山东省青岛市市南区2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题(含答案)

九年级数学第一次月考试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共三大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷选择题（共30分）

―、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）

1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A．xxx10

2B．x2x20

C．ax2bxc0 D．x2y10

22．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8．则菱形ABCD的面积为（ ） A．24

B．48

C．20

2 D．25

3．工人师傅检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ） A．测量两条对角线是否相等

B．测量一组邻边是否相等

D．测量门框的三个角是否都是直角

C．测量两条对角线是否互相垂直 4．下列一元二次方程中，根是xA．3x22x10

2243123的是（ ）

D．2x24x10

B．3x22x10 C．x22x30

5．如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列结论中不一定成立的是（ ）

A．ABAD

B．ACBD

C．ACBD

D．OAOC

6．下列方程没有实数根的是（ ） A．x22x10

B．x22x0

C．2x2x1

D．x2x1

7．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）

①ABBC；②ABC90；③ACBD；④ACBD． A．选①②

B．选①③

C．选②③

2 D．选②④

28．把方程x8x30化成xmn的形式，则mn的值为（ ）

A．15 B．17 C．20 D．23

9．如图，在矩形ABCD中，AB2，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为

（ ）

A．4

B．22

C．23

D．25 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A3,0,B2,b，则正方形ABCD的面积是（ ）

A．16

B．20

C．25

D．34

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．把方程xx2x3化成一般形式，且二次项系数为1，则该一般形式为________．

12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB3,BC4，则△AOD的周长为______．

13．若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是_______．（写出一个方程即可）

14．如图，已知直线l1∥l2含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么1_______度．

15．如图，正方形ABCD的面积为225，保持BC边不动，将正方形ABCD向右推变成菱形BCEF，EF与CD相交于点M，且DM:CM2:3，则阴影部分的面积为________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

16．（本题共2个小题．第（1）小题4分．第（2）小题6分，共10分） （1）解方程：x2x0．

（2）如图．在在形ABCD中对角线AC，BD相交于点O过点O作OMAD于点M．求证：OM1AB． 2

17．（本题6分）

如图．四边形ABCD是菱形．过点C分别作CFAD于点E．CFAB于点F． 求证：CECF．

18．（本题7分） 阅读与思考

2小明同学解一元二次方程x2x50的过程如下：

2解：x2x5，第一步

x22x15，第二步，

x125，第三步，

x15，第四步，

x115,x215．第五步，

①明解方程的方法是_________，其他的求解过程从第______步开始出现错误． （2）请用小明的方法完成这个方程的正确解题过 19．（本题9分）

已知关于x的一元二次方程xkx（1）求证：方程有两个实数根．

（2）若等腰三角形ABC的两边是一元二次方程的两个根，当k2时．求△ABC的周长． 20．（本题8分）

在四边形ABCD中AD∥BC,CDBC,BC2AD．F是BC的中点．

2k10． 24

（1）如图1，求证：四边形AFCD的矩形．

（2）如图2，点C作CEAB于点E．连接DE，EF．求证：DEDC． 21．（本题10分）

（1）如下表，方程1，方程2，方程3，…．是按照一定规律排列的一列方程将方程1，2，3的解填在表格中的空格处． 序号 1 2 3 … 方程 方程的解x1x2 x2x2x2 x22x3x6 x1_________ x1_________ x1_________ … x2_________ x2_________ x2_________ … x23x4x12 … 2（2）若方程xmxm1xn的解是x110,x211．则m_______，n__________．

（3）利用上面的规律直接写出方程22．（本题12分） 综合与实践

12020202120202021的解：__________． x2xx在ABCD中，交CD的延长线于点F．分别过点E，F作EG∥DF， ABC的平分线交AD于点E．GF∥AD．

（1）如图1．求证：四边形EDFG是菱形

（2）如图2：连接AG，DG，DG与EF相交于点O，若AGD90，求证：AD2AB． （3）如图3．连接DG交EF于点O．连接OC，若ABC90,AB6,BC10．求OC的长 23．（本题13分） 综合与探究

四边形ABCD是正方形．连接BD，点E，P分别在BD，BC上．连接PE，将线段PE绕点P按逆时针方向旋转90°得到PF，连接BF，EF

（1）如图1，若点P与点C重合，则BF与BD的位置关系是____________．

（2）如图2，若点P不与点C重合，（1）中的结论还正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由．

（3）连接DF，G是DF的中点，O是BD的中点，连接OG，若正方形ABCD的边长为8，PC1． ①如图3，当点E与点O重合时，求OG的长．

②如图4，当点E与点O不重合，且OEOG时，直接写出OG的长．

数学试卷参考答案

1．B 10．D

2．A

3．D

4．A

5．B

6．D

7．C

8．A

T9．C

提示：如图，过点B作BMx轴于点M．

∵四边形ABCD是正方形，∴ADAB,DAB90，

∴DAOBAM90 ∵BAMABM90， ∴DAOABM． ∵AODAMB90，

∴在△DAO和△ABM中，DAOABMAODAMB90

ADAB∴△DAO≌△ABMAAS， ∴OABM,AMOD．

∵A3,0,B2,b，∴OA3,OM2， ∴ODAM5，∴AD325234， ∴正方形ABCD的面积是34． 11．x23x30

12．9

13．x2x0（答案不唯一）

14．12016．（1）解：xx10，x10,x21．

（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OAOCOBOD． ∵OMAD，∴AMDM．∴OM是△ABD的中位线，∴OM12AB． 17．证明：（证法不唯一）∵四边形ABCD是菱形， ∴CDCB,ADCABC，∴CDECBF． ∵CEAD,CFAB，∴CEDCFB， ∴△CDE≌△CBFAAS，∴CECF． 18．解：（1）配方法，二．

（2）x22x5，x22x151，x126，

x16，x116,x216．

19．（1）证明：∵△k241k214k22k1k120 ∴方程有两个实数根．

（2）解：当k2时，方程为x22x340，∴x1312,x22， ．90

15当

1113为腰时，∵， 2222113,不能构成三角形； 222∴

当号为腰时，等腰三角形的三边长分别为

331,, 222此时周长为

33177，∴当k2时，△ABC的周长为． 2222220．证明：（1）∵BC2AD，F是BC的中点∴ADCF． ∵AD∥BC，∴四边形AFCD是平行四边形． ∵CDBC，∴DCF90， ∴四边形AFCD是矩形

（2）（证法不唯一）如图．连接DF交CE于点G．

∵BC2AD,AD∥BC，F为BC的中点， ∴AD∥BF且ADBF，

∴四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF．∵CEAB．∴DFCE． 在Rt△BCE中，∵F为BC的中点， ∴EF1BCCF，∴GEGC， 2∴DF是CE的垂直平分线，∴DEDC． 21．解：（1）填表如下： 序号 1 2 3 方程 方程的解x1x2 x2x2x2 x1____1_____ x1____2_____ x1____3_____ x2____2_____ x2_____3____ x2____4_____ x22x3x6 x23x4x12 … … … … （2）10，110． （3）x111,x2， 20202021提示：设y

12．则原方程化为y2020y2021y20202021， x

11,y2 20202021根据规律可知y12020,y22021，∴y122．（1）证明：∵EG∥DF,GF∥AD． ∴四边形EDFG是平行四边形． ∵AB∥CD，∴ABFCFB． ∵AD∥BC，∴CBFDEF．

∵BF平分ABC，∴ABFCBF，∴DEFCFB， ∴DEDF，∴四边形EDFG是菱形． （2）证明：由（1）知四边形EDFG是菱形， ∴BOD90,GF∥AD． ∵AGD90，∴AG∥BF，

∴四边形AEFG是平行四边形，∴AEGF．

∵GFDE，∴AD2AE．∵AD∥BC∴CBFAEB． ∵ABECBF，∴ABEAEB． ∴ABAE，∴AD2AB， （3）解：∵ABC90，

∴四边形ABCD是矩形．∴ADC90， ∴EDF90，∴菱形EDFG是正方形， ∴CBF45．

∵FCB90，∴CFB45， ∴CBFCFB，∴BCCF10．

如图．过点O作ONDF于点N，则ONDN2，∴CN628，

∴OCONCN28217． 23．解：（1）垂直．（2）正确．

如图1．过点P作HPBC．交BD于点H． ∵EPFBPH90，∴EPHFPB． ∵四边形ABCD是正方形．∴CBD45，

∴CBDBHP45，∴BPPH．又∵PFPE， ∴△EPH≌△FPBSAS，

2222

∴FBPBHP45，∴DBF90，∴BFBD． （3）①如图2，过点P作KPBC，交BD于点K，

由（2）知，KPBP．

∵正方形ABCD的边长为8，PC1， ∴BD82,KPBP817，

∴BK72,OB42，∴OK724232． 由（2）知，BFOK32．

∵O是BD的中点，G是DF的中点，∴OG是△BDF的中位线， ∴OG132BF、 22②2或32．

提示：如图3，当点E在点O的上方时，过点P作MPBC，交BD于点M，设OEOGx， 由①知，OM32﹐∴BFEM32x． ∵OG11BF，∴x32x， 22解得x2，即OG2．

如图4，当点E在点O的下方时，过点P作NPBC，交BD于点N，设OEOGx， 由①知．ON32∴BFEN32x． ∵OG11BF∴x32x， 22解得x32，即OG32． 综上所述，OG的长为2或32．