第三章 自动控制系统的数学模型（12 学时）
目的、教学要求：本章主要从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模
型。在经典控制理论中，常用的数学 模型为微分方程、传递函数和系统框图。它们反映了 系统的输出量、输入量和内部各种变量间的关系，也反映了系统的内在特性。因此在本章中 主要掌握：
² 物理系统的传递函数 ² 典型环节及其传递函数
² 控制系统框图（结构图）的化简及系统闭环传递函数的求取 重点、难点：
本章重点是： 自动控制系统的数学模型主要是传递函数的建立、系统框图的化简及系统 传递函数的求取。而本章的难点是：物理系统的数学模型的建立过程及系统框图的建立。 本章内容概要：
² 研究自动控制系统的方法与目的
² 系统的微分方程——物理系统的建模 ² 系统的传递函数的基本概念及建立方法 ² 习题课——阻抗法求电气系统的数学模型 ² 典型环节及其传递函数
² 控制系统的框图（结构图）——传递函数的图形表示法
² 控制系统的框图（结构图）的化简及控制系统闭环传递函数的求取 ² 习题课 ² 习题 教学方式：该部分内容基本上均可采用多媒体教学， 而对利用阻抗法求电气系统的数学模型、 框图化简及等练习方面的教学可采用课堂教学。 教学设计：对自动控制系统的分析是建立在数学模型基础之上的，所以数学模型是整个自动 控制原理研究内容的理论基础， 主要讲述传递函数的基本概念及建立方法， 并简要介绍典型 控制环节的特点及传递函数， 这其中主要让学生建立典型环节和自动控制系统分析方法之间 的相互关系，可联系工程实际来探讨典型环节和自动控制系统分析方法之间的这一等效关 系。
然后以框图简化为例， 引导学生理解典型闭环系统特点，并由此让学生了解单位反馈的 由来与控制系统闭环传递函数的求取方法。 教学内容：
引言：研究自动控制系统的方法与目的
一、系统的微分方程——物理系统的建模
1. 建立微分方程的步骤
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的物理规律，确定系统的输入 量和输出量。
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《自动控制原理与系统》教案
②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的 微分方程。
③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量， 求取一个仅含有系统的输入量 和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量 有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列， 并将方程中的系数化为具有一定物理意 义的表示形式，如时间常数等。
2. 微分方程建立举例： ①一阶 RC电路数学模型的建立 ②模拟电路数学模型的建立
③一个简单的机械系统的数学模型 二、传递函数
1. 传递函数的定义 2. 传递函数的一般表达式 3. 传递函数的性质 4. 习题课——阻抗法求电气系统的数学模型
例：求如图所示电路的传递函数。
解：1．将原电路中的电路元件用阻抗表示，同时将输入及输出变换成拉氏式，如图 b 所示。
2．由电路中的相关定理列出其电流或电压方程。
I ( s ) =
U i ( s )
( R 1 / Cs ) + R 0 / 2 // 0 / 2
I f ( s ) =
U o ( s )
R 1 / Cs 1 +
由虚断概念可得：
I ( s ) =
由此得出：
U i ( s ) U o ( s )
= - I f ( s ) = - ( R 1 / Cs ) + R R 1 / Cs 0 / 2 // 0 / 2 1 +
2 2
U o ( s ) ( 6 R ) /( 4 + 2 R ) R C ( 6 R ) 0 + R 0 Cs 0 Cs 1 0 + R 0 Cs = - = U i ( s ) R 1 / Cs ( R Cs + 1 )( 4 + R ) 1 + 1 0 Cs
三、系统框图——传递函数的图形表示法
1. 系统框图的定义
系统框图又称方框图（Block Diagram）或系统结构图，它是传递函数的图形描述 方式，它可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有 简明直观、运算方便的优点。所以方框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。
2
《自动控制原理与系统》教案
2. 系统框图的图形符号及物理含义 功能框(Block Diagram)如图 a所示。它表示了相对独立单元输入信号的拉氏变换与输 出信号的拉氏变换之间的关系，即： C ( s ) = G ( s ) ´ R ( s )
信号线(Signal Line)如图中的有向线段所示。它表示信号流通的路径和方向，其中流 通方向用箭头表示。
引出点(又称分点)(Pickoff Point)如图b 所示。它表示信号由该点取出。 从同一信号 线上取出的信号， 其大小和性质完全相同。
比较点又称和点(Comparing Point 或 Summing Point)如图 c 所示。它表示了信号在该 点的代数和。
3. 一个典型的自动控制系统的框图
四、典型环节的传递函数及功能框
五、框图的变换、化简和系统闭环传递函数的求取
1. 框图等效变换规则 2. 自动控制系统闭环传递函数的求取 3. 习题课
例： RC 无源网络如图所示， 试采作复数阻抗法画出该电路的系统框图， 并求其传递函数。 解： 1．将原电路中的电路元件用阻抗表示，同时将输入及输出变换成拉氏式，如图 b 所示。
I 1 ( S ) =[ U r ( S ) - U C 1 ( S )] × U c 1 ( S ) = [ I S ) - I 2 ( S )] × 1 (
2．用复阻抗写电路方程式：
1
R 1
1 C 1 s
1
I 2 ( S ) = [ U c 1 ( S ) - U c 2 ( S )] R 2 V S ) = I 2 ( S ) × c 2 (
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C 2 s
3
《自动控制原理与系统》教案
将以上四式用方框表示，在相互连接后即得 RC 网络结构图，见下图。其中框图的简化 过程如图 b、c、d 所示
4. 交叉反馈系统框图的化简及其闭环传递函数的求取 5. 习题课：见书中例题 六、习题
1．利用阻抗法求下列电路的传递函数。
2．将如图所示方框图进行化简， 并求出其闭环传递函数。
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