化系数为“1”得：𝑥=6 检验当𝑥=6时𝑥(𝑥−3)=18≠0 ∴𝑥=6是原分式方程的解 故选：D
【点睛】
此题考查了解分式方程解分式方程的基本思想是“转化思想”把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 4.下列运算正确的是（ ） A.|−(−2)|=−2 C.(𝑎2𝑏3)2=𝑎4𝑏6 【答案】C 【分析】
利用绝对值符号化简可判断A利用同类项定义与合并同类项法则可判断B利用积的乘方运算法则可判断C利用完全平方公式可判断D 【详解】
B.3+√3=3√3 D.（a－2）2＝a2－4
A. |−(−2)|=2≠−2选项A计算不正确
B. 3与√3不是同类项不能合并3+√3≠3√3选项B计算不正确 C. (𝑎2𝑏3)2=𝑎2×2𝑏3×2=𝑎4𝑏6选项C计算正确 D. (𝑎−2)2=𝑎2−4𝑎+4≠𝑎2−4选项D计算不正确
故选择C 【点睛】
本题考查绝对值化简同类项、二次根式、积的乘方与完全平方公式等知识掌握以上知识是解题关键
5.下列命题中为真命题的是（ ） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形 （3）对角线相等的平行四边形是菱形 （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A.（1）（2） B.（1）（4） C.（2）（4） D.（3）（4） 【答案】B 【分析】
正确的命题叫真命题根据定义解答 【详解】
解：对角线互相平分的四边形是平行四边形故（1）是真命题 对角线互相垂直的平行四边形是菱形故（2）不是真命题 对角线相等的平行四边形是矩形故（3）不是真命题 有一个角是直角的平行四边形是矩形故（4）是真命题 故选：B 【点睛】
此题考查真命题的定义熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键
6.为了庆祝中国共产党成立100周年某校举办了党史知识竞赛活动在获得一等奖的学生中有3名女学生1名男学生则从这4名学生中随机抽取2名学生恰好抽到2名女学生的概率为（ ） A.
32
B. 2
1
C. 3
1
D.
6
1
【答案】B 【分析】
首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况再利用概率公式即可求得答案 【详解】 解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况 ∴P（2女生）==
12
26
1
故选：B 【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果列表法适合于两步完成的事件树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
7.一根钢管放在V形架内其横截面如图所示钢管的半径是24cm若∠𝐴𝐶𝐵=60°则劣弧AB的长是（ ）
A.8πcm 【答案】B 【分析】
B.16πcm C.32πcm D.192πcm
先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°由∠C=60°可求∠AOB=120°由
OB=24cm利用弧长公式求即可
【详解】
解：∵AC与BC是圆的切线 ∴OA⊥ACOB⊥CB
∴∠OAC=∠OBC=90°
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180° ∵∠C=60°
∴∠AOB=180°-60°=120° ∵OB=24cm, ∴𝑙𝐴𝐵⌢=
120×𝜋×24
180
=16𝜋cm
故选择B 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系四边形内角和弧长公式掌握直线与圆的位置关系四边形内角和弧长公式是解题关键
8.抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(−1,0)、(3,0)且与y轴交于点(0,−5)则当𝑥=2时
y的值为（ ）
A.−5 【答案】A 【分析】
解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式再求函数值即可
解法二：利用二次函数图象的对称性可知：𝑥=2和𝑥=0对应的函数值相等从而得解 【详解】
解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(−1,0)、(3,0)且与y轴交于点(0,−5) 𝑐=−5
∴{𝑎−𝑏+𝑐=0 9𝑎+3𝑏+𝑐=0
𝑐=−5
5𝑎= 解方程组得{
𝑏=−
3
103
B.−3 C.−1 D.5
∴抛物线解析式为𝑦=𝑥2−
3
5103
𝑥−5
当𝑥=2时𝑦=×4−
3
5103
×2−5=−5
故选择A 解法二：抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(−1,0)、(3,0) ∴抛物线的对称轴为：𝑥=又∵
0+22
−1+32
=1
=1
∴𝑥=2和𝑥=0的函数值相等即均为−5 故选择A 【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式和函数值掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果 9.如图在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中∠𝐶=90°𝐴𝐶=6𝐵𝐶=8将△𝐴𝐵𝐶绕点A逆时针旋转得到△𝐴′𝐵′𝐶′使点𝐶′落在AB边上连结𝐵𝐵′则sin∠𝐵𝐵′𝐶′的值为（ ）
A.
5
3
B. 5
4
C. √55
D.
2√5 5
【答案】C 【分析】
由勾股定理求出𝐴𝐵=10并利用旋转性质得出𝐴𝐶′=𝐴𝐶=6𝐵′𝐶=𝐵𝐶=
8∠𝐴𝐶′𝐵′=∠𝐶=90°则可求得𝐵𝐶′=4再根据勾股定理求出𝐵𝐵′=4√5最后由三角形函数的定义即可求得结果 【详解】
解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中∠𝐶=90°𝐴𝐶=6𝐵𝐶=8 由勾股定理得：𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√62+82=10 ∵△𝐴𝐵𝐶绕点A逆时针旋转得到△𝐴′𝐵′𝐶′
∴𝐴𝐶′=𝐴𝐶=6𝐵′𝐶=𝐵𝐶=8∠𝐴𝐶′𝐵′=∠𝐶=90° ∴𝐵𝐶′=𝐴𝐵−𝐴𝐶′=10−6=4 ∴在𝑅𝑡△
𝐵𝐵′𝐶′中由勾股定理得𝐵𝐵′=
𝐵𝐶′𝐵𝐵′22
√′′′=𝐵𝐶+𝐵𝐶=√42+82=4√5
∴sin∠𝐵𝐵′𝐶′故选：C 【点睛】
=
44√5=
√5 5
本题考查了求角的三角形函数值掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键
10.在平面直角坐标系xOy中矩形OABC的点A在函数𝑦=(𝑥>0)的图象上点C在
𝑥1
函数𝑦=−(𝑥<0)的图象上若点B的横坐标为−则点A的坐标为（ ）
𝑥
2
47
A.(,2) 2【答案】A 【分析】
1
B.(,√2)
2
√2C.(2,)
2
1
D.(√2,√2) 2
构造K字形相似由面积比得出相似比为2从而得出A点坐标与C点坐标关系而P是矩形对角线交点故P是AC、BO的中点由坐标中点公式列方程即可求解 【详解】
解：过C点作CE⊥x轴过A点作AF⊥x轴
∵点A在函数𝑦=(𝑥>0)的图象上点C在函数𝑦=−(𝑥<0)的图象上
𝑥
𝑥
14
∴𝑆△𝑂𝐶𝐸=2𝑆△𝑂𝐴𝐹=
2
1
∵CE⊥x轴
∴∠𝐶𝐸𝑂=90°∠𝑂𝐶𝐸+∠𝐶𝑂𝐸=90° ∵在矩形OABC中∠𝐴𝑂𝐶=90° ∴∠𝐴𝑂𝐹+∠𝐶𝑂𝐸=90° ∴∠𝑂𝐶𝐸=∠𝐴𝑂𝐹 ∴△𝑂𝐶𝐸∼△𝐴𝑂𝐹 ∴
𝐶𝐸𝑂𝐹
=
𝑂𝐸𝐴𝐹
=√
𝑆△𝑂𝐶𝐸𝑆△𝑂𝐴𝐹
=2
∴𝐶𝐸=2𝑂𝐹𝑂𝐸=2𝐴𝐹
设点A坐标为(𝑥,)则点C坐标为(−,2𝑥,)
𝑥
𝑥
1
2
连接AC、BO交于点P则P为AC、BO的中点 ∴𝑥+(−)=−
𝑥
2
2
7
解得：𝑥1=𝑥2=−4（不合题意舍去）
2
1
∴点A坐标为(,2)
2
1
故选A 【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合关键是构造相似三角形根据反比例函数的
系数k的几何意义由面积比得到相似三角形的相似比从而确定点A与点C的坐标关系
二、填空题(共 24 分)
11.代数式√𝑥−6在实数范围内有意义时x应满足的条件是________ 【答案】𝑥≥6 【分析】
根据二次根式有意义的条件解答 【详解】
解：由题意得：𝑥−6≥0 解得𝑥≥6 故答案为：𝑥≥6 【点睛】
此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零 12.方程x=4x的解 __ 【答案】x=0或x=4 【分析】
先移项使方程右边为0再提公因式x然后根据“两式相乘值为0这两式中至少有一式值为0”进行求解 【详解】 解：原方程变为
2
x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0
解得x1=0x2=4 故答案为：x=0或x=4
【点睛】
本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.
13.如图在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中∠𝐶=90°∠𝐴=30°线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E连结BD若𝐶𝐷=1则AD的长为________
【答案】2 【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD∠ABD=∠𝐴=30°求得∠𝐶𝐵𝐷=30°即可求出答案 【详解】
解：∵∠𝐶=90° ∴∠A+∠ABC=90°
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E ∴AD=BD
∴∠ABD=∠𝐴=30° ∴∠𝐶𝐵𝐷=30° ∵𝐶𝐷=1 ∴AD=BD=2CD=2 故答案为：2 【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质直角三角形30度角的性质熟记线段垂直平分线的
性质是解题的关键
14.一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有两个相等的实数根点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)是反比例函数𝑦=上的两个点若𝑥1<𝑥2<0则𝑦1________𝑦2（填“＜”或“＞”或
𝑥𝑚
“＝”） 【答案】＞ 【分析】
先根据一元二次方程有两个相等的实数根则𝛥=0求出m的取值范围再由反比例函数函数值的变化规律得出结论 【详解】
解：∵一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有两个相等的实数根 ∴𝛥=(−4)2−4𝑚=0 ∴𝑚=4
∴点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)是反比例函数𝑦=上的两个点
𝑥4
又∵𝑥1<𝑥2<0 ∴𝑦1>𝑦2 故填：> 【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值再由反比例函数的性质求解
15.如图在△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶=𝐵𝐶∠𝐵=38°点D是边AB上一点点B关于直线CD的对称点为𝐵′当𝐵′𝐷//𝐴𝐶时则∠𝐵𝐶𝐷的度数为________
【答案】33° 【分析】
如图连接𝐶𝐵′根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得∠𝐵′=∠𝐵=38°∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐵′并由平行线的性质可推出∠𝐴𝐶𝐵′=∠𝐵′=38°最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果 【详解】
解：如图连接𝐶𝐵′
∵点B关于直线CD的对称点为𝐵′ ∴𝐶𝐵=𝐶𝐵′𝐷𝐵=𝐷𝐵′ ∵𝐶𝐷=𝐶𝐷 ∴△𝐷𝐶𝐵≅△𝐷𝐶𝐵′
∴∠𝐵′=∠𝐵=38°∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐵′ ∵𝐵′𝐷//𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐶𝐵′=∠𝐵′=38°
∵𝐴𝐶=𝐵𝐶 ∴∠𝐴=∠𝐵=38°
∴∠𝐴𝐶𝐵=180°−2∠𝐵=104°
∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐵′+∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐵′=∠𝐴𝐶𝐵′+2∠𝐷𝐶𝐵=104° ∴2∠𝐷𝐶𝐵=104°−∠𝐴𝐶𝐵′=66° ∴∠𝐷𝐶𝐵=33° 故答案为：33° 【点睛】
本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键
16.如图正方形ABCD的边长为4点E是边BC上一点且𝐵𝐸=3以点A为圆心3为半径的圆分别交AB、AD于点F、GDF与AE交于点H并与⊙𝐴交于点K连结HG、CH给出下列四个结论（1）H是FK的中点（2）△𝐻𝐺𝐷≌△𝐻𝐸𝐶（3）𝑆△𝐴𝐻𝐺：𝑆△𝐷𝐻𝐶=9∶16（4）𝐷𝐾=其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）
57
【答案】（1）（3）（4） 【分析】
由正方形的性质可证明△𝐷𝐴𝐹≌△𝐴𝐵𝐸则可推出∠𝐴𝐻𝐹=90°利用垂径定理即可证明结论（1）正确过点H作𝑀𝑁//𝐴𝐵交BC于N交AD于M由三角形面积计算公式
求出𝐴𝐻=
125
再利用矩形的判定与性质证得𝑀𝐺=𝑁𝐸并根据相似三角形的判定与性
4825
质分别求出𝑀𝐻=
𝑁𝐻=
5225
则最后利用锐角三角函数证明∠𝑀𝐺𝐻≠∠𝐻𝐸𝑁即可
3625
证明结论（2）错误根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得𝐴𝑀=即可证
明结论（3）正确利用（1）所得结论𝐷𝐾=𝐷𝐹−2𝐹𝐻并由勾股定理求出FH再求得
DK即可证明结论（4）正确
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=4∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐵𝐸=90° 又∵𝐴𝐹=𝐵𝐸=3 ∴△𝐷𝐴𝐹≌△𝐴𝐵𝐸 ∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐵𝐸𝐴 ∵∠𝐵𝐸𝐴+∠𝐵𝐴𝐸=90° ∴∠𝐴𝐹𝐷+∠𝐵𝐴𝐸=90° ∴∠𝐴𝐻𝐹=90° ∴𝐴𝐻⊥𝐹𝐾 ∴𝐹𝐻=𝐾𝐻
即H是FK的中点故结论（1）正确
（2）过点H作𝑀𝑁//𝐴𝐵交BC于N交AD于M
由（1）得𝐴𝐻⊥𝐹𝐾则𝐴𝐷⋅𝐴𝐹=𝐷𝐹⋅𝐴𝐻
2
2
11
∵𝐷𝐹=√𝐴𝐹2+𝐴𝐷2=5 ∴𝐴𝐻=
125
∵四边形ABCD是正方形𝑀𝑁//𝐴𝐵 ∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝑀𝑁=90° ∴四边形ABNM是矩形 ∴𝑀𝑁=𝐴𝐵=4𝐴𝑀=𝐵𝑁 ∵𝐴𝐺=𝐵𝐸
∴𝐴𝐺−𝐴𝑀=𝐵𝐸−𝐵𝑁 即𝑀𝐺=𝑁𝐸 ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶 ∴∠𝑀𝐴𝐻=∠𝐴𝐸𝐵 ∵∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝑀𝑁=90° ∴△𝑀𝐴𝐻∼△𝐵𝐸𝐴 ∴即
𝐴𝐻𝐴𝐸
125==
𝑀𝐻𝐴𝐵𝑀𝐻4
5
4825
解得𝑀𝐻= 5225
则𝑁𝐻=4−𝑀𝐻=∵tan∠𝑀𝐺𝐻=
𝑀𝐻𝑀𝐺
𝑁𝐻𝑁𝐸
tan∠𝐻𝐸𝑁=
∵𝑀𝐺=𝑁𝐸𝑀𝐻≠𝑁𝐻 ∴
𝑀𝐺𝑀𝐻
≠
𝑁𝐸𝑁𝐻
∴∠𝑀𝐺𝐻≠∠𝐻𝐸𝑁 ∴∠𝐷𝐺𝐻≠∠𝐶𝐸𝐻
∴△𝐻𝐺𝐷与△𝐻𝐸𝐶不全等故结论（2）错误
（3）∵△𝑀𝐴𝐻∼△𝐵𝐸𝐴 ∴即
𝐴𝐻𝐴𝐸
125==
𝐴𝑀𝐵𝐸𝐴𝑀3
5
3625
解得𝐴𝑀= 12
12
由（2）得𝑆△𝐴𝐻𝐺=𝑀𝐻⋅𝐴𝐺𝑆△𝐷𝐻𝐶=𝐷𝐶⋅(𝐴𝐷−𝐴𝑀) ∴
𝑆△𝐴𝐻𝐺𝑆△𝐷𝐻𝐶
=
𝑀𝐻⋅𝐴𝐺𝐷𝐶⋅(𝐴𝐷−𝐴𝑀)
=
48×325364×(4−)25=
9
16
故结论（3）正确
（4）由（1）得H是FK的中点 ∴𝐷𝐾=𝐷𝐹−2𝐹𝐻
由勾股定理得𝐹𝐻=√𝐴𝐹2−𝐴𝐻2=√32−()2= 5
5
12
9
∴𝐷𝐾=5−2×=故结论（4）正确
5
5
97
故答案为：（1）（3）（4） 【点睛】
本题考查了正方形的综合问题掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键 三、解答题(共 36 分) 𝑦=𝑥−4
17.解方程组{
𝑥+𝑦=6𝑥=5
【答案】{
𝑦=1【分析】
利用代入消元法求解方程即可 【详解】 解：{
𝑦=𝑥−4 ①
𝑥+𝑦=6②把①代入②得
𝑥+(𝑥−4)=6
解得𝑥=5
把𝑥=5代入①得𝑦=1 𝑥=5
所以方程组的解为：{
𝑦=1【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的解法仔细观察二元一次方程组的特点灵活选用代入法或加减法是解题关键
18.如图点E、F在线段BC上𝐴𝐵//𝐶𝐷∠𝐴=∠𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐹证明：𝐴𝐸=𝐷𝐹
【答案】见解析 【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF即可得到结论 【详解】 证明：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷 ∴∠B=∠C
∵∠𝐴=∠𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐹 ∴△ABE≌△DCF（AAS） ∴𝐴𝐸=𝐷𝐹 【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质熟记全等三角形的判定定理是解题的关键
19.已知𝐴=(−)⋅
𝑛𝑚（1）化简A
𝑚𝑛
√3𝑚𝑛 𝑚−𝑛
（2）若𝑚+𝑛−2√3=0求A的值 【答案】（1）√3(𝑚+𝑛)（2）6 【分析】
（1）先通分合并后因式分解然后约分化简即可
（2）先把式子移项求𝑚+𝑛=2√3然后整体代入进行二次根式乘法运算即可 【详解】 解：（1）𝐴=(
𝑚2𝑚𝑛
−
)⋅𝑛𝑚
𝑛2
√3𝑚𝑛𝑚−𝑛
=
(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)
𝑚𝑛
⋅
√3𝑚𝑛𝑚−𝑛
=√3(𝑚+𝑛)
（2）∵𝑚+𝑛−2√3=0 ∴𝑚+𝑛=2√3
∴𝐴=√3(𝑚+𝑛)=√3×2√3=6 【点睛】
本题考查分式化简计算会通分因式分解与约分二次根式的乘法运算掌握分式化简计算会通分因式分解与约分二次根式的乘法运算是解题关键
20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数随机调查了该年级20名学生统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：35363445245613554424 根据以上数据得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的𝑎=________𝑏=________
（2）在这次调查中参加志愿者活动的次数的众数为________中位数为________
（3）若该校初三年级共有300名学生根据调查统计结果估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数 【答案】（1）45（2）4次4次（3）90人 【分析】
（1）观察所给数据即可得到ab的值 （2）根据众数和中位数的概念求解即可
（3）用300乘以样本中参加志愿者活动的次数为4次的百分比即可得到结论 【详解】
解：（1）根据所给数据可知参加3次志愿活动的有4人参加5次志愿活动的有5人
所以a=4b=5 故答案为：45 （2）完成表格如下 次数 人数
由表格知参加4次志愿活动的的人数最多为6人 ∴众数是4次
20个数据中最中间的数据是第1011个即44 ∴中位数为
4+42
1 1 2 2 3 4 4 6 5 5 6 2 =4（次）
故答案为：4次4次
（3）20人中参加4次志愿活动的有6人所占百分比为所以
620
×100%=30%
∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为：300×30%=90（人）
答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人 【点睛】
本题考查众数、中位数、用样本估计总体解答本题的关键是明确题意利用数形结合的思想解答
21.民生无小事枝叶总关情广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次 （2）“粤菜师傅”工程开展以来已累计带动33.6万人次创业就业据报道经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升已知李某去年的年工资收入为9.6万元预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30% 【分析】
（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可
（2）设李某的年工资收入增长率为y根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可 【详解】
解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次根据题意得 𝑥+2𝑥+31=100 解得𝑥=23
答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次 （2）设李某的年工资收入增长率为y根据题意得 9.6(1+𝑦)≥12.48 解得𝑦≥0.3
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30% 【点睛】
此题主要考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用准确找出题目中的数量关系是解答此题的关键
22.如图在四边形ABCD中∠𝐴𝐵𝐶=90°点E是AC的中点且𝐴𝐶=𝐴𝐷
（1）尺规作图：作∠𝐶𝐴𝐷的平分线AF交CD于点F连结EF、BF（保留作图痕迹不写作法）
（2）在（1）所作的图中若∠𝐵𝐴𝐷=45°且∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐵𝐴𝐶证明：△𝐵𝐸𝐹为等边三角形
【答案】（1）图见解析（2）证明见解析 【分析】
（1）根据基本作图—角平分线作法作出∠𝐶𝐴𝐷的平分线AF即可解答 （2）根据直角三角形斜边中线性质得到𝐵𝐸=𝐴𝐶并求出∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶+
21
∠𝐴𝐵𝐸=30°再根据等腰三角形三线合一性质得出𝐶𝐹=𝐷𝐹从而得到EF为中位线
进而可证𝐵𝐸=𝐸𝐹∠𝐵𝐸𝐹=60°从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论 【详解】
解：（1）如图AF平分∠𝐶𝐴𝐷
（2）∵∠𝐵𝐴𝐷=45°且∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐵𝐴𝐶 ∴∠𝐶𝐴𝐷=30°∠𝐵𝐴𝐶=15° ∵𝐴𝐸=𝐸𝐶∠𝐴𝐵𝐶=90° ∴𝐵𝐸=𝐴𝐸=𝐴𝐶
21
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝐶=15°
∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐸=30° 又∵AF平分∠𝐶𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐷 ∴𝐶𝐹=𝐷𝐹 又∵𝐴𝐸=𝐸𝐶
∴𝐸𝐹=𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐸𝐹//𝐴𝐷
2
2
1
1
∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐶𝐴𝐷=30°
∴∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐶𝐸𝐹=60° 又∵𝐵𝐸=𝐸𝐹=𝐴𝐶
21
∴△𝐵𝐸𝐹为等边三角形 【点睛】
本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理
23.如图在平面直角坐标系xOy中直线𝑙:𝑦=𝑥+4分别与x轴y轴相交于A、B两
21
点点𝑃(𝑥,𝑦)为直线𝑙在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标
（2）设△𝑃𝐴𝑂的面积为S求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围 （3）作△𝑃𝐴𝑂的外接圆⊙𝐶延长PC交⊙𝐶于点Q当△𝑃𝑂𝑄的面积最小时求⊙𝐶的半径
【答案】（1）A（-80）B（04）（2）𝑆=2𝑥+16-8＜𝑥＜0（3）4 【分析】
（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标 （2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果
（3）根据圆周角性质可得∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑃𝑄𝑂∠𝑃𝑂𝑄=90°由等角的三角函数关系可推出tan∠𝑃𝐴𝑂=
12
12
𝑂𝐵𝑂𝐴
==tan∠𝑃𝑄𝑂=
2
1𝑂𝑃𝑂𝑄
再根据三角形面积公式得𝑆△𝑃𝑂𝑄=
𝑂𝑃⋅𝑂𝑄=⋅𝑚⋅2𝑚=𝑚2由此得结论当𝑚最小时△𝑃𝑂𝑄的面积最小最后利用圆的
性质可得𝑚有最小值且𝑂𝐴为⊙𝐶的直径进而求得结果 【详解】
解：（1）当𝑦=0时0=𝑥+4解得𝑥=−8
21
∴A（-80）
当𝑥=0时𝑦=×0+4=4
21
∴B（04） （2）∵A（-8,0） ∴𝑂𝐴=8
点P在直线𝑙:𝑦=𝑥+4上
21
∴𝑦𝑃=𝑥+4
2
1
∴𝑆△𝑃𝐴𝑂=𝑂𝐴⋅𝑦𝑃=×8×(𝑥+4)=2𝑥+16
2
2
2
111
∵点P在第二象限 ∴𝑥+4＞0且𝑥＜0
21
解得-8＜𝑥＜0 （3）∵B（04） ∴𝑂𝐵=4
∵⊙𝐶为△𝑃𝐴𝑂的外接圆 ∴∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑃𝑄𝑂∠𝑃𝑂𝑄=90° ∴tan∠𝑃𝐴𝑂=
𝑂𝐵𝑂𝐴
==tan∠𝑃𝑄𝑂=
2
1𝑂𝑃𝑂𝑄
设𝑂𝑃=𝑚则𝑂𝑄=2𝑚
∴𝑆△𝑃𝑂𝑄=𝑂𝑃⋅𝑂𝑄=⋅𝑚⋅2𝑚=𝑚2
2
2
1
1
∴当𝑚最小时△𝑃𝑂𝑄的面积最小
∴当𝑂𝑃⊥𝐴𝐵时𝑚有最小值且𝑂𝐴为⊙𝐶的直径 ∴𝑟=𝑂𝐴=4
21
即⊙𝐶的半径为4 【点睛】
本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识熟练掌握一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键 24.已知抛物线𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3 （1）当𝑚=0时请判断点（24）是否在该抛物线上
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动当顶点移动到最高处时求该抛物线的顶点坐标
（3）已知点𝐸(−1,−1)、𝐹(3,7)若该抛物线与线段EF只有一个交点求该抛物线顶点横坐标的取值范围
【答案】（1）不在（2）（25）（3）x顶点 <−或x顶点>或x顶点=1
2
2
1
3
【分析】
（1）先求出函数关系式再把（24）代入进行判断即可
（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标最大值即为顶点最高点的纵坐标代入求解即可
（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式代入二次函数解析式求出交点坐标再根据题意分类讨论求出m的值即可 【详解】
解：（1）把m=0代入𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3得
𝑦=𝑥2−𝑥+3
当x=2时𝑦=22−2+3=5≠4 所以点（24）不在该抛物线上 （2）𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3 =(𝑥−
𝑚+12
)2
+2𝑚+3−
(𝑚+1)2
4
∴抛物线𝑦=𝑥−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3的顶点坐标为（∴纵坐标为2𝑚+3−令𝑦=2𝑚+3−∵−<0
41
4
(𝑚+1)2
4
2
𝑚+12
2𝑚+3−
(𝑚+1)2
4
）
14
(𝑚+1)2
=−(𝑚−3)2+5
∴抛物线有最高点 ∴当m=3时𝑦=2𝑚+3−
(𝑚+1)2
4
有最大值
将m=3代入顶点坐标得（25） （3）∵E（-1-1）F（37） 设直线EF的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏 把点E点F的坐标代入得{解得{
𝑘=2
𝑏=1
−𝑘+𝑏=−1
3𝑘+𝑏=7
∴直线EF的解析式为𝑦=2𝑥+1
将𝑦=2𝑥+1代入𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3得
𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3=2𝑥+1
整理得：𝑥2−(𝑚+3)𝑥+2𝑚+2=0 解得𝑥1=2,𝑥2=𝑚+1 则交点为：（25）和（m+12m+3） 而（25）在线段EF上
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点则（m+12m+3）不在线段EF上或（25）与（m+12m+3）重合
∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5） ∴此时抛物线顶点横坐标x顶点=【点睛】
本题考查了二次函数的图象及性质解题关键是注意数形结合思想的运用
𝑚+12
<−或x顶点=
2
1𝑚+12
>或x顶点=
2
3𝑚+12
=1
25.如图在菱形ABCD中∠𝐷𝐴𝐵=60°𝐴𝐵=2点E为边AB上一个动点延长BA到点
F使𝐴𝐹=𝐴𝐸且CF、DE相交于点G
（1）当点E运动到AB中点时证明：四边形DFEC是平行四边形 （2）当𝐶𝐺=2时求AE的长
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时求点G运动路径的长度 【答案】（1）见解析（2）（3）√7 33【分析】
（1）根据E为AB中点可得𝐸𝐹=𝐴𝐵再由菱形的性质推出CD∥AB𝐶𝐷=𝐴𝐵则𝐸𝐹=𝐶𝐷即可证明结论
（2）过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H利用菱形及直角三角形的性质可求出𝐵𝐻=𝐵𝐶=1并由勾股定理求得𝐶𝐻=√𝐵𝐶2−𝐵𝐻2=√3再根据相似三角形的判21
4
2
定及性质可证得𝐸𝐹=𝐹𝐺设𝐴𝐸=𝑥则𝐸𝐹=2𝑥可表示出𝐹𝐻=3+𝑥𝐶𝐹=2+2𝑥即可由𝐶𝐻2+𝐹𝐻2=𝐶𝐹2建立关于x的方程求解后可得出AE的长
（3）连接AG并延长交CD于点M连接BD交AM于点N并连接BM首先由菱形的性质得出△ABD为等边三角形则𝐵𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐶再由CD∥AB得△𝐴𝐹𝐺∼△𝑀𝐶𝐺△𝐴𝐸𝐺∼△𝑀𝐷𝐺由此可证得
𝐴𝐹𝑀𝐶
=
𝐴𝐸𝑀𝐷
再结合𝐴𝐸=𝐴𝐹得出𝑀𝐶=𝑀𝐷=1则由等腰三角形性质
推出𝐵𝑀⊥𝐶𝐷并分别求出𝐵𝑀=√3𝐴𝑀=√𝐴𝑀2+𝐵𝑀2=√7最后根据题意可得点G运动路径的长度为线段AN的长由平行线分线段成比例性质可得出𝐴𝑁=2𝑀𝑁此题得解 【详解】
（1）证明：∵E为AB中点 ∴𝐴𝐹=𝐴𝐸=𝐴𝐵
21
∴𝐸𝐹=𝐴𝐵
∵四边形ABCD是菱形 ∴CD∥AB𝐶𝐷=𝐴𝐵 ∴𝐸𝐹=𝐶𝐷
∴四边形DFEC是平行四边形
（2）解：如图过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H
∵四边形ABCD是菱形𝐴𝐵=2 ∴AD∥BC𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=2 ∴∠𝐶𝐵𝐻=∠𝐷𝐴𝐵=60° ∴∠𝐵𝐶𝐻=30° ∴𝐵𝐻=𝐵𝐶=1
21
则由勾股定理得𝐶𝐻=√𝐵𝐶2−𝐵𝐻2=√3 ∵CD∥AB
∴△CDG∽△FEG ∴
𝐶𝐷𝐸𝐹
=
𝐶𝐺𝐹𝐺
∵𝐶𝐷=𝐶𝐺=2 ∴𝐸𝐹=𝐹𝐺 设𝐴𝐸=𝑥则𝐸𝐹=2𝑥 ∴𝐹𝐻=3+𝑥𝐶𝐹=2+2𝑥
在Rt△CFH中由勾股定理得：𝐶𝐻2+𝐹𝐻2=𝐶𝐹2 ∴(√3)2+(3+𝑥)2=(2+2𝑥)2 解得𝑥1=𝑥2=−2（不合题意舍去）
34
∴AE的长为 3
4
（3）如图连接AG并延长交CD于点M连接BD交AM于点N并连接BM
∵四边形ABCD是菱形∠𝐷𝐴𝐵=60° ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐴𝐵=60° ∴△ABD为等边三角形 同理可证：△BCD为等边三角形 ∴𝐵𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐶 ∵CD∥AB
∴△𝐴𝐹𝐺∼△𝑀𝐶𝐺△𝐴𝐸𝐺∼△𝑀𝐷𝐺 ∴∴
𝐴𝐹𝑀𝐶𝐴𝐹𝑀𝐶
==
𝐴𝐺𝐴𝐺𝑀𝐺𝑀𝐺𝐴𝐸𝑀𝐷
=
𝐴𝐸𝑀𝐷
∵𝐴𝐸=𝐴𝐹
∴𝑀𝐶=𝑀𝐷=𝐶𝐷=1
2
1
∴𝐵𝑀⊥𝐶𝐷
则由勾股定理得：𝐵𝑀=√𝐵𝐶2−𝐶𝑀2=√3 𝐴𝑀=√𝐴𝑀2+𝐵𝑀2=√7 当点E从A出发运动到点B时点G始终在直线AM上运动运动轨迹为线段 当点E与A重合时点G与点A重合 当点E与B重合时点G为BD与AM 的交点N ∴点G运动路径的长度为线段AN的长 ∵CD∥AB ∴
𝐴𝑁𝑀𝑁
=
𝐴𝐵𝑀𝐷
∴𝐴𝑁=2𝑀𝑁
∴点G运动路径的长度为𝐴𝑁=𝐴𝑀=√7 33【点睛】
此题属于四边形的综合问题考查了菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质等知识点熟练掌握所学知识并灵活运用所学知识是解题的关键
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