8.1 认识不等式
教学目标:
通过对具体实例的学习,使学生能够了解生活中的不等量关系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,为以后学习不等式的解法奠定基础。 知识与能力:
1.通过对具体事例的分析和探索,得到生活中不等量的关系。2.通过理解得到不等式的概念,从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程,体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系。
3.了解不等式的意义,知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的。 4.知道什么是不等式的解。 过程与方法:
1.引导学生分析具体事例,从对具体事例的分析中得到不等量关系。 2.引导并帮助学生列出不等式,分析不等式的成立条件。 3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念。
4.通过习题巩固和加深对概念的理解。 情感、态度与价值观:
1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系,从而培养其抽象思维能力。 2.通过分组讨论学习,体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性,培养学生的团体协作精神,使学生获得合作交流的学习方式。
3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育。
4.通过创设问题串,让学生仔细观察、对比、归纳、整理,尝试对有理数进行分类,体验教学活动充满着探索性和创造性。 教学重、难点及教学突破
重点: 不等式的概念和不等式的解的概念。 难点: 对文字表述的数量关系能列出不等式。
教学突破: 由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解,但还没有接触过含未知数的不等式,在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系,研究它们的变化规律,使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处。 在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识,让学生感受其中的函数思想,并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区别。在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识,准确“译出”不等式。 教学过程:
一. 研究问题:
世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗? 那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢 二. 新课探究:
分析上面的问题:设有x人要进世纪公园,①若x≥30,应该如何买票? ②若x<30, 则又该如何买票呢? 结论:至少要有多少人进公园时,买30张票才合算?
概括:1、不等式的定义:表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,<,≥,≤. 2、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 3、不等式的分类:⑴恒不等式:-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1. ⑵条件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5. 三、基础训练。
例1、用不等式表示: ⑴ a是正数;⑵ b不 是负数;⑶ c是非负数; ⑷ x 的平方是非负数;⑸ x的一半小于-1;⑹ y与4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代数式之间的不相等关系,与方程表示相等关系相对应;
⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词,弄清不等关系。
例2、用不等式表示: ⑴ a与1的和是正数;⑵ x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶ x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.
例3、当x=2时,不等式x-1<2成立吗?当x=3呢?当x=4呢? 注:⑴检验字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右两边,如果符合不等号所表示的关系,就成立,否则就不成立。 ⑵代入法是检验不等式的解的重要方法。
学生练习:课本P42练习1、2、3。 四、能力拓展
学校组织学生观看电影,某电影院票价每张12元,50人以上(含50人)的团体票可享受8折优惠,现有45名学生一起到电影院看电影,为享受8折优惠,必须按50人购团体票。
⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜;
⑵若学生到该电影院人数不足50人,应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜。 解:⑴按实际45人购票需付钱_________ 元,如果按50人购买团体票则需付钱50×12×80%=480元,所以购买团体票便宜。
⑵设有x人到电影院观看电影,当x_____时,按实际人数买票______张,需付款_______元,而按团体票购票需付款________元,如果买团体票合算,那么应有不等式________________, 由①得,当x=45时,上式成立,让我们再取一些数据试一试,将结果填入下表:
x 30 40 41 42 12x 比较480与12x的大小 48<12x成立吗? 由上表可见,至少要__________人时进电影院,购团体票才合算。 五、小结:⑴不等式的定义,不等式的解。
⑵对实际问题中探索得到的不等式的解,不仅要满足数学式子,而且要注意实际意义. 六、作业: 课本P42习题8.1第1、2、3题。 补充题:
1.用不等式表示:
11(1)a与1的和是正数; (2)x的与y的的差是非负数;
23(3)x的2倍与1的和大于3; (4)a的一半与4的差的绝对值不小于a. (5)x的2倍减去1不小于x与3的和; (6)a与b的平方和是非负数;
(7)y的2倍加上3的和大于-2且小于4; (8)a减去5的差的绝对值不大于
2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了168元,小张存了85元.下个月开始小李每月存16元,小张每月存25元.问几个月后小张的存款数能超过小李?(试根据题意列出不等式,并参照教科书中问题1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆,现需要调往A县10辆,调往B县8辆,已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元,从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元,(1)设从乙仓库调往A县农用车x辆,用含x的代数式表示总运费W元;(2)请你用尝试的方法,探求总运费不超过900元,共有几种调运方案?你能否求出总运费最低的调运方案.
8.2 解一元一次不等式 第1课时 不等式的解集
教学目标
本节在介绍不等式的基础上,介绍了不等式的解集并用数轴表示,介绍了解简单不等式的方法,让学
生进一步体会数形结合的作用。 知识与能力
1.使学生掌握不等式的解集的概念,以及什么是解不等式。
2.使学生育能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来,初步理解数形结合的思想。 过程与方法
1.通过回忆给学生介绍不等式的解集的概念。 2.教会学生怎样在数轴上表示不等式的解集。 情感、态度与价值观
1.通过反复的训练使学生认识到数轴的重要性,培养其数形结合的思想。
2.通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系,体验数学活动充满探索性与创造性。
教学重、难点及教学突破
重点 1.认识不等式的解集的概念。 2.将不等式的解集表示在数轴上。 难点 学生对不等式的解是一个集合可能会不太理解。 教学突破
由于受方程思想的影响,学生对不等式的解集的接受和理解可能会有一定的困难,教学时要注意结合简单的不等式和实际问题让学生体会不等式的解可以是一个集合,并组织学生讨论举例,加深理解。 另外,应在本节的过程中让学生能理解在数轴上表示不等式的解集,让他们熟悉数形结合的思想。 一、复习与练习
1、用不等式表示:
1与3的差是正数; (2)2x与1的和小于0;(3)a的2倍与4的差是正数; 21 (4)b的--与的和是负数; (5)a与b的差是非正数;(6)x的绝对值与1的和不小于1;
2 (1)x的
2、下列各数中,哪些是不等式x+2>5的解?哪些不是? --3,--2,--1,0,1.5, 3,3.5 ,5,7。 二、新课探究:
如图:请你在数轴上表示: (1) 小于3的正整数; (2) 不大于3的正整数; (3) 绝对值小于3大于1的整数; (4) 绝对值不小于--3的非正整数;
由复习(2)可知,大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解,而不大于3的每一个数都不是它的解。不等式x+2>5的解有无限多个,它们组成一个集合,称为不等式x+2>5的解集。不等式x+2>5的解集,可以表示成x>3,也可以在数轴上直观地表示出来,如图
0 1 2 3 4
概括:(1)、一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的。解集。 (2)、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 (3)、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来,但应注意不等号的类型,小于在左边,大于在右边。
当不等号为“>”“<”时用空心圆圈,当不等号为“”“”时用实心圆圈。
三、基础训练
例1、方程3x=6的解有 个,不等式3x<6的解有 个。
解 方程3x=6的解只有1个,即x=2。 不等式3x<6的解有无数个,其解为x<2,其中非负数整数解有
两个, 即x=0,x=1。
例2、判断题
(1)x=2是不等式4x<9的一个解; (2)x=2是不等式4x<9的解集; (3)不等式4x<9的解集是x<2; (3)不等式4x<9的解集是x<
9. 4解 (1)正确。因为当x用2代替时,不等式4x<9成立。
(2)错误。因为x=2仅仅是不等式4x<9的一个解,不能称为该不等式的解集。 (3)错误。因为解集x<2不是不等式4x<9的所有解的集合。 (4)正确。因为x<
9是不等式4x<9的所有的解组成的集合。 4例3、将下列不等式的解集在数轴上表示出来。 (1)x<2
11 (2)x2 (3)-1 学生练习:课本P44练习1、2、3 。 四、能力拓展 例4、适合不等式x30的非负整数是哪几个数?适合不等式x30的非正整数有哪几个?分别求出来. 例5、求出适合不等式2≤a≤5的整数(不等式的整数解),同时适合不等式2a5 的整数是哪几个? 学生练习 5x24x3的一个解. 232.下列各数:5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x57和2x20 的有哪几个 1.判断x1是否是不等式 数? 3.已知x数轴上表示不等式的解集时应注意不等号的类型。 六、作业 (一)、选择题: 1.给出下列不等式:76,aa,a1a,a0,a210其中成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3102.在2,3,4,0,1,,中,能使不等式x22x成立的有( ) 23A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,下列四个结论中错误的是( ) b a 0 11A.ab0 B.ab0 C.ab D. ab4.已知a0,1b0,则在a,ab,a2b,ab2中最大的是( ) A.ab2 B.ab C.a D.a2b 5.如果“a的3倍与9的和不小于15”,用不等式可表示为( ) A.3a915 B.3a915 C.3a9≥15 D.3a9≥15 6.当x=1时,下列不等式成立的是( ) A.x34 B.x21 C.x10 D.x10 7.若 x1,则下列关系正确的是( ) yA.xy B.xy0 C.xy D.xy0 (二)、“x3是不等式2x1x1的解”,这句话对吗?为什么? (三)、判断x13是否是不等式3x52x5的一个解. (四)、在数轴上表示下列不等式的解集. (1)x5 (2)x≤2 (3)x≥1 (4)x6 8.2 解一元一次不等式 第2课时 不等式的简单变形 教学目标 本节通过介绍不等式的变形,对解不等式作了理论上的准备,并引导学生体会不等式与方程的区别。 知识与能力 1.通过本节的学习让学生在自主探索的基础上,联系方程的基本变形得到不等式的基本性质。 2.启发学生在不的概念式的变形中分辨情况,正确应用。 3.教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式,并指导学生掌握基本方法。 4.在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系。 过程与方法 1.通过回顾一元一次方程的变形进入对不等式的变形的讨论。 2.通过具体的实例引导学生探索不等式的基本性质(加法性质)。 3.引导学生发现不等式变形与方程变形的联系,从而引导学生概括不等式另外的性质。 4.通过对不等式的性质的讨论,应用其解简单的不等式。 5.练习巩固,能将本节内容与上节内容联系起来。 情感、态度与价值观 1.通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力。 2.通过在教学中发挥学生的主体作用,加深在学习中“转化”思想的渗透。 3.通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用,培养其集体合作的精神。 教学重、难点及教学突破 重点 1.掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3。 2.对简单的不等式进行求解。 难点 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。 教学突破 由于这一节探索性较强,在这一节中要让学生自主探索或联系方程的基本变形进行归纳。在这一过程中关键是启发学生注意在不等式的变形中分辨情况,正确应用。 在探索简单不等式的解法时要注意不等式性质的应用,引导和鼓励学生自主探索一元一次不等式的一般解法,并注意在教学过程中“转化”思想的渗透。 教学过程: 一、复习练习: 1.不等式x3中x的最小整数值是 ,不等式x≤2中x的最大整数值是 . 2.写出不等式x52的一个解是 ,x=7 (填“是”或“不是”)不等式x52的解,不等式x52的解是大于 的数. 3.用不等式表示:x的5倍与2的差不大于x与1的和的3倍. . 4.用不等式表示“a的相反数的4倍减5不小于2”为 . 5.“a不是一个正数”用不等式表示为 . 6.“a与3的差的4倍大于8”用不等式表示为 . 7.在数轴上表示下列不等式的解集: (1) x>5. (2).x<-3. (3)x≥-1 (4) -1 今天我们来研究解不等式,我们同样应先探究不等式的变形规律。 演示书本P44实验,由学生观察得出不等式的性质1,教师概括板书 (1) 不等式性质1 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c。 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变 提问:不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢? 2、将不等式7>4两边都乘以同一数,比较所得的数的大小,用“>”或 “<”填空: 7ⅹ3 4ⅹ3 7ⅹ1 4ⅹ1 7ⅹ2 4ⅹ2 7ⅹ0 4ⅹ0 7ⅹ(-1) 4ⅹ(-1) 7ⅹ(-2) 4ⅹ(-2) 7ⅹ(-3) 4ⅹ(-3) 从中你发现了什么? 教师概括:(2)不等式性质2 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc. (3)不等式性质3 如果a>b,并且c<0,那么ac 22 2、(1)若m+2 22 (3)若a>b,则ac bc(c≤0),ac bc(c≠0). 五、能力拓展 例1、1、用“〈”或“〉”“= ” 号填空: (1)如果a-b<0那么a b(2)如果a-b=0那么a b(3)如果a-b那么a b. 从这道题可以看出:要比较a与b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数还 是零。 2、用作差法比较x-2x-15与 x-2x-8的大小。 学生练习:若aaab (1)a2-3和2-4;(2)a+b和a-b;(3)-2+5和-2+5。 2 2 例2、指出下列各题中不等式变形的依据: 1(1)由3a>2,得a>23. (2)由a+3>0,得a>-3.(3)由-5a<1,得a>-5.(4)由4a>3a+1,得a>1. 例3、利用不等式的性质,把下列各式化成x>a或x(1) x-7<8; (2) 3x<2x-3; (3) 12x>-3; (4) -2x<6.