汝州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

汝州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若双曲线A．

B．

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）

D．2

（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 B．

C．

D．

，则双曲线的离心率为（ ）

C．

2． 已知双曲线 A．

3． 已知函数f(x)3sinxcosx(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于

，则f(x)的一条对称轴是（ ）

A．x B．x C．x D．x

121266

4． 两个随机变量x，y的取值表为

x y A．x与y是正相关

B．当y的估计值为8.3时，x＝6 C．随机误差e的均值为0

D．样本点（3，4.8）的残差为0.65

5． 已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6． 已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则logA．﹣ B．﹣5 C．5 7． 若A．C．

D．

（a5+a7+a9）的值是（ ）

0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ^

若x，y具有线性相关关系，且y＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）

，则下列不等式一定成立的是（ ） B．

D．

8． 已知三棱锥SABC外接球的表面积为32，ABC90，三棱锥SABC的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）

0第 1 页，共 17 页

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A．4 B．42 C．8 D．47

9． 若方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）

2

2

A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞）

10．“x≠0”是“x＞0”是的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知△ABC中，a=1，b=A．150° （ ）

B．90°

D．（0，1）

，B=45°，则角A等于（ ）

C．60°

D．30°

12．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为

（A） 8

（ B ） 4

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（C）

8 34 3二、填空题

（D）

13．设x，y满足约束条件

，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是 ．

14．已知过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且

ABBCCA2，则

球表面积是_________.

15．

如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当

2

2

四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．

16．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．

2x17．当x时，函数fxe1的图象不在函数g(x)xax的下方，则实数a的取值范围是（0,1）___________．

【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．

18．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：

①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为

，则动点P的轨迹所在曲线是圆；

③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；

④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．

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其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题

19．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex． （1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；

23

（3）当m=0时，求证：f（x）≥x+x．

（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；

20．在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣（1）求证：数列{bn}为等差数列； （2）设cn=bn+1•（）（3）证明：1+

+

，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn； +…+

≤2

﹣1（n∈N）

*

，bn=

，其中n∈N．

*

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21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；

（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．

22．已知等差数列{an}中，其前n项和Sn=n2+c（其中c为常数）， （1）求{an}的通项公式；

（2）设b1=1，{an+bn}是公比为a2等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．

23．已知椭圆（Ⅰ）求椭圆

的方程；

交于

、

两点，且线段

的垂直平分线经过点

的离心率

，且点

在椭圆上．

（Ⅱ）直线与椭圆面积的最大值．

．求（为坐标原点)

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24．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图

2．

（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；

（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值； （Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．

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汝州市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，

22

圆（x﹣2）+y=2的圆心（2，0），半径为

，

双曲线可得：

﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，

， a，

22

可得a=b，c=

e==．

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．

2． 【答案】A 【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， ∴设双曲线的方程为

，（a＞0，b＞0）

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x， 得=，设b=4t，a=3t，则c=∴该双曲线的离心率是e==． 故选A．

=5t（t＞0）

【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．

3． 【答案】D 【解析】

试题分析：由已知f(x)2sin(x6)，T，所以22，则f(x)2sin(2x)，令 6k,kZ，可知D正确．故选D．

6226考点：三角函数f(x)Asin(x)的对称性． 2xk,kZ，得x第 7 页，共 17 页

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4． 【答案】

^^

【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y＝bx＋2.6得b＝0.95，即y＝0.95x＋

^

2.6，当y＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差e的均值为0，∴C正确．样

^

本点（3，4.8）的残差e＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D. 5． 【答案】B

2

【解析】解：抛物线y=4x的准线方程为：x=﹣1， ∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2， ∴|PF|=2+1=3． 故选：B．

【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．

6． 【答案】B

*

【解析】解：∵数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N）， ∴an+1=3an＞0，

∴数列{an}是等比数列，公比q=3． 又a2+a4+a6=9， ∴则log

=a5+a7+a9=33×9=35，

（a5+a7+a9）=

=﹣5．

故选；B．

7． 【答案】D 【解析】

因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数故选D

答案：D

8． 【答案】A 【解析】

为减函数且

，所以

，排除B，

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考

点:三视图．

【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 9． 【答案】D

22

【解析】解：∵方程x+ky=2，即

表示焦点在y轴上的椭圆

∴故0＜k＜1

故选D．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．

10．【答案】B

【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．

11．【答案】D 【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30° 故选D．

=

，B=45°

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【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．

12．【答案】A

【解析】

1根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于2232238

3二、填空题

13．【答案】 ﹣6 ．

【解析】解：由约束条件

，得可行域如图，

使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4）， ∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6． 故答案为：﹣6．

14．【答案】【解析】111]

64 9考点：球的体积和表面积.

【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档

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试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 15．【答案】

【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9. 圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，

∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2PC2－AC2＋2AC＝2

PC2－9＋6.

当PC最小时，四边形PACB的周长最小． 此时PC⊥l.

∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，

x＋y－5＝0由，解得点P的坐标为（4，1）， x－y－3＝0

由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，

119

∴S△ABC＝AC·BC＝×3×3＝. 222

9

即△ABC的面积为. 2

9答案： 216．【答案】﹣2

≤a≤2

2

【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2

2

≤a≤2．

故答案为：﹣2≤a≤2

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

17．【答案】[2e,)

1x2ex1x2ex（0,1）【解析】由题意，知当x时，不等式e1xax，即a恒成立．令hx，

xxx2第 11 页，共 17 页

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h'xx1x1exx2．令kxx1ex，k'x1ex．∵x0,1，∴k'x1ex0,∴kx在x0,1为递减，∴kxk00，∴h'xx1x1exx20，∴hx在x0,1为递增，∴

hxh12e，则a2e．

18．【答案】 ①②④

【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确； 对于②，满足到点A的距离为②正确；

对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，

又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF， 设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．

22

，即x﹣y=1，

的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

三、解答题

19．【答案】

2x2

【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x+mx+m）e=0，所以x+mx+m=0． 因为函数f（x）没有零点，所以△=m﹣4m＜0，所以0＜m＜4．

2

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x2xx

（2）f'（x）=（2x+m）e+（x+mx+m）e=（x+2）（x+m）e，

令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m， 当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表： x

（﹣∞，﹣m） ﹣m （﹣m，﹣2） ﹣2

0

﹣

m

（﹣2，+∞） +

0 ↘

f'（x） + f（x） ↗

me﹣m 2

（4﹣m）e﹣ ↗

当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣． 所以f（x）无极大值．

2x

当m=2时，f'（x）=（x+2）e≥0，f（x）在R上为增函数，

当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：

x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，﹣m） ﹣m （﹣m，+∞） f'（x） + f（x） ↗

0

﹣

2

0 ↘

+ me﹣m

↗

2

（4﹣m）e﹣

当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣， 所以

2xxx

（3）当m=0时，f（x）=xe，令ϕ（x）=e﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e﹣1，

当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数， 所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．

2x2323

因此xe≥x+x，即f（x）≥x+x．

xx

所以φ（x）≥φ（0）=0，e﹣1﹣x≥0，所以e≥1+x，

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．

20．【答案】

【解析】（1）证明：bn+1﹣bn=等差数列，首项为1，公差为1． （2）解：由（1）可得：bn=n． cn=bn+1•（）

=（n+1）

． +3×

+

+…+（n+1）

．

﹣

=

﹣=1，又b1=1．∴数列{bn}为

∴数列{cn}的前n项和为Tn=

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=+3×+…+n+（n+1），

∴Tn=

+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），

可得Tn=﹣（3）证明：1+∵∴1+∴1+

=++＜+…++…+

+

． +…+=2≤1+2[（

≤2

﹣1）+（﹣1（n∈N）．

*

≤2﹣1（n∈N）即为：1+

*++…+≤﹣1．

（k=2，3，…）．

）+…+（

﹣

）]=1+2

=2

﹣1．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=﹣a=

，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1， ∵f（）＞2a﹣2， ∴lna+a﹣1＜0，

令g（a）=lna+a﹣1， ∴当0＜a＜1时，g（a）＜0， 当a＞1时，g（a）＞0， ∴a的取值范围为（0，1）．

∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，

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【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 分） 分）

（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣（8分） ∴

∴分）

因为等差数列{an}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4∴a1=1，d=2，an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12

【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．

23．【答案】

【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】（Ⅰ）由已知 点

在椭圆上，

，时，

的垂直平分线过点

当且仅当当直线

的斜率

时， 设

时，

．

,

的斜率存在．

，解得

，

．

所求椭圆方程为(Ⅱ)设当直线

，的斜率

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消去

由

．

得：

①

， ，

的中点为

由直线的垂直关系有，化简得 ②

由①②得又

到直线

的距离为

，

时，

由即综上：24．【答案】 【解析】

，时，

；

，解得

；

．

；

【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，即可证明DE⊥平面A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为

，利用

，BE与平

面所成角的正弦值为．

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（Ⅲ）设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，利用

=

（0＜x＜6），即可得出．

【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE， ∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC， 又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC， ∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，

∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．

（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0）， E（2，0，0）． 则，， 设平面A1BC的法向量为则

，解得

，即

则BE与平面所成角的正弦值为

（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0）， ∴==（0＜x＜6）， 即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为

．

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