非线性闭环汽车电动助力转向系统稳定性分析

2008年1月

森　林　工　程

FORESTENGINEERING

Vol124No11Jan.,2008

非线性闭环汽车电动助力转向系统稳定性分析

李　强,何　仁

1

2

(1.浙江科技学院,杭州　310023;2.江苏大学,江苏镇江　212013)

　　摘　要:建立基于魔术轮胎公式的驾驶员—装备EPS系统汽车闭环系统非线性操纵动力学模型,在此基础上运用现代非线性动力学理论对该模型在自治情况下进行非线性动力学特性分析和数值仿真,指出分岔速度对闭环系统非线性运动稳定性的影响规律,分析EPS系统参数对闭环系统Hopf分岔速度的影响,着重研究了EPS系统的电动机的转动惯量参数对闭环系统Hopf分岔速度的影响。

关键词:非线性闭环系统,电动助力转向系统,Hopf分岔,稳定性

中图分类号:U46111　　文献标识码:A　　文章编号:1001-005X(2008)01-0037-04

AnalysisofStabilityforNonlinearClosed2loopVehicleEquippedwithElectricPowerSteeringSystemΠLiQiang(Zhe2jiangUniversityofScienceandTechnology,Hangzhou310023),HeRen(JiangsuUniversity,ZhenjiangJiangsuProvince212013)

Abstract:Inthispaper,nonlinearhandlingdynamicsmodelofvehicleequippedwithelectricpowersteering(EPS)systemandclosed2loopsystemwasestablishedbasedonthemagictyreformula.Usingmodernnonlineardynamicstheory,themodelwascarriedoutontheanalysisofnonlineardynamiccharacteristicandthenumericalsimulationinautonomouscase.Theinfluencelawofbifurcationspeedonnonlinearmotionstabilityofclosed2loopsystemwasdiscussed.TheinfluenceofparametersoftheEPSsys2temonbifurcationspeedwasalsostudied.AtlasttheinfluenceofmomentofinertiaofmotoronthespeedofHopfwasinvestigatedindetails.

Keywords:nonlinearclosed2loopsystem;electricpowersteeringsystem;Hopfbifurcation;stability

　　由于动力转向系统具有转向操纵轻便、灵活,

汽车设计时对转向器结构形式选择的灵活性大等优点,自20世纪50年代以来,在国外汽车上得到普遍采用。与传统的液压动力转向相比,电动助力转向(ElectricPowerSteering,简称EPS)系统具有一系列的优点:节能环保、对寒冷气候的适应性好、增强了转向随动性、改善了回正特性、提高了操纵稳定性、易于调整助力特性、易于包装和装配、易

[1,2]

于维护与保养问题。

[3-5]

文献等都对EPS进行了稳定性分析,但是均未从系统与控制理论的角度定量地揭示驾驶员———装备EPS汽车闭环系统运动稳定性的内在规律和相互联系。本文建立驾驶员装备EPS汽车闭环非线性系统,以此为研究对象,应用李雅普诺夫一次近似定理,在线性范围内分析了EPS参数的特征根轨迹,并在线性范围内分析了EPS参数,

如电动机的转动惯量等参数对车辆系统Hopf分岔速度的影响。1　汽车闭环系统操纵动力学模型111　汽车开环系统模型

本文采用的是汽车操纵稳定性理论分析中常见的具有横摆运动、侧向运动的二自由度线性模型,建立如图1所示,虽然此模型只考虑两个自由度,但汽车横摆运动、侧向运动的主要特征在此简化模型中能够得到较好的体现,对理论分析具有较大的实用意义。

[6]

根据文献,建立汽车开环系统模型:

・

ωr)=2Ffcosδ+2Frm(v+u

Izωr=2aFfcosδ-2bFr

・

式中:m为整车质量;汽车在t时刻在OX轴上的

分量为u;在OY轴上的分量为v;ωr为汽车的横摆角速度;δ为最终作用于前轮的转向角;Ff和

Fr分别为单个前轮和后轮的侧向力;Iz为绕垂直

　　收稿日期:2007-07-04

　　基金项目:江苏省“六大人才高峰”基金项目资助(E-2002-12)　　第一作者简介:李　强(1979-),男,江苏溧阳人,工学博士。研究方向:汽车综合节能与环保技术。

轴的转动惯量;a和b分别为质心到前轴和后轴的

距离。

根据几何关系可以分别得出前后轮的侧偏角:

ωr)Πu]-δaf=arctan[(v+α

　　　　38森　林　工　程第24卷

为视觉时滞的时间常数。这种模型不能反映驾驶员

的全部响应,比如随着驾驶员熟练程度的提高,对驾驶员的转向越不易失去控制,为此,Tousi等对K作了如下的修正:

K=

C1C2+Ld

式中:C1,C2为拟和常数。113　电动助力转向系统模型

EPS系统实际上是一个由许多非线性环节组成

图1　二自由度汽车简化模型

的复杂系统,其非线性环节包括转向轴、电动机和齿条之间的摩擦、间隙以及死区等,为分析的方便起见,依据牛顿运动定律,建立了五自由度EPS动力学模型:

θθSW+KSWθISWSW+BSWSW=TS+KSWθθm=Tm-Km(θImm+Bmm-G

θmU=LaI+RaI+Ke

mrxr+Brxr=

¨

・・

・¨

・

¨

・

ωr)Πu]ar=arctan[(v-b

式中:af与ar分别为前后轮的侧偏角。

根据半经验魔术轮胎公式,前后轮的侧向力

分别为:

Ff=Sy+Dsin{Carctan[B(af-Sx)(1-E)

+EarctanB(af-Sx)]}

Fr=Sy+Dsin{Carctan[B(ar-Sx)(1-E)

[7]

xrrp

xr)rp

GKmxr

(θ)+m-Grprp

+EarctanB(ar-Sx)]}KSWxr2KKPxr(θ)-()-δSW-rprpGtGt

式中:Sx为侧向力水平方向的漂移;Sy为侧向力垂直方向的漂移;D为峰值因子,表示侧向力的

最大值;C为侧向力的形状因子;B为刚度因子;E为侧向力的曲率因子,表示曲线最大值附近的形状。

Sx、Sy、B、C、D、E为魔术轮胎公式常数,由试验结果拟合而得。

这里取Sx=010rad,Sy=0N,B=91302rad

-1

δ+BKPδ=KKP(IW

¨・

xr

)-TW-δGt

式中:Isw为转向盘以及转向轴总成的转动惯量;θsw为转向盘的角位移;Bsw为转向轴的阻尼系数;

Ksw为转矩传感器扭杆刚度;Ts为转向盘输入转

矩;xr为齿条的位移;rp为转向小齿轮半径;Im为电动机(包括电动机电枢、电磁离合器以及蜗杆)的转动惯量;θm为电动机角位移;Bm为电动机电枢轴和减速器主动齿轮轴阻尼系数;Tm为电动机输出转矩;Km为电动机电枢轴和减速器主动齿轮轴总成刚度;G为蜗轮蜗杆减速器的减速比;U为电动机端电压;La为电动机回路的总电感;I为电动机电流;Ra为电动机回路的总电阻;Ke为电动机的反电动势常数;mr为齿条质量;Br为齿条粘性阻尼系数;Kkp为主销刚度;Gt为齿条到转向轮的传动比;Iw为转向轮绕主销的转动惯量;

Bkp为转向轮绕主销粘性阻尼系数;Tw为转向回正

,C=1130,D=-5125kN,E=-01801。

考虑动坐标系与地面坐标系间的关系,得到方程如下:

・

y=vcosφ+usinφ

φ=ωr

式中:φ为汽车航向角。112　驾驶员模型

・

在装备EPS汽车闭环系统非线性研究中,另一个需要考虑的重要因素是驾驶员对汽车的控制行

[8]

为。在汽车动力学分析中常用的驾驶员模型为:

・δLd・pδp=-[K(y+y)+]

Tr

u

Tr

力矩。

由于电机产生电磁力矩Tm与电流I成正比:

Tm=KTI

式中:δp为试图作用于前轮的转向角,K为回路放大系数,Ld为驾驶员视觉前方预瞄的距离,Tr

式中:KT为电动机的电磁转矩系数,和Ke物理意

第1期李　强等:非线性闭环汽车电动助力转向系统稳定性分析39　　

=A(γ)

(2142)

义不同,但数值是一样的。

同时也可设定电动机电磁转矩正比于转矩传感器所测得的转矩,假定电动机的控制是在理想情况下,即

Tm=KaKSW(θSW-xr)rp

・

9f9x

　　则上式可写为:

x

0

)x+g(x,γ)x=A(γ

式中:A(γ)是非线性函数f(x,γ)在平衡点x0附近计算而得的雅可比矩阵,g(x,γ)在平衡点x0的邻域内是x的高阶无穷小量。

3　自治情况下汽车电动助力转向系统非线性动力

　　这里Ka为转向助力增益,它和汽车的车速有关,描述了汽车在不同车速下转向系统的助力特性

[2]

。

转向前轮的回正力矩通过轮胎拖距与侧向力计

学数值分析

根据运动稳定性定理

[9～10]

可知:对于A(γ)

算,即

ξTW=Ff・

式中:ξ为轮胎的拖距。114　汽车闭环系统模型

的所有特征值都有负实部时,系统在x0附近是稳定的。这些特征值是该模型物理参量的函数,当模型物理参量变化时,它们以复杂的方式在复平面内运动。为了便于分析,限制这些物理参数中,除一个以外,其余参数均为固定的情况,将该变化的参数称为分岔参数。因为车速u在闭环系统的稳定性判定中起着举足轻重的作用,故选择为车速u分岔参数。

不同的车速u,矩阵A(u)有不同的特征值,根据李雅普诺夫一次近似理论,在一定条件下,可以从一次近似方程的稳定性推断原方程的稳定性,若一次近似方程系数矩阵A(u)的所有特征值实部均为负,则原方程的未扰运动稳定;若一次近似方程至少有一特征值实部为正,则原方程的未扰运动不稳定。

由于MATLAB软件的强大的矩阵计算功能,加之其便捷直观的程序设计方法,因此数值仿真采用MATLAB软件编程实现

[101]

引入δd(t)表示外界对前轮的周期性扰动,这种扰动源自于周期性的路面横向变形或是转向机构的影响。

δd(t)=Qcos(ωdt)

式中:Q为扰动的幅度,ωd为扰动的角频率。

δt=δp(t)+δd(t)　　综合上述模型,可得到驾驶员———装备EPS

汽车闭环系统模型,如公式(2128)所示,该模型既反映了整车系统与外界的相互作用,即为汽车与外界的输入与输出关系;同时又包含了EPS与汽车之间的相互作用关系。

・

)　x∈R13x=f(x,γ

(2128)

式中:f为所要分析汽车闭环非线性动力学系统;

x为变量,x=(v,ωr,y,,ωp,δp,ωsw,θsw,ωm,θm,vr,xr,I);γ为汽车的物理参数(m,

IZ,a,b等)。

。分岔参数u的极值

umax表示保证系统稳定的最高车速,可用如下数值

2　自治情况下汽车电动助力转向系统非线性动力

方法计算得到:先从导致稳定微分系统的较低的u

值开始计算,则A(u)的所有特征值都在复平面的左边,然后逐步增大u并计算相应的A(u)的特征值,那么当有一个或多个特征值穿过虚轴时,系统便得到其极限速度umax。此时A的特征值或为实数,或为共轭复数。当一个实根首先越过虚轴将导致一个指数型的不稳定系统;当一对共轭的根首先越过虚轴则会转变为振荡行为,通常称为Hopf分岔。此时A(u)的特征方程有一对纯虚根,其余的是实部均为负的复根,则系统处于临界失稳状态,由这一条件对应的汽车车速为临界失稳车速,或称为Hopf分岔速度。

通过计算得到临界失稳车速umax=3812mΠs=137152kmΠh,这时最大实部对应的特征值λ=

学特性分析

为了便于分析被动系统的分岔特性,先令电动助力转向系统动力学方程中的控制输入为等于零,则该方程表示被动系统的动力学方程。与此相对应的当控制输入不为零时,表示主动系统的动力学方程。根据李雅普诺夫运动稳定性定理,可以判定系统在平衡点附近的行为。为了分析系统的稳定性,将闭环系统在平衡点处进行线性化处理,得到线性系统模型,并在线性域内研究系统参数对闭环系统稳定性的影响。

根据李雅普诺夫一次近似定理可得:

　　　　40森　林　工　程第24卷

010032±211039i,如图2所示,显然在u=umax时

满足系统出现Hopf分岔条件,当u>umax时系统将分岔出现周期解或极限环。

图3　电动机的转动惯量对系统Hopf分岔速度的影响

了EPS参数的特征根轨迹,并在线性范围内分析

图2　系统特征值最大实部与车速的关系

经过计算发现,汽车质心的位置(质心到前轴的距离a和质心到后轴的距离b)、前轮的侧向力Ff和后轮的侧向力Fr、驾驶员视觉预视距离Ld、视觉时滞的时间常数Tr、转向盘以及转向轴总成的转动惯量Isw、转矩传感器扭杆刚度Ksw、电动机的转动惯量Im、电动机电枢轴和减速器主动齿轮轴阻尼系数Bm、电动机回路的总电感La、蜗轮蜗杆减速器的减速比G等参数对系统Hopf分岔速度uamax的影响较大。限于篇幅,本文只对车辆系统Hopf分岔速度影响较大的电动助力转向系统部分

了EPS参数,如电动机的转动惯量等参数对车辆系统Hopf分岔速度的影响,对EPS关键部件的选型以其与整车操纵稳定性能的优化匹配具有一定的指导作用,为后续操纵稳定性和EPS控制方法的研究提供基础,对于驾驶员———装备EPS汽车闭环系统的研究是全面评价和预估装备有装备EPS汽车的操纵稳定性能的一条有效途径。并从系统与控制理论的角度定量地揭示驾驶员———装备EPS汽车闭环系统运动稳定性的内在规律和相互联系。

【参　考　文　献】

[1]王其东,杨孝剑,陈无畏,等.电动助力转向系统的建模及控

制[J].农业机械学报,2004,35(5):1-4.

[2]何　仁,李　强,郭孔辉.LQG理论的电动助力转向系统最优

参数进行分析与计算,虽然电动机的电气参数是不

能任意选择的,而且各部件的粘性摩擦系数也不可随意调整,但是从仿真角度完全能分析出电动机的电气参数对系统Hopf分岔速度的影响,这不仅对EPS的关键部件电动机的选型提供一定理论依据,

控制[J].农业机械学报,2007,38(2):17-21.

[3]何　仁,徐建平.电动助力转向系统的稳定性分析[J].江苏

大学学报(自然科学版),2004,25(4):294-297.

[4]申荣卫,施国标,林　逸,等.电动助力转向系统稳定性分析

与研究[J].汽车技术,2006(4):9-12.

[5]左　丽,李夏青,吴文江.电动助力转向系统的稳定性分析

[J].北京汽车,2006(3):20-23.

[6]余志生.汽车理论[M].北京:机械工业出版社,1991.[7]秦　民,林　逸,闵海涛,等.非线性闭环汽车系统直线行驶

而且对EPS和整车操纵稳定性能的优化匹配具有

一定的指导作用。

电动机的转动惯量对系统Hopf分岔速度的影响情况如图3所示。由图3可见,系统Hopf分岔速度uamax随着电动机的转动惯量Im的增大而减少。驾驶员装备EPS汽车闭环系统在不同EPS参数下,系统Hopf分岔速度uamax随参数值不同而改变,在实际的EPS设计中,可以尝试多种物理参数组合的结果,从而选择符合工程实际需要的最佳组合。4　结束语

本文建立了基于汽车二自由度的开环系统、驾驶员模型、魔术轮胎模型,将其耦合为驾驶员装备EPS汽车闭环非线性系统,以此为研究对象,应用李雅普诺夫一次近似定理,在线性范围内分析

稳定性分析[J].汽车工程,2002,24(6):520-523,519.

[8]LegouisT.,LanevilleA.,bourassa,P.etal.Characterizationofdy2

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[9]盛可鉴.风荷载作用下的钢管混凝土拱桥非线性稳定性分析

[J].森林工程,2006,22(2):53-54.

[10]廖晓昕.动力系统的稳定性理论和应用[M].北京:国防工

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[责任编辑:杨学春]