变式教学在高中数学教学中的应用——以数列通项公式教学为例

课程学习ＮＥＷ　ＣＯＵＲＳＥＳ’ＳＴＵＤＹ　变武敬掌在高中数掌激掌中的应用　——以数列通项公式教学为例　胡学伶　（天津市建华中学）　摘要：数列问题的知识面很广，但从知识层面上讲，最基本的要算等差数列和等比数列，尤其是数列的通项公式是研究数列问题　必不可少的要素之一，但有关求解数列通项公式的题型千变万化，而通过变式教学将各种题型串联起来，由简入深，让学生体会万变不　离其宗，可以收到以少胜多的成效。　关键词：变式教学；数列；通项公式　一、变式教学　＝所谓数学变式教学，就是在数学教学过程中不断地变更数学　＝２＋１ｎ（手×手×　４×．．‘×　＿厂）　２＋ｌｎｎ（ｎ＞￣２）　概念中的非本质特征，变换问题的条件或结论，转换问题的形式或　内容等，以期暴露问题的本质特征或内在联系的教学设计方法。　二、数列通项公式变式教学案例分析　当ｎ＝ｌ时，上式＝２＋ｌｎｌ＝２＝ａ　‘．ａ￣＝２＋ｌｎｎ（ｎ∈Ｎ｛）　总结方法：　１．等差数列通项公式及变式　等差数列定义表述：如果一个数列从第２项起，每一项与它的　前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，符号　（１）递推公式形如珥广　１＝ｄ（常数）（ｎ∈　，ｎ≥２），　｝为等差　数列，通项公式为珥　０。＋（ｎ一１）ｄ（ｎ∈Ｎ￥ｏ　（２）递推公式形如％—Ⅱ，卜　ｎ）（ｎ≥２），利用累加法求通项公式。　２．等比数列通项公式及变式　一表示：珥广　。：ｄ（常数）（ｎ∈Ｎ　，ｎ≥２）。等差数列的通项公式正是由　定义式通过“累加法”得到，过程如下：　ａｌ￣ａ１　般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比　＝　珥ｔ—ｌ　等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，符号表示：　０２—　ｌ＝ｄ　￣－ａａ＝ｄ　ａ４－ａ￣＝ｄ　ｑ≠Ｏ（常数）（ｎ∈　，ｎ≥２）。等比数列的通项公式正是由定义式通　过“累积法”得到，过程如下：　ａｌ－：ａｌ　∞　ｑ　ｎ　一珥　ｌ＝ｄ（ｎ∈Ｎ木，　≥２）　ｎ个等式累加，得ａｎ＝ａ。＋（ｎ一１）ｄ（ｎ∈Ｎ　，ｎ≥２），　并验证当ｎ＝ｌ时，上式＝　。　ｍ　＿ｑ　盟：Ⅱ　啦　‘　故等差数列的通项公式为：ｏｎ＝ａ，＋（ｎ一１）ｄ（ｎ　Ｎ　）　变式～：珥广　１：ｄ一　－　１　ｎ）（ｎ≥２）　例１．在数列‘％｝中，　：２，　１＝　＋ｌｎ（１＋　），求％。　解：　１＝％＋ｌｎ　ａｌ＝２　＝ｇ（ｎ∈Ｎ　，ｎ≥２）　ｎ个等式累乘，得ａｎ＝ａｌｑ　（ｎ∈Ｎ　，ｎ≥２），　并验证当ｎ＝ｌ时，上式＝ｏ　。　故等比数列的通项公式为：珥ｌ＝。．ｑ　（ｎ∈Ｎ　）　变式二：　一＝ｇ一　一　ｎ）（ｎ≥２）　１　ｏｎ－Ｉ　一ｌ＋ｌｎ｝　ａ３＝ａ￣＋－ｎ手　ａ４＝ａ３＋｜“丁４　例２．已知数列　％｝满足：ｎ。＝１，２　％＝％一１（ｎ∈Ｎ，ｎ≥２），求数列　）的通项公式。　解：。，＝１，　＝—告（ｎ∈Ｎ，ｎ≥２）　１　Ｚ一　堕一上　＝　１＋ｌｎ—　－（ｎ≥２）　凡一ｌ　一　ａｌ　２　１　ｎ个等式累加，得　２＋１ｎ旱＋Ｉｎ手＋ｌｎ　‘＋Ｉｎ　ｎ－＿ｎｌ～　ａ４—一１　＿－　（下书芹９９瓦）　９７　课程学习ＮＥＷ　ＣＯＵＲＳＥＳ’ＳＴＵＤＹ　４．注重批阅、评议　课程改革中的一个重要课题。提升学生的习作水平不是一蹴而就　学生的习作，有布置必有批改。这不仅是老师的职责，更是对　的，不仅需要课内指导，也需要课外练习。作为一名语文教师，有责　学生辛勤劳动的认可。课外习作可不必像课内作文那样精批细改，　任为提高学生的习作能力，不断探索新的路径。　可引导学生自改、互改、集体共同修改。教师不要总是以成人的眼　光审视学生的问题，要尊重学生的认识，要善于发现习作中的亮　参考文献：　点，并予以表扬、激励，以此提高他们创作的兴趣，让他们体会到被　陈巧俊．加强课外阅读指导，提高写作能力．硅谷，２００９（５）．　认可的快乐，并在学生之中树立榜样。　作者简介：史纯松，男，出生年月：１９８１．１０，本科，就职于江苏　小学作文教学是培养小学生综合素质的一项重要内容，也是　扬州市江都区大桥镇嘶马小学，研究方向：小学语文教学。　Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ　Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｓｔｕｄｅｎｔｓ’Ｅｘｔｒａｃｕｒｒｉｃｕｌａｒ　Ｗｒｉｔｉｎｇ　Ｇｕｉｄｅ　Ｓｈｉ　Ｃｈｕｎｓｏｎｇ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：“Ｃｏｍｐｕｌｓｏｒｙ　ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ　ｓｔａｎｄａｒｄｓ’’ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｖｅｒａｌｌ　ｇｏａｌ　ｏｆ　ｗｒｉｔｉｎｇ　ｉｓ：“ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ．ｆｌｕｅｎｔｌｙ　ａｒｔｉｃｕｌａｔｅ　ｏｗｎ　ｍｅａｎｉｎｇ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｄａｉｌｙ　ｎｅｅｄｓ，ｕｓｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｔｏ　ｗｒｉｔｅ．”Ｂｕｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ａｃｔｕａｌ　ｔｅａｃｈｉｎｇ，ｍｏｓｔ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｃｏｎｔｅｎｔ　ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ　ａｒｅ　ｎｏｔ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ，　ｔｈｅ　ｓｔａｔｅｍｅｎｔ　ｈａｓ　ｂａｒｒｉｅｒ，ｍａｋｉｎｇ　ａ　ｆｕｓｓ，ａｎｄ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｉｓ　ｎｏｔ　ａｃｃｕｒａｔｅ．Ｔｏ　ｃｈａｎｇｅ　ｔｈｉｓ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎ，ｃｕｒｒｉｃｕｌａｒ　ｔｒａｉｎｉｎｇ　ｔｉｍｅ　ａｌｏｎｅ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｅｎｏｕｇｈ，ＳＯ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｅｒ　ｍｕｓｔ　ｔｒｙ　ｔｏ　ｓｅｅｋ　ａ　ｒｏａｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｕｉｄａｎｃｅ　ｏｆ　ｅｘｔｒａ－ｃｕｒｒｉｃｕｌａｒ　ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｒａｇｍｅｎｔｓ　ｉｍｉｔａｔｉｏｎ；ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｇｒｏｕｐ　ｃｏｏｐｅｒａｔｉｏｎ　・编辑赵飞飞　（上秩第９７夏）　…　’．．ｎａ＋ｌ＋２＝２ａｎ＋４＝２（ａｎ＋２）　・．．＝　｛ｎａ＋２｝为等比数列　ｎａ－２　（ｎ　Ｎ，…’…ｎ≥２）一　　。。．ｎａ＋２＝（ａｌ＋２）２　ｔｌ，个等式累乘，得　‘．．ｎａ＝３・２．－１＿２　（１一ｎ）　１　％　—２￣ｘ２２ｘ２３—ｘ－＇＇ｘ２＂－　＝　＝２丁（ｎ≥２）　（２）由已知，得６，Ｉ＞Ｏ，６　。＋１＝（６　１）　２　ｌｇ（ｂ　ｌ＋１）＝ｌｇ（６　１）　＝２１ｇ（ｂ．＋１）　当ｎ＝ｌ时，上式＝２。＝１：∞　又‘．’ｌｇ（ｂ　＋１）＝ｌｇ（ｔ＋１）≠０　・（上　．．｛ｌｇ（ｂ　＋１），是公比为２的等比数列。　・．．ｎａ＝２　（ｎＥＮ｛）　总结方法：　ｌｇ（ｂ　＋１）＝ｌｇ（ｔ＋１）。２　＝ｌｇ（ｔ＋１）‘　‘（１）递推公式形如　生Ｌ－＝ｑ＃－０（常数）ｎＥＮ　，ｎ≥２），ｔｎａ）为等　．．６ｒ｜＝（ｔ＋１）‘一１　（　总结方法：　比数列，通项公式为ａｎ＝ａ　口　（ｎ∈Ｎ％ｏ　递推公式形如ａｎ＝ｈａ．一，＋ｃ（入，Ｃ　常数），利用构造法，构造数列　（２）递推公式形如　一　ｎ）（ｎ≥２），利用累积法求通项公式。　ｏｍ－ｉ　｛【　％＋　丁｝＾一ｌ　Ｊ　为等比数列。　变式三：ｎａ＝ｂａｎ＿ｌ一　＝入　Ｉ　（　，Ｃ∈常数）　变式教学必须围绕数学核心概念、数学核心思想，通过变式，　例３．已知函数　ｘ）＝ｘ２＋２ｘ　达到一个理念、一种思想、一条红线串百题的境界。　（１）数列｛ｎａ｝满足ａｌ＝１，ａｎ￣　＝Ｊ￣ａｎ），求数列｛ａｎ｝的通项公式；　参考文献：　（２）已知数列｛６　｝满足ｂｌ＝￡＞０，ｂ　６　），求数列ｔｂ　）的通项　邓才明．变式教学初探．天府数学，１９９８（５）．　公式。　作者简介：胡学伶，女，出生年月：１９８２年７月，本科，天津市　解：（１）由题意可知厂　（　）＝２ｘ＋２．・．　１＝２ａｎ＋２　建华中学，研究方向：中学数学教学　Ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｔｙｐｅ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｉｎ　Ｈｉｇｈ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ：Ｔａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｓｅｑｕｅｎｃｅ’Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｆｏｒｍｕｌａ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　ａｓ　ａｎ　Ｅｘａｍｐｌｅ　Ｈｕ　Ｘｕｅｌｉｎｇ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ’ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｓｃｏｐｅ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｂｒｏａｄ，ｂｕｔ　ｆｒｏｍ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｌｅｖｅｌ，ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｂａｓｉｃ　ａｒｅ　ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｓｓｅｎｔｉａｌ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇ　ｓｅｒｉｅｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ’ｇｅｎｅｒｌａ　ｆｏｒｍｕｌａ　ａｒｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ，ｔｈｒｏｕｇｈ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｙｐｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｗｉｔｈ　ａｌｌ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ｑｕｅｓｔｉｏｎ　ｔｙｐｅ，ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｓｈａｌｌｏｗｅｒ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｄｅｅｐｅｒ，ｌｅｔ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔ　ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｍａｙ　ｖａｒｙ，ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ，ＳＯ　ａｓ　ｔｏ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｍｏｒｅ　ｗｉｔｈ　ｌｅｓｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｙｐｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ；ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｇｅｎｅｒａｌ　ｔｅｒｍ　ｆｏｒｍｕｌａ　・编辑　赵飞飞　９９