中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截. 【解析】 【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；

（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】

（1）在△ABC中，ACB180BBAC180375390. 在RtABC中，sinB3AC，所以ACABsin372515（海里）. AB5答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.

（2）过点C作CMAB，垂足为M，由题意易知，D、C、M在一条直线上. 在RtACM中，CMACsinCAM15412，53AMACcosCAM159.

5MD在Rt△ADM中，tanDAM，

AM所以MDAMtan7636. 所以ADAM2MD292362917，CDMDMC24.

设缉私艇的速度为v海里/小时，则有经检验，v617是原方程的解.

24917，解得v617. 16v答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），

1 ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． 2（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

∠BPE=

（2）通过观察、测量、猜想：

BF= ，并结合图2证明你的猜想； PEBF的PE（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）【解析】

BF1BF1 （3）tan PE2PE2解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合， ∴OB=\"OP\" ， ∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO． ∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）

BF1．证明如下： PE2如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB． ∵∠OBC=∠OCB =450， ∴∠NBP=∠NPB． ∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE． ∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

1∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF． 2∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．

∵∠BPE=

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF=\"MF\" ，即BF=∴BF=

1BM． 21BF1． PE， 即

2PE2（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

1BM， ∠MBN=∠EPN． 2∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN．

由（2）同理可得BF=∴

BMBN． PEPNBNBM2BF=tan，即=tan． ， ∴

PNPEPE在Rt△BNP中，tan=∴

BF1=tan． PE2（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE．

（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出

BF1的结论． PE21BM， 2（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由可求得

BMBNBN和Rt△BNP中tan=即PEPNPNBF1=tan． PE2

3．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．

【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速 【解析】

分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.

详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，

∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，

50PH∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH==3=503，

tanPAH3∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°， 则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=503+50，

50∵60千米/时=米/秒，∴时间t=

350350=3+33≈8.1（秒）， 503即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．

点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E． （1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；

（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）秒、

45；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：023669 秒、 ． 25【解析】 【分析】

（1）根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝

A'B'CE可求出CE，即可计算△CED′的面积，SABCE＝SABD′﹣SCED′； A'D'CD'（2）分类讨论，当0≤x≤

1111时和当＜x≤4时，分别列出函数表达式； 55（3）分类讨论，当AB′＝A′B′时；当AA′＝A′B′时；当AB′＝AA′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】

解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm， ∴BD＝10cm，

根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，

∵tan∠B′D′A′＝∴

A'B'CE A'D'CD'6CE 823cm， 28634522（cm2）； 222∴CE＝

∴S ABCE＝SABD′﹣SCED′＝（2）①当0≤x＜∴S△CD′E＝∴y＝②当

113时，CD′＝2x+2，CE＝（x+1）， 52323x+3x+， 22133345×6×8﹣x2﹣3x﹣＝﹣x2﹣3x+； 22222114≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝（8﹣2x） 5314864128282x＝x2﹣x+． 23333（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；

∴y②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+∵AN2+A′N2＝36， ∴（6﹣

1824，A′M＝NB＝， 5524218）+（2x+）2＝36， 55669669，x＝（舍去）； 55解得：x＝③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2 ∴36+4x2＝（6﹣解得：x＝

1824，A′M＝NB＝， 5524218）+（2x+）2 553． 2综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、

3669秒、． 25

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

5．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点P是y轴上的一个动点，连接PA，试求5PA+4PC的最小值；

（3）如图②，若直线l经过点T（﹣4，0），Q为直线l上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式． 【答案】（1）y为y3x3或y4323xx3；（2）5PA+4PC的最小值为18；（3）直线l的解析式843x3.

4【解析】 【分析】

（1）设出交点式，代入C点计算即可 （2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D，易证△CDP∽△COB，得到比例式以5PA+4PC＝5（PA+

PCPD4，得到PD=PC，所BCOB54PC）＝5（PA+PD），当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝55（PA+PD）＝5AE最小，利用等面积法求出AE=

18，即最小值为18 （3）取AB中点F，5以F为圆心、FA的长为半径画圆, 当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°，即∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q，∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个；此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G，利用cos∠QFT求出QG，分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可 【详解】

解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣2，0）、B（4，0） ∴y＝a（x+2）（x﹣4） 把点C（0，3）代入得：﹣8a＝3 ∴a＝﹣

3 8333（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3 884∴抛物线解析式为y＝﹣

（2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D ∴∠CDP＝∠COB＝90° ∵∠DCP＝∠OCB ∴△CDP∽△COB ∴

PCPD BCOB∵B（4，0），C（0，3）

∴OB＝4，OC＝3，BC＝OB2OC2=5 ∴PD＝

4PC 54PC）＝5（PA+PD） 5∴5PA+4PC＝5（PA+

∴当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小 ∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC ∴S△ABC＝∴AE＝

11AB•OC＝BC•AE 22ABOC6318 BC55∴5AE＝18

∴5PA+4PC的最小值为18．

（3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆 当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，

∴只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90° ∴∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q

∵当Q在⊙F上运动时（不与A、B重合），∠AQB＝90° ∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个 此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G ∴∠FQT＝90°

∵F为A（﹣2，0）、B（4，0）的中点 ∴F（1，0），FQ＝FA＝3 ∵T（﹣4，0） ∴TF＝5，cos∠QFT＝

FQ3 TF5FG3 ∵Rt△FGQ中，cos∠QFT＝

FQ5∴FG＝

39FQ＝ 55294912222∴xQ＝1﹣，QG＝FQFG3

5555①若点Q在x轴上方，则Q（，） 设直线l解析式为：y＝kx+b

4125534kb0k∴44 12 解得：kb5b35∴直线l：y3x3 4②若点Q在x轴下方，则Q（，∴直线l：y4512） 53x3 43x3或4综上所述，直线l的解析式为y3yx3

4

【点睛】

本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论

6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CFAE，连接DE，DF，EF. FH平分EFB交BD于点H.

（1）求证：DEDF； （2）求证：DHDF：

（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）EF2AB2HM，证明详见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据正方形性质， CFAE得到DEDF.

（2）由△AED≌△CFD，得DEDF.由ABC90，BD平分ABC， 得DBF45.因为FH平分EFB，所以EFHBFH.由于

DHFDBFBFH45BFH,DFHDFEEFH45EFH, 所以DHDF.

（3）过点H作HNBC于点N，由正方形ABCD性质，得

BDAB2AD22AB.由FH平分EFB，HMEF,HNBC，得

HNB90，所以BHHMHN.因为HBN45，由EFHN2HN2HM.

sin45DF2DF2DH，得EF2AB2HM.

cos45【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ADCD，EADBCDADC90. ∴EADFCD90. ∵CFAE。 ∴△AED≌△CFD. ∴ADECDF.

∴EDFEDCCDFEDCADEADC90. ∴DEDF.

（2）证明：∵△AED≌△CFD， ∴DEDF. ∵EDF90， ∴DEFDFE45.

∵ABC90，BD平分ABC， ∴DBF45. ∵FH平分EFB， ∴EFHBFH.

∵DHFDBFBFH45BFH,

DFHDFEEFH45EFH, ∴DHFDFH. ∴DHDF.

（3）EF2AB2HM.

证明：过点H作HNBC于点N，如图，

∵正方形ABCD中，ABAD，BAD90， ∴BDAB2AD22AB.

∵FH平分EFB，HMEF,∴HMHN.

HNBC，

HNB90， ∵HBN45，∴BHHN2HN2HM.

sin45∴DHBDBH∵EF2AB2HM.

DF2DF2DH，

cos45∴EF2AB2HM. 【点睛】

本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.

7．3米/秒 =65.88千米/小时>60千米/小时．

此车超过限制速度．…4分

8．如图①,在菱形ABCD中,B60 ，AB4.点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AD向终点D运动，过点P作PQAC交边AB于点Q，过点P向上作

PN//AC，且PN3PQ，以PN、PQ为边作矩形PQMN.设点P的运动时间为t2（秒），矩形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S. （1）用含t的代数式表示线段PQ的长. （2）当点M落在边BC上时，求t的值. （3）当0t1时，求S与t之间的函数关系式，

（4）如图②,若点O是AC的中点，作直线OM.当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，直接写出t的值

【答案】（1）PQ23t；（2）

42 ；（3）193t2403t163 ；（4） t 或

358t ． 7【解析】 【分析】

（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，证出△APQ是等腰三角形，得出PF=QF，PF=PA•sin60°=3t，即可得出结果；

（2）当点M落在边BC上时，由题意得：△PDN是等边三角形，得出PD=PN，由已知得PN=3PQ=3t，得出PD=3t，由题意得出方程，解方程即可； 2（3）当0＜t≤结果；当

43PQ=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN，即可得出时，PQ=23t，PN=

524＜t＜1时，△PDN是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t，5∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，FN=3NE=3（5t-4），S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积，即可得出结果；

4时，△ACD是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG是5△MNH的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；

（4）分两种情况：当0＜t≤当

EFOFEF2t4＜t≤2时，由平行线得出△OEF∽△MEQ，得出，即，EQMQ3tEF3t523t3t223t3t2解得EF=，得出EQ=3t，由三角形面积关系得出方程，解方

4t24t2程即可． 【详解】

（1）∵在菱形ABCD中，∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形， ∴∠CAD=60°， ∵PQ⊥AC，

∴△APQ是等腰三角形，

∴PF=QF，PF=PA•sin60°=2t×∴PQ=23t；

3=3t， 2（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：

由题意得：△PDN是等边三角形， ∴PD=PN， ∵PN=33PQ=×23t=3t， 22∴PD=3t， ∵PA+PD=AD， 即2t+3t=4， 解得：t=

4． 54时，如图1所示： 5（3）当0＜t≤

PQ=23t，PN=

33PQ=×23t=3t， 22S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2； 当

4＜t＜1时，如图3所示： 5

∵△PDN是等边三角形，

∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°， ∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4， ∴FN=3NE=3（5t-4），

∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积=63t2-2×即S=-19t2+403t-163； （4）分两种情况：当0＜t≤

1×3（5t-4）2=-19t2+403t-163， 24时，如图4所示： 5

∵△ACD是等边三角形， ∴AC=AD=4， ∵O是AC的中点，

∴OA=2，OG是△MNH的中位线， ∴OG=3t-（2-t）=4t-2，NH=2OG=8t-4， ∴△MNH的面积=解得：t=当

111MN×NH=×23t×（8t-4）=×63t2， 2232； 34＜t≤2时，如图5所示： 5

∵AC∥QM， ∴△OEF∽△MEQ，

EFOFEF2t∴，即， EQMQ3tEF3t23t3t2解得：EF=，

4t223t3t2∴EQ=3t，

4t21123t3t2∴△MEQ的面积=×3t×（3t）=×63t2，

234t2解得：t=

8； 72或3综上所述，当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，t的值为

8． 7【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．

9．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F.

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠BCO=【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．

（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解． 试题解析：证明:连接OD ∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点 ∴OD‖AC ∴DE⊥AC

(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD 在Rt△BFO中，∠ABC=30°

3. 913OB, BF=OB 22∵BD=DC, BF=FD，

∴OF=∴FC=3BF=

33OB 21OBOF32. 在Rt△OFC中，tan∠BCO=

FC339OB2点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=键．

1333OB，BF=OB，FC=3BF=OB是解题关222

10．已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=(2)如图2,当tan∠ABC=

3BF时，求的值；

CF51时,过D作DH⊥AE于H,求EHEA的值； 2(3)如图3,连AD交BC于G,当FG2BFCG时,求矩形BCDE的面积

【答案】(1)【解析】 【分析】

1 ；（2）80；（3）100. 7(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=

3FK3,设FK=3a,AK=5a，可求得BF=a,故得出

5AK5BF1；（2）过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，得△EGA∽△EHD，CF7利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED，故可求出矩形的面积. 【详解】

解：(1)过A作AK⊥BC于K, ∵sin∠BEF＝∴

33,sin∠FAK＝, 55FK3, AK5设FK=3a,AK=5a, ∴AK=4a,

∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴BK=CK=4a, ∴BF=a, 又∵CF=7a, ∴

BF1 CF7 (2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED， ∵∠AGE=∠DHE=90°, ∴△EGA∽△EHD, ∴

EHED， EGEA∴EHEAEG·ED,其中EG=BK, ∵BC=10,tan∠ABC＝cos∠ABC＝1， 22， 520， 5∴BA＝BC· cos∠ABC＝BK= BA·cos∠ABC＝∴EG=8,

另一方面：ED=BC=10, ∴EH·EA=80

2028 55(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T, ∵BC∥KT, ∴

BFAFFG， KEAEEDBFKEFGED ，同理：FGDECGDTBFFG， FGCGKEED ， DEDT∵FG2= BF·CG ∴∴ED2= KE·DT ∴

KECD， BEDT∴KE·DT ＝BE2， ∴BE2＝ED2 ∴ BE=ED

∴S矩形BCDE1010100

又∵△KEB∽△CDT,∴

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.