矩阵可对角化的几个判定方法

２０１０年第１２卷第６期　巢湖学院学报　Ｎｏ．６．，Ｖｏ１．１２．２０１０　总第１０５期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈａｏｈｕ　ＣｏＨｅｇｅ　Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｓｅｒｉａｌ　Ｎｏ．１０５　矩阵可对角化的几个判定方法　贾正华　（巢湖学院数学系，安徽巢湖２３８０００）　摘　要：在本文中将给出矩阵对角化的几个判定方法。　关键字：矩阵可对角化特征根；特征向量最小多项式　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—２８６８（２０１０）０６—０００６—０５　矩阵可对角化即矩阵与对角矩阵相似是矩阵论中一个重要的概念是简化矩阵运算和运用的一个　重要理论。几年来，本人给本科生上考研高等代数辅导中发现对角化的问题一直困扰着大部分人，为此　我将这个问题归纳如下。以飨读者。　命题：Ａ为复数域上一个ｎ阶方阵。则下列条件等价。　（１　Ｍ可对角化，即存在可逆１７，阶复方阵Ｐ使得Ｐ－￣ＡＰ＝－ｄｉａｇ（Ａ。，Ａｚ，…，Ａ　）．　（２）　有ｎ个线性无关的特征向量。　（３）Ｃｎ可分解成　的所有的特征子空间的直和。　（４）Ａ的初等因子都是一次的。　（５　的最小多项式无重根。　（６）对Ａ的每一个特征根均有秩（Ａ　）＝秩（ＡＥ－Ａ）　．　（７）对Ａ的任一特征根均有秩（ＡＥ．Ａ）＝　—ｋ，其中ｌｊ｝为Ａ的重数。　（８）Ａ的特征多项式　（Ａ）：ＩＡＥ－Ａ　Ｉ消重因式后，即ｇ（Ａ）　，那么ｇ（Ａ）＝　下面来证明命题的正确性。　１．（１）铮（２）见［１］　２．为证（１）甘（３）　先证两个引理　设Ａ的的特征多项式　（Ａ）＝ＩＡＥ．Ａ　Ｉ＝（Ａ—Ａ　）　（Ａ—Ａ。）　…（Ａ—Ａ。）　其中Ａｉ＃　（ｉ＃ｊ）　ｎｉ￣／＇ｔ．记　为Ａ的属于特征值Ａｉ的特征子空间，　１，２，…，　．　引理１：Ｖ　＋Ｖ　＋…＋Ｖ　为直和。　。证：设口１＋ｏａ＋…＋ａｔ＝０，ｑ∈Ｖ＾．ｉ＝１，２，…ｔ．分别用Ａ，Ａ　，…Ａ　左乘上式，并由Ａｑ＝Ａ‘ｑ　ｉ＝１，２，　收稿日期：２０１０—０９－０５　作者简介：贾正华（１９６３一），男，含山县人。巢湖学院数学系副教授。研究方向：矩阵论。　６　…ｔ．即得　ｆ口ｌ＋Ｏ２＋…＋Ｏｎ＝０　｛ＩＡ１口ｌ＋Ａ　２＋…＋Ａ　０　・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・……・・…・・・　口。＋Ａ　＋．．．＋Ａ　＝０　此齐次线性方程组的系数行列式　１　１　１　Ａ　＝Ａ１　Ａ２　Ｄ＝　卜ｌ　卜１　Ｉ一１　　ｌＩ（Ａ　一ａｉ）　因为Ａｉ＃　（　），所以Ｄ＃０　Ａｌ　Ａ２　…Ａ　故此齐次线性方程组只有零解。　．・．　＝ｎ２＝…＝儡＝０即零向量分解唯一　所以　。＋　。＋…＋　为直和　＾　＋…＋　＾。＋　推论１：ｄｉｍ（Ｖ＾，）＝ｄｉｍＶａ，＋ｄｉｍＶ＾　＋…＋ｄｉｍＶ　引理２：对Ａ的每一个特征值　。有ｄｉｍＶ　不超过　（　）＝Ｉ　Ｅ—Ａ　Ｊ中的　重根的重数。即Ｘｏ的几何　重数不大于它的代数重数。亦即秩（ＸｏＥ－Ａ）≥ｎ—ｋ，ｋ为　重根的重数　证：设ａｏｉ，　，…，　为齐次线性方程组（Ａ　－Ａ）Ｘ＝０的一个基础解系。．・．Ａ　＝Ａ　，　ｉ＝１，２，…ｋ．把它扩充为　的一组基，ａｏ１，　，…，　，　＋ｌ，…，　．　作Ｐ＝（ａｏｌ，ａｍ，…，　，　＋１，…，　），　Ｐ为可逆矩阵。　’．．Ｐ　Ａ　（　Ａ　，Ｐ　＝，…，　，Ｐ１Ａａｋ＋ｌ，…，Ｐ　）　）．　Ｆ　（ＡｏＰ－　ａｏ１，ａｏＰ－　ａｏ２，…，ＡｏＰ　ａｃｋ，…，Ｐ　ａｋ　，…，Ｐ　・．‘ｐ－　Ｐ＝－Ｅ，．・．ｐ－　（嘞ｌ，　，…，　，吼＋ｌ’…，　）＝Ｅ，．‘．ｐ－　（　ｌ，ａｍ，…，‰）＝（ｎ）　（其中臣为ｋ阶单位矩阵）．・．Ｐ　ＡＰ＝　０　Ｂ　其中Ｂ为乃　阶方阵。　・．．｝　Ｅ—Ａ　ｌ＝（　一Ａ。）　｝　Ｉ　．・．　的重数至少为ｋ重的。　３．下证明（１）铮（３）　证：（１）　（３）　・‘．Ａ可对角化。　存在可逆矩阵Ｐ使得Ｐ　Ｐ　１　ｎ２　ＪｌＩ　＝ｄｉａｇ（　，　／Ｉ１　，…，　了　），　，　，…　为Ａ的互异特征值，　，　，…，　．・．．ＡＰ＝－Ｐｄｉａｇ（　Ａ啦＝￣ｋｌａ／，　），设Ｐ＝－（ａ。，　，…，　），　为Ａ的属于特征值　ｌ的特征向量。　。・．．１，２，…ｎ１．　．・．口１，０，２，…，　．由Ｐ可逆，０ｌ，０２，…，％　线性无关。．・．ｄｉｍＶ＾≥ｎ１，又ｎ１为　１的重数，又由引理２＝￣ｄｉｍＶ＾≤ｎｌ，故　ｄｉｍＶａ＝ｎ１．同理可证ｄｉｍＶＡ＝　，ｉ＝２，３，…ｔ．　，由引理１的推论ｌ￣ｄｉｍ（Ｖ，＋Ｖ＾　＋…＋　＾Ｉ）＝ｄｉｍＶ＾　＋ｄｉｍＶａ，＋…＋ｄｉｍＶａ，＝二／－ｂｉ＝／＇ｂ　，又　。＋　＾　＋…＋　＾Ｉ为直和　．Ｖａ①Ｖ＾　０…０　＾。：Ｃ　．　，７　（３）ｊ（１）　设　。０　：０…ｏ　＝　，　。，入　，…，　为Ａ的互异特征值，　…，　＾ｉ为Ａ的特征值相应的特征子空间。在Ｖ＾Ｉ中取一组基，　、　＾【＇　Ⅱｉ１，ａａ，…，‰，　＿－１，２，…，ｔ．２　ｎｉ＝ｎ．　ｉ＝１　取Ｐ＝（口ｌｌ，口ｌ２，…口　・．．１，ａｚ２，…，‰，…，儡１，ａａ，…，‰），　．・．Ｐ为可逆矩阵，　，…，　２口　，…，　ｌ　ｌ，　，…，　ｈ）　ＡＰ＝（入１ａｌｌ，入１ａ１２，…，ｋｌａｌＪＩｉ，　１，　＝（ｍｌ，ａｌ２，…，ａ１　，　１，ａ－ａ，…，‰，…，　ｌ，ａａ，…，％）ｄｉａｇ（　１，…，　１，…，　，…，　）　：Ｐｄｉａｇ（　。，　，…，　）Ｐ　Ｐ＝ｄｉａｇ（　，　，…，　）　即Ａ可对角化。　￣ｏｏ（１）甘（３）　４．下证（１）§（４）　证：・．　￣＇Ｊ＝ｄｉａｇ（Ｊ１，　，．．．Ｊｒ），　，　，．．．　均为约当块，又Ａ可对角化甘．，ｌ，　，．．．　均为一阶的甘Ａ所有　的初等因子均为一次的。　（１）甘（４）．　５．为证（１）铮（５）先证下面一个引理３　‘．．引理３ｔｌｌ：Ａ。Ｂ均为ｎ阶方阵，ＡＢ＝Ｏ，则ｒ｛Ａ）＋ｒ（　）≤ｎ．　推论２：Ａ。，Ａ２，…Ａ　均为ｎ阶方阵，则有ｒ（ａ　）＋ｒ（Ａ　２）＋…＋ｒ（Ａｋ）≤（ｋ－１）　下证（１）§（５）　证：（１）　（５）　Ｒ１　・．ｉ　ｎｌ　・Ａ可对角化ｊ存在可逆矩阵Ｐ／Ｉ￣＂Ｐ－￣ＡＰ＝ｄｉａｇ（　■　。，　，…，　了　），　∑　：ｎ．Ａ　，Ａ　，…，Ａ　为Ａ的互异特征值，　ｉ＝１　・．．　（　）：Ｉ　ＡＥ．Ａ　Ｉ＝（Ａ—Ａ１）　（Ａ—Ａ　）　…（Ａ—Ａ　）　下证Ａ的最小多项式　（Ａ）＝（Ａ—Ａ，）（Ａ—Ａ　）…（Ａ－Ａ　）．　先证Ａ—Ａ　ｌ　（Ａ），ｉ＝１，２，…ｔ．　事实上，若Ａ—Ａ　不能整除　（Ａ），ｏ￣ｏ　ｍＡ（Ａ）为　（Ａ）的因式，　・．．（Ａ—Ａ　，　（Ａ））＝１．存在复多项式ｕ（ｘ），　（　）使得ｕ（ｘ）（Ａ－Ａ　）　（　）　（Ａ）＝１　・．．　（Ａ）（Ａ—ＡｉＥ）＋ｖ（Ａ）ｍａ（Ａ）　，ｏ－ｍＡ（Ａ）＝０，．・．ｕ（Ａ）（Ａ—Ａ。　）　，ｊｌＡ—Ａ　ｌ≠０这与Ａ　为Ａ的　特征值矛盾。．・．Ａ—Ａ　ｌ　（Ａ），ｉ＝１，２，…ｔ．　．（Ａ－Ａ　）（Ａ—Ａ　）…（Ａ－Ａ　）Ｉ　ｍＡ（Ａ）．令ｇ（Ｚ）＝（Ａ－Ａ１）（Ａ－Ａ２）…（ｘ－ｘ　），　Ｐ－￣ｇ（Ａ）Ｐ＝－ｄｉａｇ（ｇ（Ａ。），…，ｇ（ｘ。），…，ｇ（Ａ　），…，ｇ（ａ　））＝０，．．　）＝０．由　（Ａ）为最小多项式，　・．・．．　（Ａ）Ｉ　ｇ（ａ），．・．ｇ（Ｚ）＝　（Ａ）＝（Ａ－Ａ　）（Ａ－Ａ　）…（Ａ－Ａ　），　的最小多项式无重根。　・　．（５）　（１）　ｏ￣ｏ　Ａ的最小多项式无重根，设Ａ。，Ａ　，…，Ａ　为Ａ的全部互异特征值，由前面证明知（Ａ－Ａ－）（Ａ－Ａｚ）…　（Ａ　）ｌ，　（Ａ），由，　（Ａ）ｌ　（Ａ），故，　（Ａ）＝（Ａ—Ａ　）（Ｊ］Ｌ—Ａ　）…（Ａ・ｊＬ　），ｍ　（Ａ）＝（Ａ—Ａ－Ｅ）（Ａ—Ａ　Ｅ）…（Ａ—　Ａ　）＝０　由引理３推论２　ｒ　一Ａ　Ｅ）＋，　一Ａ　）＋…ｒ（Ａ一，ＬＥ）≤（ｋ－１）　．　８　又ｒ（Ａ－Ａ￣Ｅ）＝ｎ－ｄｉｍＶ＾　，　＝１，２，…，ｔ．．・．ｔｎ一（ｄｉｍＶａ，＋ｄｉｍＶ＾　＋…＋ｄｉｍＶ＾Ｉ）≤（ｔ一１）　，　・．．ｄｉｍＶ＾＋ｄｉｍＶ＾　＋…＋ｄｉｍＶ＾．≥ｎ，由弓Ｉ理１推论ｌ＝￣ｄｉｍ（Ｖ＾。＋Ｖ＾　＋…＋　＾Ｉ）　。＝ｄｉｍＶ＾　＋ｄｉｍＶ＾　＋…＋ｄｉｍＶ＾Ｉ≤ｄｉｍｃ｜ｌ＝，ｌ，．。．ｄｉｍＶ＾＋ｄｉｍＶ＾　＋…＋ｄｉｍＶ＾Ｉ＝，ｌ，　。・．．　①Ｖ＾　０…①　＝ｃＩｌ，由（１）铮（３）　Ａ可对角化。　‘．．（１）铮（５）　６．下证（１）甘（６）　先证一个引理　引理４：Ａ为　阶复方阵，则齐次线性方程组ＡＸ＝Ｏ与Ａ　＝０的同解铮ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ　）．　证：（ｊ）　显然ＡＸ＝０的解为Ａ２＝Ｏ的解，．．．ＡＸ＝Ｏ与Ａ　＝Ｏ同解，则它们有相同的基础解系，　・．．ｒｔ—ｒ（Ａ）＝，ｌ—ｒ（Ａ　），．。．ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ　）．　（乍）　・．。ｒ（ａ）＝ｒ（Ａ　）　ｎ—ｒ（Ａ）＝ｎ—ｒ（Ａ　）．・．ＡＸ＝Ｏ与Ａ２Ｘ＝Ｏ的基础解系所含向量个数相同。　又ＡＸ＝Ｏ的解是Ａ　２Ｘ＝Ｏ的解，则ＡＸ＝Ｏ的基础解系可作为Ａ　２Ｘ＝Ｏ的基础解系，．．．ＡＸ＝Ｏ与Ａ２Ｘ＝０同解。　证：（１）ｊ（６）　・・．Ａ可对角化，由（１）甘（５）　Ａ的最小多项式无重根，　设　（Ａ）＝ｌＡＥ．Ａ　ｌ＝（Ａ—Ａ１）　（Ａ—Ａ　）　…（Ａ—Ａ　）　其中Ａｉ≠Ａｉ　（　≠　）　：，ｌ　ｎ．　，　（Ａ）＝（Ａ—Ａ１）（Ａ—Ａ２）…（Ａ—Ａ　）．．・．（（Ａ—Ｊ）Ｌ　）２，　（Ａ））＝Ａ－Ａ‘　ｉ＝１　存在复多项式ｕ（ｘ），　（　）使得ｕ（ｘ）（　）　＋口（ｘ）ｍＡ（Ａ）＝Ａ—Ａ　（Ａ）（Ａ—Ａ　）　＋　（Ａ）ｍＡ（Ａ）＝Ａ—Ａ　＝　ｕ（Ａ）（Ａ—Ａ　）　＝Ａ—Ａ　ｒ　一Ａ　）＝ｒ（　）（Ａ—Ａ　）　）≤ｒ（（Ａ—Ａ　）　）又ｒ（ｕ（Ａ）（Ａ—Ａ　）　）≥ｒ（（Ａ一，ＬＥ）　），　故ｒ（ｕ（Ａ）（Ａ—Ａ　）　）＝ｒ（（Ａ—Ａ　）　）．　（６）　（１）　・．‘ｒ（ｕ（Ａ）（Ａ—Ａ　）　）＝ｒ（　一Ａ　）　），由引理４　齐次线性方程组（Ａ—Ａ　）　：０　与（Ａ—Ａ　）　＝０，（ｉ＝１，２，．．．，ｔ）同解。下证Ａ的最小多项式ｍＡ（Ａ）无重根。否则，设Ａ。为的ｍＡ（Ａ）重　根￣ｍＡ（Ａ）＝（Ａ—Ａｏ）　ｇ（ａ），．・．ｍＡ（Ａ）＝（Ａ—Ａ　）　ｇ（Ａ）＝０，　设ｇ（Ａ）＝　１，Ｘ２，…，　）ｊ　－，Ｘ２，…，　为　一Ａ　）　＝Ｏ的解。　・‘．由于Ｏ（ｇ（Ｚ））＜　（　（Ａ）），及　（Ａ）的最小性，￣（Ａ－ＡｏＥ）ｇ（Ａ）≠０　ｊ　。，Ｘ２，…，Ｘ　中存在　（１≤　≤凡），（Ａ一，ＬＥ）　≠０，但（Ａ　）　ｉ＝０，　这和　一Ａ　）　＝０与　）　＝０同解矛盾！．・．ｍＡ（Ａ）无重根，由（１）铮（５）ｊＡ可对角化。　‘．．（１）骨（６）　７．下证（１）甘（７）　证：（１）　（７）　・’．（１）甘（３）．・．Ａ可对角化甘　ｏ　Ｖ＾　①…ｏ　＾ｌ＝　，入１，　，…，入　为Ａ的互异特征值，Ｖ＾１＇Ｖ　。…，　＾。为Ａ的特征值相应的特征子空间。由引理１得Ａ可对角化　ｉｍ　＋ｄｉｍＶ＾　＋…＋ｄｉｍＶａ。，＝／Ｚ，又　由引理２得ｄｉｍＶ＾ｎ≤　ｉ，（　为Ａ　的重数），而∑Ｊｊ｝　＝Ｉ１，当且仅当ｄｉｍＶａ．＝　（　＝１，２￣ｏ　ｏ　ｔ），时∑ｄｉｍＶ　＝ｎ　才能成立。　’．．（１）§（７）　８．下证（１）甘（８）　证：（１）ｊ（８）　９　设　（Ａ）Ｊ＝ＩＡ　『＝（　—Ａ。）　（Ａ—Ａ　）　…（Ａ—　）　其中Ａ　≠Ａｆ　（　≠　）　Ｅ　ｎＦｎ．ｇ（Ａ）＝　＝（Ａ—Ａ・）（Ａ—Ａ：）…（Ａ—ＡＩ）．由（１）§（５）中证明知Ａ可对角化时　。ｍａ（ａ）＝（ａ－Ａ１）（Ａ—ａ２）…（，，ｌ－Ａ　）＝ｇ（ａ），．・．ｇ（Ａ）＝Ｏ．　（８）　（１）　由ｇ（Ａ）＝０　ｍａ（Ａ）ｌ　ｇ（Ａ），‘．‘ｇ（Ａ）无重根，　（Ａ）无重根，由（１）铮（３）　Ａ可对角化。　‘．．（１）　（８）　。．．（１）镑（８）　爹考文献：　【ｌ】王萼芳，石生明．高等代数［Ｍ】．北京：高等教育出版社（第三版），２００３．　［２１张禾瑞，郝炳新．高等代数［Ｍ】．北京：高等教育出版社（第四版），１９９７．　【３】张远达．线性代数原理【Ｍ】．上海：上海教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