基本不等式 教学设计

一、教学内容解析

《基本不等式》是《普通高中教科书·数学 必修第一册》（以下统称为“教

材”）第二章第二节内容，属于单元教学课. 之前学生已经学习了等式与不等式性

质以及重要不等式𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏的相关内容，对于两个数的大小关系的研究思路有一定的了解，对于学生而言，本节课是在学习了不等式性质的基础之上，展开的对一种具体不等式——基本不等式的研究. 从数与运算的角度，

ab是两2个正数a，b的“算术平均数”，√ab是两个正数a，b的“几何平均数”，因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算.从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“圆中的弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解.所以本节课是对相等与不等关系的进一步探索，又为之后学习函数的最值打下了基础，在知识体系中起着承上启下的作用．

“基本不等式”教学内容主要为：基本不等式的定义、证明方法、几何解释与应用. 将这些内容融合在一节课中，就需要抓住本节课的主线，从整体上去研究这节课. 具体体现为借助已有经验，从“研究两个数大小关系”的基本问题出发，构建研究问题的基本方法，得出结论。让学生完整的经历“问题情境—特殊值猜想—一般性证明—实际应用”的过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习．

基本不等式的教学重点为：基本不等式的定义、证明方法、几何解释、用基本不等式解决简单的最值问题．

二、教学目标设置

1. 理解基本不等式√𝑎𝑏≤

𝑎+𝑏2

(𝑎>0,𝑏>0)，发展逻辑推理素养；

2. 结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养．

达成上述目标的标志：

1. 知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；

2. 会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义；

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3. 能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；

4.能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值，在解决具体问题的过程中，感受从特殊到一般、转化与化归、数形结合的数学思想方法．

三、学生学情分析

在知识结构上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数与式的大小比较，也具备一定的平面几何的基本知识.本节内容在复习、巩固不等式性质和重要不等式的前提下学习基本不等式，这为学生研究“基本不等式”提供了理论基础和探究方向．

在能力水平上，由于基本不等式放在了必修一的第二章，刚进入高中的学生们缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.其次，基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现．

因此，本节课的教学难点是：基本不等式的证明和利用基本不等式求最值．

四、教学策略分析

基于以上的教学重难点，在本节的教学中，应特别注意从学生的最近发展区设置问题，通过合作探究的学习方式，充分发挥学生的主体地位，培养学生的数学素养．

1. 创设恰当的问题情境

以具体情境中的“研究两数大小关系”出发，让学生感受算术平均数和几何平均数的生成，先大胆猜想二者大小关系，在猜想过程中会出现“特殊值尝试”和“一般性证明”的认知冲突，借助小组探究的方式，让学生体验基本不等式的验证过程，感受从特殊到一般的数学思想方法．

2. 抓住研究问题的“主线”展开

为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综合素质，本节课主要采用探究式教学方法．教师通过设置情境，引导学生进行大胆猜想→讨论探究→小

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心求证→实际应用→归纳总结，沿着研究问题的“主线”展开，充分发挥学生的主体地位．本节课的容量大，随着探究和应用的进行，要不断的加深学生对基本不等式结构特点的认识，逐步体会模型的应用价值．

3. 遵循学生的认知规律设置问题

在基本不等式的三种语言的表述上，利用创设情境和GGB动态图像演示，让学生们从特殊到一般，大胆猜想不等关系，探究给出代数证明，数形结合给出几何直观，让学生们探究其几何意义；在基本不等式成立的三个条件的教学中，由例1设计“问题串”引导学生发现三个条件，即“一正，二定，三相等”；从特殊到一般，引出例2的一般证明，提炼出两种最值模型的作用；再通过例3中的实际应用，体会在具体情境中抽象出数学模型，并利用基本不等式解题的一般步骤；在课后思考中，提供学生思维的拓展训练与阅读延伸．

4. 坚持以学生为中心提供参与机会

本节课给学生提供以下4种机会：（1）提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳；（2）提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题；（3）提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说；（4）提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．

五、教学过程设计

1. 复习回顾，奠定基础

问题1：上节课我们学习了等式与不等式的基本性质，请同学们回忆以下两个内容：

（1）两个实数比较大小的基本事实； （2）重要不等式.

【设计意图】通过回顾旧知识，奠定本节课“比较两数大小关系”的探究基础，对问题的研究提供了先行条件.

2. 创设情境，合作探究

问题2：我们知道，平均数是刻画数据特征的一项重要指标.今天，我们就通过一个“化矩为方”的问题，探究两个正数两种平均数的大小关系. 【引例】已知矩形长和宽分别为a,b，求做一个正方形： （1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？

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（2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？

a

矩形 正方形

师生活动：计算引例中（1）（2）的边长分别为： （1）猜想二者有怎样的大小关系？ （2）合作探究尝试证明你的猜想.

【设计意图】通过熟悉的“比较两数大小关系”的问题切入新课，一方面学生明确两个平均数的背景；另一方面通过特殊值猜想和一般性证明，引发认知冲突，从而形成对基本不等式的证明方法的认识.

b 边长

x=?

3. 数形结合，深入探究

问题3：我们知道，数学中“数”与“形”是紧密联系的，那“基本不等式”是否也是某种几何关系的体现呢？

师生活动：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

【设计意图】通过对图形中几何量的分析，让学生在熟悉的情境中，找到

ab 和√ab对2应的几何量，进而找到基本不等式的几何解释，让学生体会数形结合的应用.

4. 例题剖析，构建模型

问题4：之前通过大胆猜想、小心求证，又探究了其几何解释，我们分别从“符号语言”、“文字语言”以及“图形语言”三个角度，全面的认识了基本不等式.

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那基本不等式又该如何应用呢？

师生活动：通过对例题的分析，以及“问题串”的设计，逐步引导学生探究基本不等式使用条件和模型的作用，以及其实际应用价值. 活动1：探究基本不等式的使用条件 师生活动：例1 . 已知x＞0，求x1的最小值. x追问1：本题中求最值的代数式有何特点？ 追问2：这里的“取等号”条件必须说明吗？

追问3：满足什么条件的代数式，才能利用基本不等式求最值？

【设计意图】从最简单的模型出发，解决学生心中的疑惑，同时让学生感受基本不等式在应用时，其模型的基本结构特点和条件的要求，也初步体会“最值”的概念,并为学生求解代数式最值问题提供了示范.

活动2：探究基本不等式模型的作用

师生活动：例2. 已知x、y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P． （2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 追问4：通过本题，你能说说基本不等式能帮助我们解决什么样的问题？

【设计意图】从特殊到一般，让学生体会基本不等式在结构上，是两个正数的“和”与“积”的基本关系，使得二者在具体问题中“知一求一”，即“知一定值，求一最值”，加深对其模型作用的理解，也为用基本不等式解决实际问题创造了条件.

14活动3：基本不等式实际应用．

师生活动：例3 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

【设计意图】本例是典型的较简单的能够用基本不等式求解的问题，通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，进一步发展学生的模型思想.

5. 回顾反思，思维拓展

小结：这节课，知识上我们学习了基本不等式的三种语言的表述，方法上我们学习了转化和化归以及数形结合的思想，我们还体会了对于一个新的数学发现，“大胆猜想，小心求证”的科学探索的态度.探索永无止境，希望同学们能将它

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落实到以后的学习之中． 课后思考：

（1）【引例】已知矩形长和宽分别为a,b，求作一个正方形：

（1）使其与已知矩形面积相等，则该正方形的边长是多少？ （2）使其与已知矩形周长相等，则该正方形的边长是多少？ （3）使其与已知矩形对角线长相等，则该正方形的边长是多少？ 【思考】计算（3），并思考着三个边长之间有怎样的大小关系呢？

（2）课后延展阅读

算术平均数 几何平均数

【设计意图】引导学生回顾本节课的学习内容和学习方法，要注意引导学生体会研究一个具体不等式的一般过程.课后思考题呼应了课前的引例，也是引导学生延展学习，课后的延伸阅读让学生去更多的了解两种平均数的形式和应用，拓展学生的思维.

六、板书设计 §2.2 基本不等式 一.基本不等式 例1. 1.代数证明： 2.几何解释： 例2. 3.使用条件： 4.作用： 多媒体演示

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七、教学反思

不等式对于高中学生来讲并不陌生，但基本不等式作为一个新的知识点，形式抽象，应用灵活，并且出现在必修一的预备知识中，这对刚刚进入高中的高一学生来讲，是有很大挑战的.教材上是由重要不等式换元的方式，得出基本不等式，并且用分析法给以证明，但这一切的过程，对学生来讲都比较“突然”.故在课前创设问题情境中，我查阅了“平均数的起源”，发现正是矩形化为正方形而生成的几何平均数，又查阅了相关的论文，才设计了本节课的课前“引例”——通过“化矩为方”问题比较“两种平均数的大小关系”.在问题中，让学生自行发现“算术平均数”和“几何平均数”，然后让学生大胆猜想，学生最容易想到的就是利用“离散”的特殊值尝试，故此处设计了老师对于“连续变化”的特殊值的直观的动图演示，探究其大小关系，引起学生对“特殊和一般”的认知冲突，让学生从一般证明方法去研究，能更好的接受此不等式的验证过程.

另外，在基本不等式的求最值问题中的“最值”，对于高一刚起步的学生来讲，这一概念还很模糊，对于基本不等式的使用条件也是要学生自己发现才有意义，故对例题设计了“问题串”，学生在问题中去寻找线索，在环环相扣的问题中，去逐步完善自己的知识结构，思维得到拓展，能力得到进一步提高.

最后，在小结部分的思考“通过本节课的学习，谈谈你有哪些收获？”让学生翻看自己的回忆，自行总结自己所得，学生的主体地位突显.以及对“课前引例中加入（3）的继续探索”以及“两种平均数”的课后延伸阅读，既能前后呼应，又能拓展所学，让学生体验逻辑思维的逐步延展，看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣，促进学生的自主发展，准备提升自己的能力.

当然，本节课在授课之后，我也认真地反思了自己的不足，一方面在“三种语言”的总结过程中，PPT在制作时有一点疏忽，将“半弦长”写成了“弦长”；另一方面，在例3的学生作答时，如果能用学生板书或者投影的方式展示，可能要比学生写读作答的方式效果更好，但时间有限，这里也是一个遗憾.

在今后的教学中，我会更重视教材的挖掘，更重视“基本活动经验”的积累与引导其激活，无论是在公开课还是在日常教学过程中，都应该把时间和自主探究的权利交还给学生，让学生获得自主发现的体验，感受“大胆猜想，小心求证”科学探索的精神，为学生进一步落实数学学科核心素养，我会始终保持一腔热忱，努力探索.

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