初中数学综合题之新定义

（2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是_____.当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=______. （用含n的代数式表示）．

分析：根据题意画出图形，根据图形可得当点B的横坐标为8时，n=2时，此时△AOB所在的四边形内部（不包括边界）每一行的整点个数为4×2+1-2，共有3行，所以此时△AOB所在的四边形内部（不包括边界）的整点个数为（4×2+1-2）×3，因为四边形内部在AB上的点是3个，所以此时△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m=

(4×2+1-2)×3-3

2

=9，据此规律即可得出点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m的值． 解答：解：如图：

当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，

所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；

当点B的横坐标为8时，n=2时，△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=

(4×2+1-2)×3-3

2

=9，

当点B的横坐标为12时，n=3时，△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=

(4×3+1-2)×3-3

2

=15，

所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=

(4×n+1-2)×3-3

2

=6n-3；

另解：网格点横向一共3行，竖向一共是4n-1列，所以在y轴和4n点形成的矩形内部一共有3（4n-1）个网格点，而这条连线为矩形的对角线，与3条横线有3个网格点相交，所以要减掉3点，总的来说就是矩形内部网格点减掉3点的一半，即为[3（4n-1）-3]÷2=6n-3．

故答案为：3或4，6n-3．

点评：此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．

（2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|； 若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．

例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直

于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）． （1）已知点A（-1，0），B为y轴上的一个动点， 2①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y=3x+3上的一个动点， 4①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．

分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值； ②设点B的坐标为（0，y）．因为|-小值为|-1-0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最211-0|=； 22

（2） ①设点C的坐标为（x0，3x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，4则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为3x0+2，据此可以求得点C的坐标； 43②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最434小，即E（-，）．解答思路同上． 55-x0=解答：解：（1）①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为（0，y）． ∵|-11-0|=≠2， 22∴|0-y|=2， 解得，y=2或y=-2； ∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）； ②点A与点B的“非常距离”的最小值为

1 2

（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1-x2|

≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”解答，此时|x1-x2|=|y1-y2|．即AC=AD， ∵C是直线y=3x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1）， 4

∴设点C的坐标为（x0，3x0+3）， 43x0+2， 48此时，x0=-， 7∴-x0=∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=此时C（-8， 7815，）； 773x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最4y4小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则=-, x²+y²=1, x334解得，x=- y=， 5534故E（-，）． 55344--x0=x0+3-， 5558解得，x0=-， 589则点C的坐标为（-，）， 55②当点E在过原点且与直线y=最小值为1．

点评：本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．