2022年青海省西宁市中考数学一模试卷
1. 下列四个数中，负整数是( ) A. −𝜋
B. −3
C. 0
D. −√2
2. 2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000.其中数
据1412000000用科学记数法表示为( )
A. 14.12×108 B. 0.1412×1010 C. 1.412×109 D. 1.412×108
3. 下列各式中，正确的是( ) A. √9=±3 C. √3+√7=√10 4. 下列说法正确的是( )
A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数 B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 C. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，𝑠甲=0.3，𝑠乙=0.02，则甲组数据更稳定 5. 已知一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘的图象过点(−1,4)，则下列结论正确的是( ) A. 𝑘=2
C. 图象不经过第一象限
B. 𝑦随𝑥增大而增大
D. 函数的图象一定经过点(1,0)
2
2
B. √(−6)2=−6 D. √6÷√2=√3
6. 甲、乙两人沿着总长度为10𝑘𝑚的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提
前12分钟走完全程.设乙的速度为𝑥𝑘𝑚/ℎ，则下列方程中正确的是( )
A.
1010−𝑥1.2𝑥
=12
B. 1.2𝑥−
10
10
𝑥
=0.2
C. 1.2𝑥−
10
10𝑥
=12
D.
1010−𝑥1.2𝑥
=0.2
𝐴𝐵=𝐵𝐶，在△𝐴𝐵𝐶中，以𝐵为圆心，适当长为半径画弧，7. 如图，
分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点𝑀，𝑁，分别以𝑀，𝑁为圆心，大于𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧在∠𝐴𝐵𝐶内部交于点𝐷，作射线𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，点𝐹为𝐵𝐶的中点，连接𝐸𝐹.若𝐵𝐸=𝐴𝐶=2，则△𝐶𝐸𝐹的周长为( )
1
2
A. 2√3+1 B. √5+1
C. √5+2
2
D. 4
𝐴𝐶为矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线，𝐶𝐷=4，已知𝐴𝐷=3，点𝑃沿折线𝐶−8. 如图，
𝐴−𝐷以每秒1个单位长度的速度运动(运动到𝐷点停止)，过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，则△𝐶𝑃𝐸的面积𝑦与点𝑃运动的路程𝑥间的函数图象大致是( )
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A.
B.
C.
D.
9. 计算|−3|−(−2)=______．
10. 函数𝑦=𝑥−2的自变量𝑥的取值范围是______．
𝑥−3<4
11. 不等式组{3𝑥+2≥1的解集为______ ．
53
12. 某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了如图所示的折线统
计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是______个．
13. 已知𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0的两个根，则𝑚2𝑛+𝑚𝑛2=______．
⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，∠𝐵𝐴𝐶=60°，若⊙𝑂的半径𝑂𝐶为2，14. 如图，
则弦𝐵𝐶的长为______ ．
⏜的长为______． 15. 如图，面积为16的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，则𝐴𝐵
16. 矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是_____．
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过点𝐴作𝐴𝐵//𝑥轴，交双曲线𝑦=于点𝐵.若点𝐴与点𝐵关17. 已知点𝐴为直线𝑦=−2𝑥上一点，𝑥于𝑦轴对称，则点𝐴的坐标为______ ．
4
18. 二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象的一部分如图
所示．已知图象经过点(−1,0)，对称轴为直线𝑥=1.下列结论：①𝑎𝑏𝑐<0；②4𝑎+2𝑏+𝑐=0；③若抛物线经过点(−3,𝑛)，则关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑛=0(𝑎≠0)的两根分别是−3，5；其中正确结论的序号是______．
19. 计算：(−3)−1+(√5−1)0−2𝑐𝑜𝑠60°． 20. 解方程：𝑥−1−1=𝑥2−1． 21. 先化简，再求值：1−𝑎−2÷
𝑎+4
𝑎2−4
，其中𝑎
𝑎2+8𝑎+16
𝑥
3
1
=√2−2．
22. 在三张形状、大小、质地都相同的卡片上各写一个数字，分别为−√2，√3，2√2，现将
三张卡片放入一个不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
(1)第一次抽到写有正数的卡片的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法求两次抽出的卡片上数字之积为有理数的概率，并列出所有等可能的结果．
23. 如图，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，𝑂𝐴=𝑂𝐷，∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐷𝐶𝑂，𝐸为𝐵𝐶延长线上一点，过点𝐸作
𝐸𝐹//𝐶𝐷，交𝐵𝐷的延长线于点𝐹． (1)求证△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶；
(2)若𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=3，𝐶𝐸=1，求𝐸𝐹的长．
24. 如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐶分别在𝑥轴，𝑦轴上，𝐷是𝐵𝐶的
中点，过点𝐷的反比例函数𝑦=(𝑥>0)的图象交𝐴𝐵于点𝐸，连接𝐷𝐸.若𝑂𝐷=5， cos∠𝐶𝑂𝐷=5．
𝑥
𝑘
3
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点𝑃在𝑥轴上，且以𝑃，𝐴，𝐸为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出𝑃点坐标．
∠𝐴𝐶𝐷=90°，⊙𝑂在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，点𝑂在𝐶𝐷上，作⊙𝑂，使⊙𝑂与𝐴𝐷相切于点𝐵，25. 如图，
与𝐶𝐷交于点𝐸，过点𝐷作𝐷𝐹//𝐴𝐶，交𝐴𝑂的延长线于点𝐹，且∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐹． (1)求证：𝐴𝐶是⊙𝑂的切线；
(2)若𝑂𝐶=3，𝐷𝐸=2，求tan∠𝐹的值．
26. 如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，求证：𝐴𝐵+𝐴𝐶>2𝐴𝐷．
(1)甲说：不可能出现△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，所以此题无法解决；
乙说：我们可以延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸，𝐶𝐸，因为𝐵𝐷=𝐷𝐶，就可以直接______(平行四边形判定的文字描述).所得到四边形𝐴𝐵𝐸𝐶是平行四边形．请写出此处的依据：以𝐴𝐶=𝐵𝐸，在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵+𝐵𝐸>𝐴𝐸，即𝐴𝐵+𝐴𝐶>2𝐴𝐷． (2)请根据乙提供的思路解决下列问题：
如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=3，𝐴𝐷=2.求△𝐴𝐵𝐶的面
积．
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抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点𝐴(−2,0)和点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶(0,4)，27. 如图，
顶点为点𝐷，直线𝑥=1是抛物线的对称轴，且与直线𝐵𝐶交于点𝐸． (1)求抛物线的解析式；
(2)点𝐹是直线𝐵𝐶上方抛物线上的一点，𝐸𝐹，连接𝐷𝐹，若△𝐹𝐷𝐸的面积等于，求点𝐹的坐标； (3)平行于𝐷𝐸的一条动直线𝑙与直线𝐵𝐶相交于点𝑃，与抛物线相交于点𝑄，若以𝐷，𝐸，𝑃，𝑄为顶点的四边形是平行四边形，求点𝑃的坐标．
3
2
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答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴.−𝜋是负无理数； B.−3是负整数；
C、0既不是正数，也不是负数； D、−−√2是负无理数数． 故选：𝐵．
根据实数的分类可以解答本题．
本题考查了实数的分类，小于0的整数是负整数，本题熟记负整数的概念是解题的关键．
2.【答案】𝐶
【解析】解：1412000000=1.412×109． 故选：𝐶．
根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，求解即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
3.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、√9=3，故A不符合题意； B、√(−6)2=6，故B不符合题意；
C、√3与√7不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意； D、√6÷√2=√3，故D符合题意； 故选：𝐷．
利用算术平方根的运算法则，二次根式的化简的法则，二次根式的加法法则及二次根式的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】𝐶
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【解析】解：𝐴.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意； C.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；
22
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，𝑠甲=0.3，𝑠乙=0.02，则乙组数据更稳定，故原说法错误，
不合题意； 故选：𝐶．
依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】𝐷
【解析】解：把点(−1,4)代入一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘，得4=−𝑘−𝑘， 解得𝑘=−2， ∴𝑦=−2𝑥+2，
A、𝑘=−2，选项A不符合题意；
B、𝑘=−2<0，𝑦随𝑥增大而减小，选项B不符合题意；
C、∵𝑘=−2<0，𝑏=2>0，∴一次函数的图象过第一、二、四象限，不过第三象限，选项C不符合题意；
D、当𝑦=0时，−2𝑥+2=0，解得：𝑥=1，
∴一次函数𝑦=−2𝑥+2的图象与𝑥轴的交点为(1,0)，选项D符合题意． 故选：𝐷．
把点(−1,4)代入一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘，求得𝑘的值，根据一次函数图象与性质的关系进行判断即可． 本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘、𝑏为常数，𝑘≠0)是一条直线，当𝑘>0，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑘<0，𝑦随𝑥的增大而减小；图象与𝑦轴的交点坐标为(0,𝑏)，与𝑥轴交点(−,0)．
𝑘
𝑏
6.【答案】𝐷
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【解析】解：12分钟=
12ℎ60
=0.2ℎ，
设乙的速度为𝑥 𝑘𝑚/ℎ，则甲的速度为1.2𝑥 𝑘𝑚/ℎ， 根据题意，得：故选：𝐷．
设乙的速度为𝑥 𝑘𝑚/ℎ，则甲的速度为1.2𝑥 𝑘𝑚/ℎ，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于𝑥的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
1010
−𝑥1.2𝑥
=0.2，
7.【答案】𝐵
【解析】解：由作图可知，𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的平分线， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，
∴𝐸是𝐴𝐶的中点，𝐶𝐸=𝐴𝐸=𝐴𝐶=1，∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∴𝐵𝐶=√𝐵𝐸2+𝐶𝐸2=√22+12=√5， ∵点𝐹为𝐵𝐶的中点， ∴𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐹𝐵𝐸， ∴𝐸𝐹=𝐵𝐹，
∴𝐸𝐹+𝐶𝐹=𝐵𝐹+𝐶𝐹=𝐵𝐶=√5， ∴𝐸𝐹+𝐶𝐹+𝐶𝐸=√5+𝐶𝐸=√5+1， 即△𝐶𝐸𝐹的周长为√5+1， 故选：𝐵．
由作图可知，𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，由𝐴𝐵=𝐵𝐶，可得𝐶𝐸=𝐴𝐸=𝐴𝐶=1，∠𝐵𝐸𝐶=90°，即得
2根据𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中位线，得𝐸𝐹//𝐴𝐵，有𝐸𝐹=𝐵𝐹，从而可得△𝐶𝐸𝐹的𝐵𝐶=√𝐵𝐸2+𝐶𝐸2=√5，周长为√5+1．
本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握基本的尺规作图方法，能熟练应用等腰三角形性质和勾股定理．
1
1
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8.【答案】𝐷
【解析】解：∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷=3，𝐶𝐷=4， ∴𝐴𝐶=√32+42=5， ①当0≤𝑥<5时， ∵𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴𝑃𝐸//𝐴𝐵， ∴△𝐶𝑃𝐸∽△𝐶𝐴𝐵，即∵𝑆△𝐶𝐴𝐵=
𝐴𝐵×𝐵𝐶2𝑆△𝐶𝑃𝐸𝑆△𝐶𝐴𝐵
=
𝐶𝑃2
(𝐶𝐴)，
=6，
𝑦𝑥2∴=() 65∴𝑦=25𝑥2， ②当5≤𝑥≤8时，
𝑃𝐸=𝐶𝐷=4，𝐶𝐸=𝐷𝑃=8−𝑥，
∴𝑦=𝑃𝐸⋅𝐶𝐸=×4×(8−𝑥)=16−2𝑥，
综上，当0≤𝑥<5时，函数为二次函数图象，且𝑦随𝑥增大而增大，当5≤𝑥≤8时，函数为一次函数图象，且𝑦随𝑥增大而减小， 故选：𝐷．
1
2
12
6
9.【答案】5
【解析】解：|−3|−(−2)， =3+2， =5． 故答案为：5．
根据绝对值的性质，有理数减法，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
10.【答案】𝑥≠2
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【解析】解：根据题意𝑥−2≠0， 解得𝑥≠2． 故答案为：𝑥≠2． 此题对函数𝑦=
3
中𝑥的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0的问题． 𝑥−2本题主要是考查函数自变量𝑥的取值问题，比较简单．
11.【答案】1≤𝑥<7
【解析】解：解不等式𝑥−3<4，得：𝑥<7， 解不等式
3𝑥+25≥1，得：𝑥≥1，
则不等式组的解集为1≤𝑥<7， 故答案为：1≤𝑥<7．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】183
【解析】 【分析】
此题考查了中位数和折线统计图，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．把这组数据从小到大排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 【解答】
解：由题图可知，把数据从小到大排列的顺序是：180、182、183、185、186，这组数据一共5个数，中位数是第三个：183． 故答案是183．
13.【答案】−6
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【解析】解：∵𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0的两个根， ∴𝑚+𝑛=3，𝑚𝑛=−2， ∴𝑚2𝑛+𝑚𝑛2 =𝑚𝑛(𝑚+𝑛) =−2×3 =−6， 故答案为：−6．
根据𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0的两个根，可以得到𝑚+𝑛和𝑚𝑛的值，然后将所求式子因式分解，再将𝑚+𝑛和𝑚𝑛的值代入计算即可．
𝑏
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确𝑥1+𝑥2=−，𝑥1⋅𝑥2=𝑎．
𝑎
𝑐
14.【答案】2√3
【解析】 【分析】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，并求出𝐵𝐷．
先作𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，由于∠𝐵𝐴𝐶=60°，根据圆周角定理可求∠𝐵𝑂𝐶=120°，
又𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，根据垂径定理可知∠𝐵𝑂𝐷=60°，𝐵𝐷=𝐵𝐶，在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐷中，利用含30度的直角三
2角形的性质求出𝑂𝐷，然后得出𝐵𝐷，进而可求𝐵𝐶． 【解答】
解：如右图所示，作𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷， ∵∠𝐵𝐴𝐶=60°， ∴∠𝐵𝑂𝐶=120°， 又∵𝑂𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝑂𝐷=60°，𝐵𝐷=𝐵𝐶，∠𝑂𝐵𝐷=30°，
2∴𝑂𝐷=2𝑂𝐵=1，
∴𝐵𝐷=√𝑂𝐵2−𝑂𝐷2=√22−1=√3
1
1
1
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∴𝐵𝐶=2𝐵𝐷=2√3， 故答案是2√3．
15.【答案】√2𝜋
【解析】解：连接𝑂𝐴、𝑂𝐵， ∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐷𝐶=𝐴𝐷， ⏜=𝐵𝐶⏜=𝐶𝐷⏜=𝐴𝐷⏜ ∴𝐴𝐵
∴∠𝐴𝑂𝐵=4×360°=90°， ∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷面积为16， ∴𝐴𝐵=4， ∴𝐴𝑂=2√2，
⏜的长为90𝜋×2√2=√2𝜋， ∴𝐴𝐵180故答案为√2𝜋.
连接𝑂𝐴、𝑂𝐵，证明∠𝐴𝑂𝐵=90°，根据勾股定理求出𝐴𝑂，再根据弧长公式求出即可． 本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠𝐴𝑂𝐵的度数和𝑂𝐴的长是解此题的关键．
1
16.【答案】100
【解析】 【分析】
设矩形的宽为𝑥，则长为(20−𝑥)，𝑆=𝑥(20−𝑥)=−𝑥2+20𝑥=−(𝑥−10)2+100，当𝑥=10时，𝑆最大值为100．
本题考查了二次函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键． 【解答】
解：设矩形的宽为𝑥，则长为(20−𝑥)，
𝑆=𝑥(20−𝑥)=−𝑥2+20𝑥=−(𝑥−10)2+100， 当𝑥=10时，𝑆最大值为100． 故答案为100．
17.【答案】(√2,−2√2)或(−√2,2√2)
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【解析】解：因为点𝐴为直线𝑦=−2𝑥上，因此可设𝐴(𝑎,−2𝑎)， 则点𝐴关于𝑦轴对称的点𝐵(−𝑎,−2𝑎)， 由点𝐵在反比例函数𝑦=的图象上可得 2𝑎2=4， 解得𝑎=±√2 所以𝐴(√2,−2√2)或(−√2,2√2)， 故答案为：(√2,−2√2)或(−√2,2√2).
根据点𝐴为直线𝑦=−2𝑥上，可设𝐴(𝑎,−2𝑎)，由点𝐴与点𝐵关于𝑦轴对称，于是可得𝐵(−𝑎,−2𝑎)，再根据反比例函数图象上点的坐标关系得出答案．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质，理解一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
4𝑥18.【答案】①③
【解析】解：①由图象可知：𝑎<0，𝑐>0，−∴𝑎𝑏𝑐<0，故①符合题意．
②由于图象过点(−1,0)，且对称轴为直线𝑥=1， ∴图象也过点(3,0)， ∴𝑥=2时，𝑦>0，
即4𝑎+2𝑏+𝑐>0，故②错误． ③由于图象过点(−3,𝑛)，
由对称性可知：图象也过)(5，𝑛)， 令𝑦=𝑛，
∴𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑛有两个解，分别是−3，5， 故③符合题意． 故答案为：①③．
根据图象可知𝑎<0，𝑏>0，𝑐>0，再由对称性可知图象经过(3,0)和(5,𝑛)．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
𝑏2𝑎>0，
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19.【答案】解：(−3)−1+(√5−1)0−2𝑐𝑜𝑠60°
=−3+1−2× =−3+1−1 =−3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
121
20.【答案】解：方程两边都乘以(𝑥+1)(𝑥−1)，
去分母得𝑥(𝑥+1)−(𝑥2−1)=3， 即𝑥2+𝑥−𝑥2+1=3， 解得𝑥=2，
检验：当𝑥=2时，(𝑥+1)(𝑥−1)=(2+1)(2−1)=3≠0， ∴𝑥=2是原方程的解， 故原分式方程的解是𝑥=2．
【解析】本题考查了分式方程的求解，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；(2)解分式方程一定注意要验根．
方程两边都乘以最简公分母(𝑥+1)(𝑥−1)，化为整式方程，然后解方程，最后进行检验．
21.【答案】解：1−𝑎−2÷
𝑎+4𝑎2−4
𝑎2+8𝑎+16𝑎−2(𝑎+4)
=1−⋅
𝑎+4(𝑎+2)(𝑎−2)𝑎+4
=1−
𝑎+2𝑎+2−𝑎−4
=
𝑎+2=−𝑎+2，
当𝑎=√2−2时，原式=−2√2−2+22
2
=−√2．
【解析】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将𝑎的值代入化简后的式子即可解答
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本题．
22.【答案】3
【解析】解：(1)第一次抽到写有正数的卡片的概率是； 故答案为：；
(2)根据题意画图如下：
2323
2
−√2 √3 2√2 −√2 2 −√6 −4 √3 −√6 3 2√6 2√2 −4 2√6 8 共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上数字之积为有理数的有5种， 则两次抽出的卡片上数字之积为有理数的概率是． (1)根据概率公式直接求解即可；
(2)根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次抽出的卡片上数字之积为有理数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5923.【答案】(1)证明：在△𝐴𝑂𝐵和△𝐷𝑂𝐶中，
∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐷𝐶𝑂{∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐷𝑂𝐶， 𝑂𝐴=𝑂𝐷
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶(𝐴𝐴𝑆)；
(2)解：由(1)得：△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐷𝐶=2， ∵𝐵𝐶=3，𝐶𝐸=1， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸=4， ∵𝐸𝐹//𝐶𝐷，
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∴△𝐵𝐶𝐷∽△𝐵𝐸𝐹， ∴𝐸𝐹=𝐵𝐸， 即
2𝐸𝐹𝐷𝐶
𝐵𝐶34
=，
8
解得：𝐸𝐹=．
3【解析】(1)由𝐴𝐴𝑆证明△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝑂𝐶即可；
(2)由全等三角形的性质得𝐴𝐵=𝐷𝐶=2，再证△𝐵𝐶𝐷∽△𝐵𝐸𝐹，得
𝐷𝐶𝐸𝐹=𝐵𝐸，即可求解．
𝐵𝐶
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐷中，𝑂𝐷=5，cos∠𝐶𝑂𝐷=𝑂𝐷=5，
∴𝑂𝐶=𝑂𝐷=3， 根据勾股定理得，𝐶𝐷=4， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是矩形， ∴𝐵𝐶//𝑂𝐴， ∴𝐷(4,3)，
∵点𝐷在反比例函数𝑦=的图象上， ∴𝑘=4×3=12， ∴反比例函数的解析式为𝑦=
(2)由(1)知，𝐶𝐷=4， ∵点𝐷是𝐵𝐶的中点， ∴𝐵𝐶=2𝐶𝐷=8， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是矩形， ∴∠𝑂𝐴𝐵=90°，𝐵𝐶//𝑂𝐴， ∵𝑂𝐶=3， ∴𝐵(8,3)， ∴𝐴(8,0)，
12； 𝑥𝑘𝑥
35𝑂𝐶3
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∴点𝐸的横坐标为8， 而𝐸在反比例函数𝑦=∴𝐸(8,)， ∴𝐴𝐸=2，
∵点𝑃在𝑥轴上，且以𝑃，𝐴，𝐸为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∴𝐴𝑃=𝐴𝐸=2，
∴点𝑃的坐标为(8−,0)或(8+,0)， 即𝑃(
1319
或(,0)． ,0)223
5
32323
332
12
的图象上， 𝑥【解析】(1)由四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是矩形，得到𝐵𝐶=𝑂𝐴，𝐴𝐵=𝑂𝐶，根据cos∠𝐶𝑂𝐷=，求出𝑂𝐶=3，𝐶𝐷=4，得到𝐷(4,3)，代入反比例函数的解析式即可；
(2)先求出点𝐵坐标，进而求出点𝐴，𝐸坐标，再判断出𝐴𝑃=𝐴𝐸，进而求出𝐴𝑃，即可求出答案． 此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，求出点𝐷的坐标是解本题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵𝐷𝐹//𝐴𝐶，
∴∠𝐹=∠𝑂𝐴𝐶， ∵∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐹， ∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐴𝐶， ∴𝑂𝐴是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线， ∵⊙𝑂与𝐴𝐷相切于点𝐵， ∴𝑂𝐵是⊙𝑂的半径，𝑂𝐵⊥𝐴𝐷， ∵∠𝐴𝐶𝐷=90°， ∴𝑂𝐶⊥𝐴𝐶， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴点𝐶在⊙𝑂上， ∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐶是⊙𝑂的切线；
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(2)解：由(1)知：𝑂𝐵=𝑂𝐶=3，𝑂𝐶是⊙𝑂的半径， ∴𝐶𝐸是⊙𝑂的直径， ∴𝐶𝐸=2𝑂𝐶=6，
∴𝐶𝐷=𝐶𝐸+𝐷𝐸=6+2=8，𝑂𝐷=𝑂𝐸+𝐷𝐸=𝑂𝐶+𝐷𝐸=3+2=5， 在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝐷中，由勾股定理得：𝐵𝐷=√𝑂𝐷2−𝑂𝐵2=√52−32=4， ∵∠𝑂𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=90°，∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶， ∴△𝑂𝐷𝐵∽△𝐴𝐷𝐶， ∴𝐴𝐶=𝐶𝐷，
∴𝐴𝐶=𝐵𝐷=4=6， ∵∠𝐹=∠𝑂𝐴𝐶，
∴𝑡𝑎𝑛𝐹=tan∠𝑂𝐴𝐶=𝐴𝐶=6=2．
【解析】(1)由平行线的性质得∠𝐹=∠𝑂𝐴𝐶，证∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐴𝐶，则𝑂𝐴是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，再由切线的性质得𝑂𝐵⊥𝐴𝐷，然后由角平分线的性质得𝑂𝐵=𝑂𝐶，即可得出结论；
(2)由(1)知𝐶𝐸是⊙𝑂的直径，求出𝐶𝐷=8，𝑂𝐷=5，再由勾股定理得𝐵𝐷=4，然后证△𝑂𝐷𝐵∽△𝐴𝐷𝐶，求出𝐴𝐶=6，然后由锐角三角函数定义求解即可．
本题考查了切线的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△𝑂𝐷𝐵∽△𝐴𝐷𝐶是解题的关键．
𝑂𝐶
3
1
𝑂𝐵⋅𝐶𝐷
3×8
𝑂𝐵
𝐵𝐷
26.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】解：(1)如图1中，∵𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐷𝐸，
∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐶是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐸， ∵𝐴𝐵+𝐵𝐸>𝐴𝐸， ∴𝐴𝐵+𝐴𝐶>2𝐴𝐷．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(2)如图2，延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸、𝐶𝐸，
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∵𝐵𝐷=𝐷𝐶，𝐷𝐸=𝐴𝐷， ∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐶是平行四边形． ∴𝐵𝐸=𝐴𝐶，𝐴𝐸=2𝐴𝐷=4．
在△𝐴𝐵𝐸中，三条边长度的3，4，5是勾股数， ∴△𝐴𝐵𝐸是直角三角形． ∴△𝐴𝐵𝐸面积为×3×4=6．
根据平行四边形的性质可知△𝐴𝐵𝐶的面积等于△𝐴𝐵𝐸面积，即△𝐴𝐵𝐶的面积为6． (1)证明四边形𝐴𝐵𝐸𝐶是平行四边形，可得结论；
(2)如图2，延长𝐴𝐷至点𝐸，使得𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸、𝐶𝐸，证明∠𝐴𝐵𝐸=90°，可得结论． 本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，同时考查了阅读理解能力，模仿运用已知材料的解题方法的解题的关键．
1227.【答案】解：(1)∵抛物线经过𝐴(−2,0)，对称轴为直线𝑥=1，
∴点𝐵坐标为(4,0)，
0=4𝑎−2𝑏+𝑐
将(−2,0)，(4,0)，(0,4)代入𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐得{0=16𝑎+4𝑏+𝑐，
4=𝑐
2
𝑎=−
2解得{𝑏=1，
𝑐=4
1
1
∴𝑦=−2𝑥2+𝑥+4．
(2)设直线𝐵𝐶解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛， 将(4,0)，(0,4)代入𝑦=𝑚𝑥+𝑛得{𝑚=−1解得{，
𝑛=4
0=4𝑚+𝑛
，
4=𝑛
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∴𝑦=−𝑥+4，
将𝑥=1代入𝑦=−𝑥+4得𝑦=3， ∴点𝐸坐标为(1,3)，
∵𝑦=−𝑥2+𝑥+4=−(𝑥−1)2+， ∴点𝐷坐标为(1,)，
2∴𝐷𝐸=−3=，
∵△𝐹𝐷𝐸的面积等于𝐷𝐸⋅|𝑥𝐹−𝑥𝐷|=，
22∴|𝑥𝐹−𝑥𝐷|=2，即点𝐹横坐标为3或−1， ∵点𝐹在直线𝐵𝐶上方， ∴点𝐹横坐标为3，
将𝑥=3代入𝑦=−𝑥2+𝑥+4得𝑦=， 2∴点𝐹坐标为(3,). 2(3)由(2)得𝐷𝐸=，
2∴当𝑃𝑄=时符合题意， 如图，点𝑃在线段𝐵𝐶上，
32
35
1
52
1
3
92
329
12
12
92
设点𝑄坐标为(𝑡,−𝑡2+𝑡+4)，则点𝑃坐标为(𝑡,−𝑡+4)，
2∴𝑃𝑄=−2𝑡2+𝑡+4−(−𝑡+4)=2， 解得𝑡=1或𝑡=3， ∴点𝑃坐标为(3,1)． 如图，点𝑃在点𝑄下方，
1
3
1
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𝑃𝑄=−𝑡+4−(−𝑡2+𝑡+4)=， 解得𝑡=2+√7或𝑡=2−√7，
∴点𝑃坐标为(2+√7,2−√7)或(2−√7,2+√7)，
综上所述，点𝑃坐标为(3,1)或(2+√7,2−√7)或(2−√7,2+√7).
【解析】(1)由抛物线经过点𝐴及抛物线对称轴为直线𝑥=1可得点𝐵坐标，通过待定系数法求解． (2)根据点𝐵，𝐶坐标求出𝐵𝐶直线解析式，从而可得𝐷𝐸的长度，根据△𝐹𝐷𝐸的面积等于可得|𝑥𝐹−𝑥𝐷|的长度，进而求解．
(3)由平行四边形的性质可得𝑃𝑄=𝐷𝐸，分别讨论点𝑃在上方或点𝑄在上方，设点𝑄坐标为(𝑡,−𝑡2+
2𝑡+4)，则点𝑃坐标为(𝑡,−𝑡+4)，由𝐷𝐸=𝑃𝑄求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握平行四边形的判定与性质．
132
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