薄壁杆件的有限元分析法

维普资讯 http://www.cqvip.com 科技慵报开发与经济　文章编号：１００５—６０３３（２００６）１３—０１４０—０４　ＳＣ１－ＴＥＣＨ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　ＤＥＶＥＬＯＰＭＥＮＴ＆ＥＣＯＮＯＭＹ　２００６年第１６卷第１３期　收稿日期：２００６—０２—２８　国固　围曰圆　国　髓　牛庆芳　，尹永青　（１．太原理工大学，山西太原，０３００２４；２．山西省建筑设计研究院，山西太原，０３００１３）　摘要：阐述了薄壁杆件理论的发展及经典的薄壁约束扭转理论的不足，对应用十分　广泛且基于势能驻值原理的一种数值解法——有限元理论进行了进一步的研究，提出　薄壁空间杆件单元中每个节点应增加一项表征截面翘曲的位移分量，即截面的翘曲角　，以计及截面翘曲的影响。指出有限元法完善了薄壁杆件理论，对实际工程的结构设　计有一定的参考价值。　关键词：薄壁杆件；有限元分析；截面翘曲；位移分量　中图分类号：ＴＵ３２　文献标识码：Ａ　薄壁结构在当今桥梁与建筑工程中是一种比较普遍的结构形式，随　个待定常数ｍ和ｏａ：　着我国国民经济持续、快速发展，交通运输和城市基础设施的建设日益　ｕ（ｘ）：口ｌ　（１）　受到重视。公路、铁路、城市道路和立交枢纽等各种工程建设正蓬勃发　展，方兴未艾。与此相应，在桥梁结构和各种建筑工程中薄壁结构的应用　———＿厂——一二二二　ｒ——一也日益广泛。　Ｘ　’　　通常把薄板、壳体和薄壁截面组成的结构称为薄壁结构。与其他结　图１拉压单元　构形式相比，在基于满足强度要求下，薄壁结构具有重量轻、强度大、能　待定常数与位移参数的关系，可根据端点位移条件来确定。端点位　充分利用材料的特点。　移条件为：　本文将研究一种特殊的薄壁结构——薄壁杆件结构，薄壁结构是一　当ｘ＝０时，Ｕ－－Ｕｌ，ａｌ　种特殊的壳体。它具有如下的几何特征：横截面最大几何尺寸与梁的长　当ｘ＝ｌ时，ｕ＝ｕ２，　＋啦Ｚ＝Ｉ上２，　－－－Ｕｌ　度相比为小量级，杆件的壁厚与横截面最大几何尺寸相比为小量级。由　于薄壁结构同时具有壳体和粱的结构优点，从而使得它成为力学研究的　由此求得ｎ　一个重要分支。早在２Ｏ世纪三四十年代，薄壁杆件的静力学和稳定性理　代入式（１），得　论就逐渐产生了，主要有符拉索夫的开口薄壁梁约束扭转理论、乌曼斯　基的闭口薄壁梁约束扭转理论和符拉索夫的广义坐标法。符拉索夫采用　ｕ　ｘ）＝（１号）ＵＩ＋争　两个基本的假定，提出了满足工程需要的实用开口薄壁梁约束扭转理论　或写成：　体系。这一理论自建立以来，尽管本身并不是十分的完美，但有较好的计　（　）＝∑　（　）　（２）　算精度，仍然被世界各国所普遍接受，并为更深入的研究奠定了基础，提　出了一套关于闭口薄壁梁约束扭转的实用理论体系。　式中，　经典的薄壁约束扭转理论中已经导出了薄壁杆件及结构的基本微　｛Ｉ　Ⅳ　（　）＝１一手　‘　分方程，但是直接解基本方程求解析解，有时是很困难的，因此，需采用　（２ａ）　数值方程。数值方法大体上可以分为两大类：一类是直接对微分方程求　ｌ　（　）＝｝　数值解；另一类是通过能量原理求数值解。当直接对微分方程求解时，一　由式（２）可知，　（　）就是单元端点位移　＝１引起的位移函数．即形　切解微分方程的数值方法都可以使用。最常用的有：数值积分法、差分　函数。　法、加权残数法等。有限元法是基于势能驻值原理的一种数值解法，此方　式（２）又可以写成：　法应用十分广泛。　有限元法的要点是：先把整体拆开，分解成若干个单元，这个过程称　（　）：［Ⅳ　（　）　（　）］ＪＬ　ｕ２　Ｊ　ｌ　（２ｂ）　作离散化。然后再将这些单元按一定的条件集合成整体。在一分一合，先　或简写成：　拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合　ｔｔ（ｘ）＝Ⅳ（　）　（２ｃ）　问题。有限元法取杆段作为一个单元，单元的刚度方程是按某种假定的　式中，Ⅳ（　）称为单元的形函数矩阵：　位移状态推导出的，是近似的表达式，因而求出的是近似解，当单元划分　Ⅳ（　）＝［Ⅳ　（　）　（　）］　（３）　细时，近似解趋于精确解。　式（３）就是所求的由节点位移巩确定位移函数ｕ（　）的转换关系。凡　１形函数　是单元的位移状态只由两个位移参数决定的位移状态，都可以采用式　（２ｃ）所示的直线式形函数表示。　在有限元位移法中采用节点位移作为基本未知量，为了得到节点之　１．２三次式形函数　间各截面的位移必须假定位移的变化规律，即位移函数。下面分几种情　以横向弯曲单元为例（见图２）推导出单元上任意一点　的横向位移　况来讨论。　（　）．表示为：　１．１直线式形函数　（　）＝Ⅳ（　）　（４）　以拉压单元为例（见图１）加以说明。由于单元的位移状态由两个端　式中，Ⅳ（　）＝［　（　）　（　）　（　）　（　）］　（５）　点位移参数　和ｕ：来决定，因此位移函数可设为多项式，其中只包括两　ｃ．ｆＦ｛　ｌ，　ｌ　，　２，　２　｝　１４０　维普资讯 http://www.cqvip.com 牛庆芳，尹永青薄壁杆件的有限元分析法　ｙ　图２横向弯曲单元　Ⅳｌ（小１—３等＋２手　其中　ｃ　一：￣　ｘ２　ｘ３　Ｍ（　）＝３等一２等　Ⅳ．（　）一　ｘ２＋手　，　，　，Ⅳ．是４个形函数。　凡是单元的位移状态是由４个位移参数决定的位移状态，都可以采　用式（６）所示的三次式形函数表示。　１＿３薄壁单元扭转的形函数　对于薄壁单元的扭转问题，单元上任一截面的扭转位移，可用端点１　和２处的４个端点位移（见图３）来表示。因为它也是４个位移参数决定　的位移状态，故也可用三次式的形函数表示如下：　口（　）＝Ⅳ（　）　（７）　式中，／ｖ（ｘ）同式（６）。　０　２　Ｚ．Ｉ———一　０　ＩＩ　Ｖ　ｙ　图３薄壁单元扭转位移示意图　１．４薄壁空间弯扭单元的形函数　一般的薄壁杆单元，其轴向位移见图１，可用式（２ｂ）表示其位移，即　采用直线式形函数表示轴向位移的变化规律。　一般薄壁空间弯扭单元的变形．包括在：ｍｙ平面内的横向弯曲位移　（　），在　平面内的横向弯曲位移ｗ（ｘ），以及绕轴的扭转位移ｏ（ｘ），见　图４。　横向弯曲位移ｗ（ｘ），”（　）是由４个位移参数决定的位移状态，因此　采用三次式的形函数。绕　轴的扭转位移ｏ（ｘ），在上节中已表示。将以上　两个方向的横向弯曲位移和绕　轴的扭转位移合写在一起，得一般薄壁　空间弯扭单元节点间位移用端点位移表示的关系式如下：　纠Ｉ『Ⅳ（　）０　０　１　ｌ　Ｉ　ｌｗ（ｘ）Ｉ＝ｌ　０　Ｎ（ｘ）０　ｌ＝ｌｄ。Ｉ　（８）　）Ｊ【０　０Ⅳ（　）Ｊ【　Ｊ　１．５考虑截面翘曲时薄壁空间单元的形函数　在薄壁构件的有限元分析模型中，考虑其约束扭转效应，这样，薄壁　空间杆件单元中每个节点应增加一项表征截面翘曲的位移分量，即截面　的翘曲角　，以及截面翘曲的影响。　薄壁空间梁单元中每个节点的位移向量共７个，即ｕ　Ｗ，　，　，　，　比，节点力向量也为７个，即Ｐ　Ｐ　Ｐ　，　，　，Ｂ，每个位移分量的插值　函数选取为：单元轴向位移函数ｕ采用直线式的位移模式，同时考虑了　双向弯曲和截面翘曲对杆件轴向变形的影响；截面的横向弯曲位移采　，　Ｗ采用三次式的位移模式；扭角位移函数　，　，　也采用三次式的位移　模式，而翘曲位移函数则引入一个表征翘曲沿杆长分布的翘曲函数以　本刊Ｅ—ｍａｉｌ：ｂｊｂ＠ｍａｉｌ．ｓｘｉｎｆｏ．ｎｅｔ科技研讨　ｘ　２　０，２　Ｗ　ｌ　口　ｌ　ｙ　图４薄壁空间弯扭单元变形　来代替扭转率　，合写在一起得单元节点间位移用端点位移表示的关　系式如下：　Ｕ　ｄｕ　ｌｖ（ｘ）０　０　０　０　０　０　由　ｌ　０　ｌｖ（ｘ）０　０　０　０　０　０　０　ｌｖ（ｘ）０　０　０　０　ｄｗ　０　０　０　ｌｖ（ｘ）０　０　０　ｄ　０　０　０　０　Ⅳ（　）０　０　０　０　０　０　０　ｌｖ（ｘ）０　ｄＯ，　０　０　０　０　０　０　ｌｖ（ｘ）　ｄＯ，　ｄＯ．　２单元分析　应用势能驻值原理，推导薄壁扭转单元的刚度矩阵与等效节点荷载　向量。　对薄壁弯扭单元（见图５），任意截面　的扭转位移口（　）可用节点位移　ｄｓ＝［Ｏ。，０。　，　，０２　］　表示，其关系如下：　口（　）＝Ⅳ（　）ｄｓ　（９）　单元应变能力　ｌ－争』（ＥＬ　伽　）ｄｘ　（１０）　将位移表达式（９）代人上式后，得　（ｆ　１　ｆ｛ＥＬ（　（　）ｄｓ）２＋ＧＪ￣（Ｎ　（　）　）　｝　也可改写成以下形式：　，』　Ｉ　　、㈦＝｝　（ｆ　（ｘ）ｒＥＪｄＶ＇（ｘ）ｄｘ＋ｆⅣ　（ｘ）　Ｉ（ｘ）ｄｘ　ｄｓ　可得出单元的刚度矩阵：　（。）＝Ｉ　（ｘ）　（ｘ）　＋Ｉ　Ｎ　（ｘ）ｒＥＪ￣Ｎ　（ｘ）ｄｘ　（１１）　５　６　０　ｌ　ｌ　由式（６）知　Ⅳ　（ｘ）＝［一６争＋６　・　手＋３等６Ｖ　－６ｆｉ－　一２　＋３等】　（ｘ）＝［一　＋・　争－４｝＋　一，　争一　｝＋　争】　代入式（１１），得　（。）＝Ｅ，＿ｚ丑＋Ｇ　ｚｌ　（１２）　１４１　维普资讯 http://www.cqvip.com 牛庆芳，尹永青薄壁杆件的有限元分析法　本刊Ｅ－ｍａｉｈｂｊｂ＠ｍａｉｌ．ｓｘｉｎｆｏ．ｎｅｔ科技研讨　式中，　一Ｐ　一　￡！　一一　一　４一　一　一　“）－｝ｄＴｚ　ｃＴｄ＝｝ｄｒＫ＂ｄ　二　‘　式中，　为整体坐标系中的单元刚度矩阵，Ｋ　ｚ　；而　为单元坐　￡！丁　下￡！一Ｐ　一　一　一　下４一　６　１　１Ｏ　１５　１　１Ｏ　ｆ　６　１　１Ｏ　ｆ　３Ｏ　１　１Ｏ　２ｆ　１５　标转换矩阵。式（２Ｏ）可以写成：　（１３）　∑｝　‘　’ｄ　一　（２３）　为使势能表达式中的位移参数得到统一，可将单元杆端位移向量ｄ　转换为结构节点位移向量Ｄ，其转换关系式为：　ｄ＝Ｃ‘　Ｄ　（１４）　（２４）　５ｆ　１　５ｆ　１　１Ｏ　６　Ｚｌｌ＝　１Ｏ　６　式中，矩阵ｃ“　为节点位移与单元杆端位移向量的转换矩阵。以图６　所示的薄壁杆扭转问题为例，结构分为４个单元，结构节点位移向量Ｄ　和单元（３）的杆端位移向量ｄ㈦分别为：　Ｄ＝｛０ｌ，　，　，０２　，０３，０３　｝　ｄ㈣＝｛０２，０２　，０３，０３　｝　（１）　（２）　（３）　（４）　～　５ｆ　１　１Ｏ　３０　５ｆ　１　１Ｏ　现考虑薄壁杆件弯扭势能。设薄壁杆件上作用着以下外荷载，作用　于截面剪力中心的线分布荷载ｇＩ，ｑ　，ｍ，杆端作用力与力Ｎ，Ｑ｜，　，　，　，　和Ｂ，见图５。故总外力势能为：　１　２　３　Ｅ，ｐ＝一Ｉ（ｑ￣／＇＋ｑｒｒ／＋ｍＯ）ｄｘ一［＾善＋　，　Ｑ，　一坳　一＾ｆ，　＋＾　＋朋　］　（１５）　；　图６薄壁杆扭转问题　它们之间的转换关系为：　ｆ　０　０　１　０　０　０　１　：式中，　，　，　分别为截面剪力中心沿ｘ，ｙ，　方向的位移，０为截面的　扭转角，上标“”’表示对：求导数。　因此，单元荷载势能为　ｆ　Ｉ　０ｏ　Ｄ　【０　０　０　０　０　１　Ｊ　“　一Ｉ　ｍＯｄｘ一［Ｍ，Ｏ＋ＢＯ　］　６　因此，单元（３）的转换矩阵Ｃ㈤＝［ｏ　ｏ】　式中，子块０和，都是２ｘ２阶子矩阵。　将式（２４）代入应变能表达式（２３）中，即得：　将位移表达式（９）代入后，得　Ｉ　‘‘’一Ｉ　ｍ／Ｖ（ｘ）ｃｌ￣ｌｘ＿［　鼬　＋　０ｔ柑ｔ０　］　６　（１６）　ｖ－－ｙ，　ＤＴ（ｃ㈦　㈦ｃ㈨Ｄ＝ｌｏＴｙ（ｃ㈨）　㈦ｃ㈦Ｄ　结构总体刚度矩阵为：　也可改写为以下形式：　ｆ　“　＝一　Ｉ　ｍＮ（ｘ）￣ｄｘ－ｄ　６　６　（１７）　＝∑（ｃ‘　）　‘　Ｃ　（２５）　将式（１７）对位移求导，得等效节点荷载　ｊ　结构的外荷载势能求和得到：　ｐｃ・）＝Ｉ　ｍＮ（ｘ）￣ｄｘ　５　其中，Ｐ６　：［肘　Ｂ　Ｍ　Ｂ２］　为单元的两端荷载向量。　（１８）　∑　“　各单元的外荷载势能　“　可表示为：　ｆ　“　一　Ｉ　ｍＮ（ｘ）￣ｄｘ－ｄ　５　３整体分析　．将式（２４）代入后即得：　用有限元法分析任何结构时，其计算都分为两步：第一步，把整体结　构离散为独立的单元进行单元分析；第二步，把这些单元重新集合为整　体，使能满足整体的平衡条件和变形协调条件，进行整体分析。　整体分析是形成结构刚度矩阵和结构节点荷载向量。常用的方法是　刚度集成法。下面从能量原理的角度进行整体分析。　结构的总势能可写成：　Ⅱ＝　（１９）　㈨，Ｕｐ－一∑Ｄｒ（Ｃ“　）　Ｉ　（　）　一∑Ｄｒ（Ｃ“　）　・　等效节点荷载如下：　』　∑（ｃ‘‘　）　Ｉ　ｍＮ（ｘ）￣ｄｘ　最后指出，式（２５）中的（ｃ‘‘　）　“　ｃ‘　实际上就是扩大的单元刚度矩阵　式中，　为结构的应变能，可由各单元的应变能求和，得到：　引入矩阵ｃ　所起的作用，就是使单元刚度矩阵进行换码和扩大。　有了结构总体刚度矩阵　后，利用各单元的等效节点荷载Ｐ“　计算　Ｕ－－∑Ｕ‘‘　各单元的应变能Ｕ“　已由上节求得，可表示为：　‘ｃ）＝　‘　（２ｏ）　各节点的荷载向量凡（　为节点编号），从而再组成结构的荷载向量Ｒ。　在此基础上，结构的平衡方程写成：　ＫＤ＝Ｒ　（ｃ　（２１）　式中，　为局部坐标系中单元的杆端位移向量；　“　为局部坐标系中　的单元刚度矩阵。　在整体分析中，各单元有不同的局部坐标系，所以应从符号上加以　说明。　为了求和计算的方便，取统一的整体坐标，将杆端位移经坐标变换　关系式：　＝ｚ　（２２）　引人边界条件，求解即可得到节点位移Ｄ，再利用式（２４）得出单元杆　端位移向量ｄ，通过式　，得出局部坐标系中的杆端位移向量，最后根据　．ｐ　』＿　（　为局部坐标系中的单元刚度矩阵）计算出单元各节点的内力。　４结语　本文对薄壁结构理论进行了概述，提出了经典理论在实际工程应用　中的不足，有限元法是基于势能驻值原理的一种数值解法，考虑了截面　的翘曲函数，而在薄壁构件中截面的翘曲变形是不容忽略的。　可得：　（责任编辑：刘翠玲）　１４２　维普资讯 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科技情报开发与经济　文章编号：１００５—６０３３（２００６）１３－０１４３—０３　ＳＣＩ－ＴＥＣＨ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　ＤＥＶＥＬＯＰＭＥＮＴ＆ＥＣＯＮＯＭＹ　２００６年第１６卷第１３期　收稿日期：２００６—０３－０６　侧方交会的精度分析　张文康　（中国铝业山西分公司石灰石矿，山西河津，０４３３００）　摘要：以交会角每ｌ５。的间隔变化及与测角ｏｔ，　的相对大小变化组成的４５种图形结　构为基础，对侧方交会精度进行了具体分析，提出了一般规范应当修改及修正的正确　数值的建议，总结出了交会角确定时，点位中误差随测角大小变化的规律及侧方交会　时提高精度的具体操作法。　关键词：侧方交会；交会角；点位中误差；精度分析　中图分类号：ＴＤ８７２￣．５　文献标识码：Ａ　在中国铝业股份有限公司龙门山石灰石矿日常测量工作中，常采用　经纬仪交会法来加密控制点（简称图根点）。根据已知控制点的条件和地　形情况，经纬仪交会法分为前方交会、侧方交会和后方交会３种。石灰石　矿的测量人员多用侧方交会，因为侧方交会可在待定点直接摆站，进行　验收等测量，从而节约时间，减少工作量。所以本文拟对侧方交会的精度　进行分析，并寻找规律，以期在日常工作中，运用侧方交会中的有效规　律，既能高精度地保证工作质量，又能有效地利用时间，提高工作效率。　一Ｐ　般规范规定：第一，选（图根控制）点时，所求点必须和３个以上的　图１侧方交会示意图　级网影响较小可略而不计）。　已知控制点通视。交会角　不小于３Ｏ。，不大于１５０。，即要求最不利的图　形的点位中误差，不大于交会角ｙ＝９０。时点位中误差的两倍（容许误差）。　第二，选点时，要求点的位置要选在土质坚实、埋设标志后不易损坏和不　会变动的地方。　本文就与规范的第一条规定有关系的侧方交会精度进行分析。　、／　或，，ｌｐ＝　盟　（１）　（２）　１侧方交会法及其精度　１．１侧方交会　１．２侧方交会的精度　由（１）、（２）式可以看出，除了测角精度对％有影响外，布网图形也　对％有影响。当为定值，ｙ＝９０。时，％为极小值，即布设交会角ｙ＝９０。的　图形最为理想，但是在作业中，布设　＝９Ｏ。的侧方交会图形通常是困难　的，所以和前方交会一样，允许　角在一定范围内变动，即要求　角不小　于３Ｏ。或不大于１５０。，使得最大误差（容许误差）不大于交会角ｙ＝９０ｏ时　点位中误差的两倍。那么，要求最不利图形的点位中误差不大于交会角　９ｏｏ时点位中误差的两倍，是否　角就是不小于３Ｏｏ或不大于１５０ｏ呢？　也就是说，　角究竟在什么样的范围内？我们将对侧方交会的精度进行　大学，助教，太原理工大学，山西省太原市迎泽大街７９号．０３００２４　图ｌ为侧方交会示意图。图ｌ中，Ａ，　为两已知点，在已知点Ａ和未　知点Ｐ上设站，观测角ａ和交会角　，以决定Ｐ点位置的方法，叫侧方交　会。侧方交会求未知点的坐标和前方交会求未知点的坐标应用的是相同　的公式。因此，推导侧方交会点位精度公式思路和推导前方交会点位精　度公式的思路是一致的。即先求ＡＰ边边长ｂ及方位角ａ　的真误差公　式，而后求未知点Ｐ的坐标真误差公式，再转化成中误差公式．最后导出　Ｐ点点位中误差的公式（这里暂时假定已知点的精度较高，它们对低一　第・作者简介：牛庆芳，女，１９７９年７月生，２００２年毕业于太原理工　Ｔｈｅ　Ｆｉｌｌｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｔｈｉｎ－ｗａｌｌｅｄ　Ｂａｒ　ＮＩＵ　Ｑｉｎｇ－ｆａｎｇ，ＹＩＮ　Ｙｏｎｇ－ｑｉｎｇ　ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｘｐｏｕｎｄｓ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｉｎ——ｗａｌｌｅｄ　ｂａｒ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｉｎ——ｗａｌｌｅｄ　ｃｏｎｆｉｎｅｄ　ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ，ｍａｋｅｓ　ｆｕ【ｒｔｈｅｒ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｔｈｅ０ｒ、　—一ａ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｎｕｍｅｒｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｖｅｒｙ　ｗｉｄｅｓｐｒｅａｄ　ａｖａｉｌａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｅｎｅｒｇｙ　ｓｔａｎｄｉｎｇ—ｖａｌｕｅ　ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ　ｐｏｉｎｔｓ　ｏｕｔ　ｔｈａｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ　ｓｐａｃｅ　ｍｅｍｂｅｒ　ｂａｒ　ｕｎｉｔ　ｅａｃｈ　ｎｏｄａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｓｈｏｕｌｄ　ａｄｄ　ａ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｒｏｓｓ—ｓｅｃｔｉｏｎａｌ　ｗａｒｐ，ｔｈｅ　ｗａｒｐｅｄ　ａｎｇｌｅ　，ｆｏｒ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｒｏｓｓ—ｓｅｃｔｉｏｎａｌ　ｗａｒｐ，ａｎｄ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｔｈｅｏｒｙ．　ｗｈｉｃｈ　ｐｅｒｆｅｃｔｓ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ　ｂａｒ，ｐｏｓｓｅｓｓｅｓ　ａ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｉｇｎｉｉｃａｎｃｅ　ｆｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｃｔｕａｌ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．　ＫＥＹ　ＷＯＲＤＳ：ｔｈｉｎ—ｗａｌｌｅｄ　ｂａｒ；ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ｃｒｏｓｓ—ｓｅｃｔｉｏｎａｌ　ｗａｒｐ；ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　１４３