九年级（上）期中数学试卷
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 一元二次方程x2-1=0的根为（ ）
A. x=1
C. x1=1，x2=−1 B. x=−1
D. x1=0，x2=1
2. 已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的
位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 3. ⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A. 42∘ A. (−1,2)
B. 138∘ B. (−1,−2)
C. 69∘ C. (1,−2)
D. 42∘或138∘ D. (1,2)
4. 抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（ ）
5. 在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A.
B.
C. D.
6. 徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生
产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（ ）
A. 8.5% B. 9% C. 9.5% D. 10%
7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c
＜0的解集是（ ）
A. x>−3 B. x<1
C. −3 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运 动，点C在x轴上运动，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（ ） A. 22 B. 1 C. 2 D. 2 AB、CD是互相垂直的两条直径，9. 如图，⊙O的半径为2， 点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的 第1页，共18页 中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（ ） A. π4 B. π2 C. π6 D. π3 10. 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说 法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（ ） x y … … -3 -6 -2 0 -1 4 0 6 1 6 … … A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 当m=______时，关于x的方程（m-2）xm2−2+2x-1=0是一元二次方程． 12. 若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______． 13. 已知扇形的圆心角为90°，半径为4，则围成的圆锥的底面半径为______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=45°，BC=4，以BC为直径 的⊙O与AC相交于点O，则阴影部分的面积为______． 15. 如图所示，抛物线y1=-x2与直线y2=-32x-92交于A， B两点．当x______时，y1＞y2． 16. 如图，半径为4的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的 边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______． 17. 如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形 的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是___________ 第2页，共18页 18. 19. 关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a，b，m均为常数，a≠0）， 则方程a（x+m+2）2+b=0的解是______． 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分） 20. 解下列方程： （1）x2-4x+4=0； （2）（2x-3）2=3（2x-3）； AC=BC，21. 已知：如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC 于点E，交BC的延长线于点F． 求证： （1）AD=BD； （2）DF是⊙O的切线． 22. 如图，抛物线y=12x2+bx-2与x轴交于A，B两点， 与y轴交于C点，且A（-1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图象直接写出当x为何值时y＞0？ 第3页，共18页 23. 如图1，将边长为8的正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF． 如 图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，写出一个一元二次方程，使它的两根分别是DH和CH的长． 24. 已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF． （1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：______或者______． （2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断． 第4页，共18页 25. 淮北市富强文体平价店以每件50元的价格购进800件某体育用品，第一个月以单 价80元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，将对剩余的体育用品一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元． （1）填表：（不需化简） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 ______ 40 ______ ______ 单价（元） 80 销售量（件） 200 （2）如果该店希望通过销售这批体育用品获利9000元，那么第二个月的单价应是 多少元？ 26. 如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对 角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E． （1）试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论； （2）连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形； （3）设AP=x，△PBE的面积为y， ①求出y关于x 函数关系式； ②当点P落在AC的何处时，△PBE的面积最大，此时最大值是多少？ 第5页，共18页 答案和解析 1.【答案】C 【解析】 解：x2-1=0， 移项得：x2=1， 1， 两边直接开平方得：x=±故选：C． 首先把-1移到方程的右边，再两边直接开平方即可． 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 2.【答案】A 【解析】 解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm， ∴3.5＜4， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故选：A． 根据直线和圆的位置关系的内容判断即可． 本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交． 3.【答案】D 【解析】 解：∵⊙O中，∠AOB=84°， ， ∴弦AB所对的劣弧的度数为84° 84°=42°， ∴此弧所对的圆周角为∠AOB=× -84°=276°，∴弦AB所对的优弧的度数为360°， ∵∠AOB=84° 276°=138°． ∴此弧所对的圆周角为× 第6页，共18页 故选：D． 因为在一个圆中一条弦所对应的弧有两条弧，应该有两个圆周角，所以本题应分两种情况讨论． 本题考查的是圆周角定理，解答此题时要注意在一个圆中一条弦所对应的弧有两条，不要漏解． 4.【答案】D 【解析】 解：∵顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键． 5.【答案】D 【解析】 解：二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选：D． 根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标． 6.【答案】D 【解析】 解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1-x）（1-x）=81， 解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去） 即x=10% 故选：D． 设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可． 第7页，共18页 这是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x%后就变为原来的（1±x%）x%）2倍． 倍，调整2次就是（1±7.【答案】C 【解析】 解：根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（-3，0）、（1，0）， 而ax2+bx+c＜0，即y＜0， 故-3＜x＜1． 故选：C． 根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式ax2+bx+c＜0的解集． 此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当y＜0时，利用图象得出不等式解集是解题关键． 8.【答案】B 【解析】 解： ∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC， 由垂线段最短可知当AC⊥x轴才有可能最短， 当AC⊥x轴时，可知AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故选：B． 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 第8页，共18页 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，确定出点A的位置是解题的关键． 9.【答案】A 【解析】 解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N， ∴四边形ONPM是矩形， 又∵点Q为MN的中点， ∴点Q为OP的中点， 则OQ=1， 点Q走过的路径长=故选：A． OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式即可． 本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式． 10.【答案】C 【解析】 =． 解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6， ①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确； ②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确； ③根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确； ④由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误． 正确的有①②③． 故选：C． 由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断． 第9页，共18页 主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等． 11.【答案】-2 【解析】 解：根据一元二次方程的定义，得， m2-2=2，且m-2≠0， 2，且m≠2 解得m=± m=-2． 故答案为：-2 根据一元二次方程的定义求得m的值，再进一步代入解方程即可． 此题主要是注意一元二次方程的条件：未知数的最高次数是二次，且系数不得为0． 12.【答案】k≤1且k≠0 【解析】 解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根， ∴△=b2-4ac≥0， 即：4-4k≥0， 解得：k≤1， ∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0， 故答案为：k≤1且k≠0． 根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 13.【答案】1 【解析】 解：设该圆锥底面圆的半径为r， 根据题意得2πr= ，解得r=1， 第10页，共18页 即该圆锥底面圆的半径为1． 故答案为：1． 设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr= ，然后解方程即可． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14.【答案】6-π 【解析】 解：连接OD、BD， ，∠A=45°， ∵∠B=90° ，BA=BC， ∴∠C=45° ∵BC为⊙O的直径， ， ∴∠BDC=90° ∵BA=BC， ∴DB=DC， ， ∴∠DBC=45°， ∴∠BOD=90° ∴阴影部分的面积=S△ADB-（S扇形BOD-S△BOD） =××4×4-=6-π， 故答案为：6-π． 连接OD、BD，根据阴影部分的面积=S△ADB-（S扇形BOD-S△BOD）计算． 本题考查的是扇形面积计算，掌握直角三角形的性质、扇形面积公式S= 是解题的关键． 15.【答案】-32＜x＜3 【解析】 +×2×2 解：解方程组得，，， ∴A（-，-），B（3，-9）， 第11页，共18页 ∴当-＜x＜3时，y1＞y2． 故答案为：-＜x＜3． 解方程组得到点A，B的坐标，根据函数的图象即可得到结论． 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用方程正确的求出点A，B的坐标． 16.【答案】43 【解析】 解：根据题意画出平移后的图形，如图所示： 设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD， 过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点， ∵平移前圆O与AC相切于A点， ∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°， ∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点， 即A′D与A′A为圆O的两条切线， ∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°， ∴△A′AD为等边三角形， ∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D， ∴∠OAE=∠OAA′-∠DAA′=30°， 在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=4， ， ∴AE=AO•cos30°=2， ∴AD=2AE=4， ∴AA′=4 则该直角三角板平移的距离为4故答案是：4 ． ． 根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D=A′A，再根据∠B′A′C′=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三 第12页，共18页 角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′=AD，且∠DAA′=60°，由∠OAA′-∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义求出AE的长，由AD=2AE可求出AD的长，即为平移的距离． 本题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是解题的关键． 17.【答案】10 【解析】 【分析】 此题能够结合图形确定其外接圆的圆心，再根据勾股定理计算其外接圆的半径.根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径=【解答】 解：由图可知：△ABC的外接圆半径=故答案为 【解析】 =. =. . 18.【答案】x3=0，x4=-3 解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=-1， 解得x=0或x=-3． 故答案为：x3=0，x4=-3． 把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 19.【答案】解：（1）x2-4x+4=0， （x-2）2=0， x-2=0， 即x1=x2=2； （2）（2x-3）2=3（2x-3）， （2x-3）2-3（2x-3）=0， （2x-3）（2x-3-3）=0， 2x-3=0或2x-6=0 x1=1.5，x2=3． 【解析】 第13页，共18页 （1）先分解因式，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 20.【答案】证明：（1）连接CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴CD⊥AB． ∵AC=BC， ∴AD=BD． （2）连接OD； ∵AD=BD，OB=OC， ∴OD是△BCA的中位线， ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴DF⊥OD． ∵OD为半径， ∴DF是⊙O的切线． 【解析】 （1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得． （2）连接OD，再证明OD⊥DE即可． 本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点．要注意的是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 21.【答案】解：（1）把A（-1，0）代入y=12x2+bx-2得12-b-2=0，解得b=-32， 所以抛物线解析式为y=12x2-32x-2． （2）当y=0时，12x2-32x-2=0， 整理得x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4， 所以B点坐标为（4，0）， 当x＜-1或x＞4时，y＞0． 【解析】 （1）将点A的坐标代入抛物线的解析式即可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式； 第14页，共18页 （2）令y=0得到关于x的方程，求得抛物线与x轴的交点，坐标，然后由y＞0可得到函数图象位于x轴的上方，故此可确定出自变量x的取值范围． 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 22.【答案】解：设DH=x，则CH=8-x， 8=4， 由翻折的性质，DE=12AD=12× EH=CH=8-x， 在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2， 即42+x2=（8-x）2， 解得x=3， 则DH=3，CH=5， 两根分别是DH和CH的长的一元二次方程为x2-8x+15=0． 【解析】 设DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再写出以两根分别是DH和CH的长的一元二次方程即可． 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，设出DH边长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点． ∠EAC=∠ABC 23.【答案】∠BAE=90°【解析】 解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC， 理由是：①∵∠BAE=90°， ∴AE⊥AB， ∵AB是直径， ∴EF是⊙O的切线； ②∵AB是直径， ， ∴∠ACB=90° ， ∴∠ABC+∠BAC=90° ∵∠EAC=∠ABC， ， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90° 即AE⊥AB， ∵AB是直径， ∴EF是⊙O的切线； （2）EF是⊙O的切线． 第15页，共18页 证明：作直径AM，连接CM， 则∠ACM=90°，∠M=∠B， ， ∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°∵∠CAE=∠B， ， ∴∠CAM+∠CAE=90° ∴AE⊥AM， ∵AM为直径， ∴EF是⊙O的切线． （1）求出∠BAE=90°，再根据切线的判定定理推出即可； （2）作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出，再根据切线的判定推出即可． ∠MAC+∠CAE=90° 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线． 24.【答案】80-x 200+10x 400-10x 【解析】 解：（1）填表： 时间 单价（元） 销售量（件） 第一周 80 200 第二周 80-x 200+10x 清仓时 40 400-10x 200+（80-x）（200+10x）+40×[800-200-（200+10x）]-800×50=9000， （2）80×x2-20x+100=0， 解得：x1=x2=10， 当x=10时，80-x=70． 答：第二个月的单价应是70元． 第16页，共18页 故答案为80-x，200+10x，400-10x． （1）第二个月的单价=第一个月的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：800-第一个月的销售量-第二个月的销售量； （2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可． 本题考查一元二次方程的应用；用列表格的方法得到第2个月的单价和销售量以及清仓时的销售量是解决本题的突破点；得到总利润的等量关系是解决本题的关键． 25.【答案】证：（1）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示． ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形， ∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°； 又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2； 又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°， ∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA）， ∴PE=PD； （2）∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP， ∴△APB≌△APD（SAS）， ∴PB=PD， ∴PE=PB， ∴△PBE为等腰三角形； （3）①∵AP=x， ∴BF=PG=22x，PF=1−22x， ∴S△PBE=BF⋅PF=22x(1−22x)=−12x2+22x． 即y=−12x2+22x（0＜x＜2）， ②y=−12x2+22x=−12(x−22)2+14． ∵a=−12＜0， ∴当x=22时，y最大值=14． 【解析】 第17页，共18页 （1）作辅助线：过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，构建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），然后由全等三角形的对应边相等证明PE=PD； （2）由正方形的四条边相等，对角线平分对角的性质证明△APB≌△APD（SAS），然后由全等三角形的对应边相等证明PB=PD；利用（1）的结论，由等量代换证明PE=PB，即△PBE为等腰三角形； （3）①利用△APB≌△APD的对应边相等知，BF=PG．在直角三角形AGP中，利用边角关系求得BF=PG的值，所以PF=AB-GP；然后根据三角形的面积公式求得关于y与x的函数关系式； ②根据①的函数关系式y= x的顶点式函数关系式求最值． 本题综合考查了二次函数的最值、正方形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是通过作辅助线：过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，构建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），另外在求二次函数的最值时，在初中阶段一般情况下是将函数的一般解析式转化为顶点式函数解析式，然后根据函数的性质求其解析式． 第18页，共18页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容