线性代数与概率论课程教学大纲

线性代数与概率论 课程教学大纲

一、课程说明

（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：线性代数与概率论 所属专业：材料物理与材料化学 课程属性：必修 学分：4

（二）课程简介、目标与任务；

本课程将对线性代数和概率论里的一些常见概念和基础知识进行讲解。线性代数里所涉及到的对向量和矩阵的分析和操作，在科学研究和工程技术中均有着广泛的应用。从向量和矩阵中抽象出来的线性空间和线性变换的概念，将为学生以后更深入的学习和实践提供必要的背景和知识准备。概率论是统计方向的理论基础，对于将来实际工作中的数据分析和处理有着指导性作用。这门72学时的课把线性代数和概率论放在一起讲实际上强度是比较大的。

线性代数部分先从行列式讲起，接着介绍关于向量组和矩阵的一些基本概念和运算。有了这些知识储备后，在第三章对于线性方程组问题给出了一个完整的解答。第四章对向量和矩阵的数学抽象引入了线性空间与线性变换，并对空间的代数结构和变换性质作了讨论。最后两章是关于矩阵的比较实用部分，包括特征值与特征向量，矩阵对角化与二次型。概率论部分先定义了样本空间与随机事件，接着引入概率的概念，列举了一些计算简单概率的方法和例子。随后对随机事件的量化导致了随机变量的引入。从第四章到第七章均是关于随机变量和随机变量函数的内容，我们讨论了一些常见分布及其数字特征，包括期望值，方差和关联函数（协方差）等。对于独立的随机变量序列，我们运用切比雪夫不等式证明了大数律，最后介绍了中心极限定理。

希望学生通过本课程的学习，能够熟悉线性代数里的一些基本概念和思考问题的方法，培养数学抽象思维的能力，理解和熟练掌握向量和矩阵的一些性质和相关运算，对于随机过程和随机变量亦有一个初步的具体认识。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 所需要的先修知识储备为基本的微积分，代数方程和一些矢量分析。线性代数的知识，包括向量，矩阵和二次型，在以后的学习中都会用到。线性空间和线性变换的概念在后继的理论课例如量子力学和群论的学习中将扮演重要角色。概率论是后继数理统计

课的基础和前奏。

（四）教材与主要参考书：

［1］罗彦锋，《线性代数（高等数学第三册）》，兰州大学出版社，2009（教材）；

［2］同济大学应用数学系主编，《概率统计简明教程》，高等教育出版社，2003（教材）；

［3］丘维声，《简明线性代数》，北京大学出版社，2002；

［4］盛骤，谢式千，潘承毅编， 《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2008。

二、课程内容与安排

A. 线性代数部分 第一章 行列式

第一节 数域和矩阵 第二节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶排列 第四节 n阶行列式的定义 第五节 行列式的性质

第六节 行列式按行（列）展开 第七节 行列式的计算 第八节 克莱姆法则 第二章 矩阵代数 第一节 n维向量

第二节 向量的线性相关与线性无关，向量组的秩 第三节 矩阵的运算

第四节 矩阵的初等变换及其等价标准形 第五节 矩阵的秩

第六节 可逆矩阵 第七节 分块矩阵及其应用 第八节 初等变换与初等矩阵 第三章 线性方程组 第一节 消元法

第二节 线性方程组有解判定定理 第三节 线性方程组解的结构 第四章 线性空间与线性变换 第一节 集合与映射

第二节 线性空间的定义及基本性质 第三节 维数，基与坐标 第四节 线性子空间 第五节 线性空间的同构 第六节 欧氏空间 第七节 标准正交基 第八节 线性变换及其运算 第九节 线性变换的矩阵 第十节 正交变换与对称变换 第五章 特征值与特征向量，矩阵的对角化 第一节 特征值与特征向量 第二节 矩阵的对角化 第三节 实对称矩阵的对角化 第六章 二次型

第一节 二次型及其矩阵表示 第二节 标准形 第三节 规范形

第四节 正定二次型与正定矩阵 B. 概率论部分

第一章 随机事件

第一节 样本空间和随机事件 第二节 事件关系和运算 第二章 事件的概率 第一节 概率的概念 第二节 古典概型 第三节 几何概型 第四节 概率的公理化定义 第三章 条件概率与事件的独立性 第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性

第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率 第四章 随机变量及其分布

第一节 随机变量及分布函数 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第五章 二维随机变量及其分布

第一节 二维随机变量及分布函数 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 边缘分布

第五节 随机变量的独立性 第六节 条件分布 第六章 随机变量的函数及其分布

第一节 一维随机变量的函数及其分布 第二节 二维随机变量的函数的分布 第七章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差和标准差 第三节 协方差和相关系数 第四节 切比雪夫不等式及大数律 第五节 中心极限定理

（一）教学方法与学时分配

教学方法以讲授为主。总学时是72个学时，线性代数部分的学时约占总学时的百分之八十，概率论部分约占百分之二十，具体分配如下。线性代数部分：第一章12学时，第二章12学时，第三章8学时，第四章12学时，第五章8学时，第六章6学时；概率论部分：第一，二章1学时，第三章2学时，第四章2学时，第五章3学时，第六章（二维随机变量选讲）2学时，第七章4学时。

（二）内容及基本要求

主要内容：本课程将讲授一些线性代数和概率论的基础知识。

【重点掌握】：线性代数部分：行列式计算，矩阵运算，包括矩阵与矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法以及矩阵的求逆，线性无关与线性相关的概念，解线性方程组，线性空间的维数，基与坐标，基变换对应的过渡矩阵，线性变换的矩阵形式以及在不同基下的表述，矩阵的特征值和特征向量以及矩阵对角化。概率论部分：随机变量的概念以及一些常见的分布，特别是正态分布，各种分布的参数的意义和数字特征。

【掌握】：子式的概念，初等变换与初等矩阵在分析矩阵与向量组的秩中的应用，线性方程组的解的存在性，解的一般结构与判定条件，欧氏空间中的内积运算，标准正交基及施密特正交化方法，二次型及矩阵表示。一些常见的矩阵形式，如对角，上（下）三角，正交，（反）对称矩阵等。概率论中条件概率的计算，大数律和中心极限定理的内容。

【了解】：分块矩阵与行列式的拉普拉斯展开定理，线性（子）空间的定义和基本性质，同构的概念，柯西不等式，线性变换与矩阵语言的对应，相似与合同变换，二次型中的惯性定理，矩阵的正定性。概率论中随机变量函数及其分布的计算，随机变量的独立性，大数律和中心极限定理的意义。

【一般了解】： 数域，欧氏空间的同构，线性变换下的不变量，正定矩阵的判定。概率论中的公理化定义，多维随机变量的边缘分布，切比雪夫不等式。

【难点】：线性空间与线性变换的引入和数学定义，基矢与坐标，线性变换的表出对基矢选择的依赖，以及对一些常见代数术语与概念的理解与掌握。概率论中随机变量和随机变量函数及其分布的计算，对中心极限定理的把握。

（重点掌握、掌握、了解、一般了解四个层次可根据教学内容和对学生的具体要求适当减少，但不得少于两个层次）

制定人：陆汉涛 审定人： 批准人：

日 期：2016年6月24日