安徽省宿松县高三数学一轮复习 第10讲 任意角的三角函数及诱导公式教案-人教版高三全册数学教案

船创作

1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 教2．三角函数 学（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 目（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正标 切）。 从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同命角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 题预测2017年高考对本讲的考察是： 走1．题型是1道选择题和解答题中小过程； 向 2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。 教学多媒体课件 准备 一．知识梳理： 1．任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2．终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即教β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都学相等。 过程 区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|3．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角的弧度数的绝对值是：55≤α≤}=[，]。 6666 l，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径。 r角度制与弧度制的换算主要抓住180rad。 弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）。 180弧长公式：l||r（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：S4．三角函数定义 11lr||r2。 22在的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离ra2b20.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMPb；OPrcosOMaMPb；tan。 OPrOMay P(x,y)利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦,记做sin,即O a的终边 siny； （2）x叫做的余弦,记做cos,即x cosx； （3）yy叫做的正切,记做tan,即tan(x0)。 xx5．三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。 以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点O M A x y a角的终P T P(x,y)，过点P作PMx轴交x轴于点M，根据三角函数的定义：|MP||y||sin|；|OM||x||cos|。 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定： 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有 OMxcos 同理,当角的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点， 规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标。 这样,无论那种情况都有MPysin。像MP、OM这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。 如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT,我们有 tanATy x我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。 6．同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。 几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示) 同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。 ②1sin1sin． ③当x0,时，有sinxxtanx。 227．诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一：sin(2k)sin，cos(2k)cos，其中kZ 2诱导公式二： sin(180)sin； cos(180)cos 诱导公式三： sin()sin； cos()cos 诱导公式四：sin(180)sin； cos(180)cos 诱导公式五：sin(360)sin； cos(360)cos －  sin  －sin 2 －sin 2kkZ 2sinsin －sin  coscos cos cos －cos －cos cos  sin （1）要化的角的形式为k180（k为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”； （3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)； （4）sinx二．典例分析 考点一：角的集合表示及象限角的判定 典题导入 已知角α＝45°， (1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； k(2)设集合M＝xx＝2kN＝xx＝4cosxcosxcosxsin；x。 44444 ×180°＋45°，k∈Z，  ×180°＋45°，k∈Z，判断两集合的关系．  (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°， 76545得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－， 360360从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. (2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN. 由题悟法 1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置． 以题试法 1．(1)给出下列四个命题： ①－3π4π是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°43是第一象限角．其中正确的命题有( ) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 (2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限． 解析：(1)－3π4ππ4π是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角正4333确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确． π(2)由已知＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)， 2π则－π－2kπ<－α<－－2kπ(k∈Z)， 2π即－π＋2kπ<－α<－＋2kπ(k∈Z)， 2π故2kπ<π－α<＋2kπ(k∈Z)， 2所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C (2)一 考点二：三角函数的定义 典题导入 (1)已知角α的终边上有一点P(t，t＋1)(t>0)，则tan α的最小值为( ) A．1 B．2 21C. 2 D.2 2π2π(2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为sin，cos，则角33α的最小正值为( ) A.C.5π 65π 3 B.D.2π 311π 6t2＋11 (1)根据已知条件得tan α＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tan α取得最tt小值2. 2π3(2)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α32π11π＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为. 66 (1)B (2)D 由题悟法 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 以题试法 2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点Px，( ) A.3 C.3 3 B．±3 D．±3 33，则tan α＝24(2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等5于( ) 11A．－ 4 B.11 4C．－4 D．4 322解析：(1)选B 由|OP|＝x＋＝1， 41得x＝±，tan α＝±3. 2(2)选C 由题意可知，cos α＝又m<0，解得m＝－4. 考点三：扇形的弧长及面积公式 典题导入 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ (1)设圆心角是θ，半径是r， 2r＋rθ＝10则1θ·r2＝42m4＝－， 25m＋9 r＝1，⇒θ＝8 r＝4，(舍)，1θ＝，2 1故扇形圆心角为. 2(2)设圆心角是θ，半径是r， 则2r＋rθ＝40. S＝θ·r2＝r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r－10)＋100≤100， 当且仅当r＝10时，Smax＝100. 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大． 若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 解析：设圆半径为R，则圆内接正方形的对角线长为2R， ∴正方形边长为2R，∴圆心角的弧度数是答案：2 2R21212R＝2. 由题悟法 1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． 1122．记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR.其中R是扇形的半径，l是弧22长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积． 以题试法 3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？ 1解：设扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，根据已知条件lR＝S扇，则扇形的22S扇2S扇周长为：l＋2R＝＋2R≥4S扇，当且仅当＝2R，即R＝S扇时等号成立，此时l＝RR2S扇，α＝＝2， 因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值． 考点四：同角三角函数的基本关系式 典题导入 1 (1)(2012·江西高考)若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( ) tan θ11A. B. 541C. 3 1D. 2lR(2)已知sin(3π＋α)＝2sin3π＋α，则sin α－4cos α＝________. 5sin α＋2cos α21 (1)∵tan θ＋＝4， tan θ∴sin θcos θ＋＝4， cos θsin θ22sinθ＋cosθ2∴＝4，即＝4， cos θsin θsin 2θ1∴sin 2θ＝. 2(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin3π＋α得tan α＝2. 2tan α－42－41原式＝＝＝－. 5tan α＋25×2＋26法二：由已知得sin α＝2cos α. 2cos α－4cos α1原式＝＝－. 5×2cos α＋2cos α61 (1)D (2)－ 6 在(2)的条件下，sinα＋sin 2α＝________. sinα＋2sin αcos αtanα＋2tan α解析：原式＝sinα＋2sin αcos α＝＝＝222sinα＋cosαtanα＋122228. 58答案： 5 由题悟法 sin α221．利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan αcos α可以实现角α的弦切互化． 2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)． 3．注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋cosα，sinα＝1－cosα，cosα＝1－sinα. 以题试法 4．(1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则的值为( ) A．3 C．1 B．－3 D．－1 cos α1－sinα22222222＋2sin α1－cosα2(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0， cos α2sin αcos α2sin α故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. |cos α||sin α|－cos α－sin α(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sinα＝4sinβ，① tanα＝9tanβ，② 由①÷②得：9cosα＝4cosβ，③ 222222①＋③得：sinα＋9cosα＝4， ∵cosα＋sinα＝1， 362∴cosα＝，即cos α＝±. 84答案：(1)B (2)±6 42222考点五：三角函数的诱导公式 典题导入 3πtanπ＋αcos2π＋αsinα－2 (1)＝________. cos－α－3πsin－3π－αsin(2)已知A＝kπ＋αcoskπ＋α＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( ) sin αcos α B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} (1)原式 πtan αcos αsin－2π＋α＋2 ＝ cos3π＋α[－sin3π＋α]πtan αcos αsin＋α2tan αcos αcos α＝＝ －cos αsin α－cos αsin αtan αcos αsin αcos α＝－＝－·＝－1. sin αcos αsin αsin αcos α(2)当k为偶数时，A＝＋＝2； sin αcos αk为奇数时，A＝－sin αcos α－＝－2. sin αcos α (1)－1 (2)C 由题悟法 利用诱导公式化简求值时的原则 (1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． (2)“大化小”，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数． (3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． (4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． 以题试法 5．(1)(滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A．－3 2 B.3 21C.3－ 21D.3＋ 2(2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β，a，b均为非零实数，若f(2 012)＝－1，则f(2 013)等于________． 解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－33＋3＝. 22(2)由诱导公式知f(2 012)＝asin α＋bcos β＝－1， ∴f(2 013)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asin α＋bcos β)＝1. 答案：(1)B (2)1 考点六：诱导公式在三角形中的应用 典题导入 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos (π－B)，求△ABC的三个内角． 由已知得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B两式平方相加得2cosA＝1， 即cos A＝22或cos A＝－. 2223时，cos B＝，又角A、B是三角形的内角， 222(1)当cos A＝ππ7π∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝. 4612(2)当cos A＝－23时，cos B＝－， 223π5π又角A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，不合题意． 46ππ7π综上知，A＝，B＝，C＝. 4612由题悟法 1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2πABCπA＋BC－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sin C，cos＝sin 等； 2222222．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小． 以题试法 6．在三角形ABC中， (1)求证：cos2A＋B＋cos＝1； 222Cπ3(2)若cos＋Asinπ＋Btan (C－π)<0，求证：三角形ABC为钝角三角形． 22证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，则所以cos故cos2A＋BπC2＝－， 22A＋BCπC＝cos－＝sin， 22222A＋B＋cos＝1. 22Cπ3(2)若cos＋Asinπ＋Btan (C－π)<0， 22则(－sin A)(－cos B)tan C<0， 即sin Acos Btan C<0， ∵在△ABC中，00，tan C>0 tan C<0，或cos B>0， ∴B为钝角或C为钝角，故△ABC为钝角三角形． 板 书 设 计 教学反思