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第十章 统计、统计案例
(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．下列关系中，是相关关系的为
( )
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 解析：学生的学习成绩与学生的学习态度和教师的执教水平是相关的，与学生的身高和家庭经济条件不相关． 答案：A
2．(2010·合肥模拟)现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是
( )
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
解析：①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．
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答案：A
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ( ) A．57.2,3.6 B．57.2,56.4 C．62.8,63.6 D．62.8,3.6 解析：平均数增加60，即为62.8.
1n1n
方差＝n[(ai＋60)－(a＋60)]2＝n (ai－a)2＝3.6.
i＝1i＝1答案：D
4．为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法中正确的是 A．直线l1，l2有交点(s，t)
B．直线l1，l2相交，但是交点未必是(s，t) C．直线l1，l2由于斜率相等，所以必定平行 D．直线l1，l2必定重合
^^^^^^
解析：由y＝bx＋a，a＝y－bx可知，当x＝x时，y＝y，故回归方程过定点(x，y)．所以回归直线l1过点(s，t)，回归直线l2也过点(s，t)，所以l1与l2有交点(s，t)． 答案：A
5．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中得分的茎叶图如图所示，则中位数与众数分别为
( )
( )
A．3与3 B．23与3 C．3与23 D．23与23 解析：众数是23，排列数据得中位数也是23. 答案：D
6．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体
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重正常的频率分别为 ( )
A．1000,0.50 B．800,0.50 C．800,0.60 D．1000,0.60 解析：据题意得第二小组的频率为1－(0.25＋0.20＋0.10＋0.05)＝0.4，且其频数为400，400
设高三年级男生总数为n，则有＝0.4，∴n＝1000，体重正常的学生所占的频率为
n第二和第三小组频率之和，即0.2＋0.4＝0.6. 答案：D
7．(2010·台州模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为 ( ) A．50 B．60 C．70 D．80 解析：分层抽样要按比例抽取，A、B、C三种产品的数量之比为3∶4∶7，则抽取样本之比也应为3∶4∶7，所以A抽15件，B抽样本容量为15＋20＋35＝70. 答案：C
8．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如 右图所示，则下列说法正确的是 A．甲的平均成绩比乙的平均成绩高 B．甲的平均成绩比乙的平均成绩低 C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大 D．甲成绩的方差比乙成绩的方差小
解析：由图可知甲的五次成绩分别为99,98,105,118,115，则可得甲成绩的平均数为107，方差为66.8；乙的五次成绩分别为95,106,108,112,114，则可得乙的平均成绩为107，方差为44. 答案：C
9．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是
( )
( )
1515
×4＝20件，C抽×7＝35件，故33
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A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80 C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25
解析：相关指数越大，模型模拟效果越好． 答案：A 10．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ^
②设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
④在一个2×2的列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.
其中错误的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据方差的计算公式，可知①正确，②③④不正确． 答案：C
11．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人，调查数据如下： 年人均 收入(元) 人数(万人) 0 6 2 000 3 4 000 5 6 000 5 8 000 6 10 000 7 12 000 5 16 000 3
则该县
( )
A．是小康县
B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县 C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县 D．两个标准都未达到，不是小康县 解析：由图表可知：年人均收入为
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2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8 000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3
40＝7 050>7 000，达到了标准①；年人均食品支出为 1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10＋3 600×9
40＝2 695，
而年人均食品支出占收入的康县． 答案：B
12．若两个分类变量x和y的列联表为：
x1 x2
则x与y之间有关系的可能性为
( )
y1 5 40 y2 15 10 2 695
×100%≈38.2%>35%，未达到标准②，所以不是小7 050
A．0.1% B．99.9% C．97.5% D．0.25% (5＋15＋40＋10)(5×10－40×15)2
解析：K＝ (5＋15)(40＋10)(5＋40)(15＋10)
2
≈18.822，
查表知P(K2≥10.828)≈0.001，
∴x与y之间有关系的可能性为1－0.001＝0.999. 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图：
则甲、乙两班的最高成绩各是________，从图中看，______班的平均成绩较高． 答案：96,92 乙
14．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自已的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(千箱)与单位成本y(元)的资
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67
料进行线性回归分析，结果如下：x＝，y＝71，x2i＝79， 2i＝1
i＝1
xiyi＝1 481，
6
7
1 481－6××71
2^
b＝≈－1.818 2，
7279－6×2
7^
a＝71－(－1.818 2)×≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．
2^
解析：由分析可得，y＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元． 答案：1.818 2
15．某市十所重点中学进行高三联考，共有5 000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成下图所示的频率分布直方图．据此估计全体考生中120分及以上的学生数为________．
解析：由直方图可知成绩在120分以上的频率为10×0.027 5＋10×0.01＋10×0.005＝10×0.042 5＝0.425，则120分以上的学生为5 000×0.425＝2 125. 答案：2 125
16．甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：
品种 甲 乙
其中产量比较稳定的水稻品种是________．
解析：甲种水稻单位面积平均产量的平均值为10，则方差为(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.2－10)2＋(10.1－10)2
＝0.025；乙种水稻单位面积平均产量
4
第1年 9.8 9.7 第2年 9.9 10 第3年 10.2 10 第4年 10.1 10.3
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(9.7－10)2＋(10－10)2＋(10－10)2＋(10.3－10)2的平均值为10，则方差为＝0.045；
4∵0.025＜0.045，所以甲种水稻产量比较稳定． 答案：甲
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)某市对上、下班交通情况做抽样调查，上、下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速(单位：km/h)如下： 上班时间：
30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20 下班时间：
27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30 用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数． 解：根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图，如图所示： 上班时间 下班时间
由图可见，上班时间行驶时速的中位数是28，下班时间行驶时速的中位数是28. 18．(本小题满分12分)从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12，[90,100),8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例； (4)估计成绩在85分以下的学生比例． 解：(1)频率分布表如下：
成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计
频数 2 3 10 15 12 8 50 频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 0.16 1.00
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(2)频率分布直方图如图所示：
(3)成绩在[60,90)的学生比例即为学生成绩在[60,90)的频率，0.2＋0.3＋0.24＝0.74，估计成绩在[60,90)分的学生约占74%.
(4)成绩在85分以下的学生比例即学生成绩不足85分的频率．设相应频率为b. 由
b－0.60.84－0.6
＝， 85－8090－80
故b＝0.72.
估计成绩在85分以下的学生约占72%.
19．(本小题满分12分)为研究是否喜欢饮酒与性别之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表：
男 女 总计
利用列联表的独立性检验是否有超过95%的把握认为饮酒与性别有关系？ 解：由列联表中的数据得
290×(101×20－124×45)2
K＝≈11.953.
146×144×225×65
2
喜欢饮酒 101 124 225 不喜欢饮酒 45 20 65 总计 146 144 290 ∵K2≈11.953>10.828，
∴有99.9%的把握认为“是否喜欢饮酒与性别有关”．
20．(本小题满分12分)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10. 把这6名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解：(1)总体平均数为
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1
(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. 6
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果． 事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．
所以所求的概率为P(A)＝
7. 15
21．(本小题满分12分)育新中学的高二一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
(1)求某同学被抽取的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出2名同学做某项试验，方法是先从小组里选出1名同学做试验，该同学做完后，再从小组内剩下同学中选一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由． n41解：(1)P＝m＝＝，
60151
∴某同学被抽取的概率为.
1545x
设有x名男同学，则＝，∴x＝3.
604∴男、女同学的人数分别为3,1.
(2)把3名男同学和1名女同学记为a1、a2、a3、b，则选取两名同学的基本事件有 (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，其中有一名女同学的有6种， 61
∴选出的2名同学中恰有一名女同学的概率为P＝＝. 122
－
(3)x1＝
－
68＋70＋71＋72＋74
＝71，
5
69＋70＋70＋72＋74x2＝＝71，
5
21
(68－71)2＋(70－71)2＋(71－71)2
s＝ 5
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(72－71)2＋(74－71)2＋＝4，
5
s(69－71)2＋(70－71)2＋(70－71)22＋ 2＝5
(72－71)2＋(74－71)2
＝3.2，
5
∴第二次做试验的同学的试验更稳定．
22．(本小题满分14分)(2010·无锡模拟)假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x y
55
22
已知xi＝90，yi＝140.8，xiyi＝112.3.
i＝1i＝1i＝1
2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
5
(1)求x，y；
(2)如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 2＋3＋4＋5＋6解：(1)x＝＝4.
52.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0y＝＝5.
5
^(2)b＝
xyi5ixyxi1i152i5(x)2112.3－5×4×5＝＝1.23，
90－5×42^^a＝y－b
x＝5－1.23×4＝0.08.
^
所以线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.
^
(3)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时，维修费用约为12.38万元．
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