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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第１届
（ 1967 年于波兰的华沙）
【题１】质量 Ｍ＝ 0.2kg 的小球静置于垂直柱上，柱高 ｈ＝ 5m。一粒质量 ｍ＝ 0.01kg 、
以速度
0
＝ 500m/s 飞行的子弹水平地穿过球心。球落在
距离柱 s＝ 20m 的地面上。问子弹落在地面何处？子弹动
m
M
能中有多少转换为热能？
解：在所有碰撞情况下，系统的总动量均保持不变：
h
mv0
mv MV
s
其中 v 和 V 分别是碰撞后子弹的速度和小球的速 S
度 . 两者的飞行时间都是
t
2h g
1.01s
球在这段时间沿水平方向走过
20m的距离，故它在水平方向的速度
为：
V
20 1.01
19.8 （ m/s）
由方程 0.01 × 500＝ 0.01 v＋ 0.2 ×19.8 可求出子弹在碰撞后的速度为： v＝ 104m/s
子弹也在 1.01s 后落地，故它落在与柱的水平距离为
S＝vt ＝ 104×1.01 ＝ 105m
的地面上。
碰撞前子弹的初始动能为
1
2 2
mv
0
1250 J
球在刚碰撞后的动能为 1
2
MV 2 39.2 J
子弹在刚碰撞后的动能为 1 2
2
mv 54 J
与初始动能相比，两者之差为 1250 J － 93.2 J ＝ 1156.8 J
这表明原来动能的
92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在完
全弹性碰撞的情形下，动能是守恒的。而如果是完全非弹性碰撞，子弹将留在球内。
【题 2】右图（甲）为无限的电阻网 A
络，其中每个电阻均为 r ，求 Ａ、 Ｂ两点
r
r
r
r
间的总电阻。
r
r
r
r
解：如图（乙）所示
Ａ、 Ｂ两点间的总电阻应等于 Ｃ、 Ｄ
B
两点间的总电阻与电阻 ｒ的并联，再与ｒ串联
图（甲）
后的等效电阻。 如果网络是无限的，则 两Ａ、 Ｂ A
Ｃ
r
r r r
点间的总电阻应等于 Ｃ、 Ｄ 两点间的总电阻，设为
Ｒr
r
r
r
x。
根据它们的串并联关系有：
B
Ｄ
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R x
r
rRxR图（乙）
x r
解上式可得：
R1 5
x
2 r
【题 3】给定两个同样的球，其一放在水平面上，另一个以细线悬挂。供给两球相同的 热量，问两球温度是否趋于相同？说明你的理由（忽略各种热 量损失）
解答：如右图所示，球体受热，体积增大。放在水平面上 的球重心升高，克服重力做功要耗费一部分热量，于是剩下提 高球体温度的热量减少了些。以细线悬挂的球与之相反。结果 放在水平面上球的温度将稍小于以细线悬挂球的温度。 （这一差
别是很小的，对于半径为
10cm的铜球来说，相对差值约10 -7
【实验题】 测定石油的比热。为 K） 可供使用的物品有： 天平、 量热器、 温度计、 电源、 开关、导线、停表、电热器、容器、水和石油。 解答：把已知温度
t 1 和质量 m1 的水，与已知温度 t 2 和质量 m
2 的石油在量热器里混合， 测出混合物的温度
t 3。从包含一方放热和另一方吸热的方程中可算出石油的比热。
这是通常 测定石油比热的方法。
也可以先用电热器加热水，
再加热等量的石油， 并且及时观察温度的改变。
两条温度曲
线起始点的切线斜率与比热成反比关系，据此可以测定石油的比热。
【替换题】（为在校没有上过电学的学生而设。 ）密闭容器中装有一个大气压、温度为 ０℃的干燥空气 10 升，加入 3 克水后将系统加热到
100℃，求容器的压强。
解：在 100℃时，全部水都处于汽相。 3 克水是
1 6
摩尔（
18÷ 3＝ 6），它们在 100℃和１
atm 下的体积是：
22.4
1 373
6 273
5.11（升）㎏
由状态方程求出
1 摩尔水蒸气的压强：
6
1
6
22.4 p水气 10 273
373
解得： p水＝ 0.507 atm
由空气的状态方程：
1 p空
273
气
373
解得： p空＝ 1.366 atm 把两部分压强相加得到总压强为：
p
p空
p水＝ 1.366 atm ＋ 0.507 atm ＝ 1.873 atm
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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第 2 届
（ 1968 年于匈牙利的布达佩斯）
【题１】 在倾角为 30 的斜面上，质量为 0
2＝ m4 kg 的木块经细绳与质量为
1＝ m8 kg 、
半径为 r ＝ 5 cm 的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系
数 μ ＝ 0.2 ，忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。
解：如果绳子是拉紧，则圆柱体与木块一同加速运动， 设加速度为 a，绳子中的张力为
F，圆柱体与斜面之间
m1
m2
的摩擦力为 S，则圆柱体的角加速度为 a／r。
对木块有： m2a＝ m2 gsin α － μ m2gcos α ＋F
a
对圆柱体有： m1a＝m1gsin α － S－ F
S r ＝ Ia ／r
其中 I 是圆柱体的转动惯量， S r 是摩擦力矩。
解以上方程组可得
a g
(m1
m2 ) sin m2 cos
（1）
m1
mI 2
r
2
S
I m2 cos r
2
g
(m1 m2 )sin mI （ 2）
1 m2
r
2
(mI 1
F
m2 g
r
2
) cos
I r
2
sin
I （ 3）
m1 m2
r
2 2
均匀圆柱体的转动惯量为
I
m1r 2
代入数据可得 a＝ 0.3317 g＝ 3.25m/s
2
S＝ 13.01 N F＝ 0.196 N
讨论：系统开始运动的条件是
a＞ 0。把 a＞ 0 代入（ 1）式，得出倾角的极限
α 1 为：
tan
m2
1
m0.0667
1
m2
3
α0
/
1＝3 49
单从圆柱体来看， α 1＝０； 单从木块来看， α /
1＝ tg
-1
μ ＝ 11 190
如果绳子没有拉紧，则两物体分开运动，将
F＝ 0 代入（ 3）式，得出极限角为：
t a n 2
(1
m1 r 2I
) 3
0.6
α 2＝ 30 058
/
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圆柱体开始打滑的条件是 由此得出的 α 3 值与已得出的
出）
α 值相同。
圆柱体与木块两者的中心加速度相同，都为
S值（由（ 2）式取同样的动摩擦系数算
达到 μ m1gcos α ，
g（ sin α－ μ gcosα ）圆柱体底部的摩擦
力为 μ m1gcosα ，边缘各点的切向加速度为
a＝ μ （
m1 r I
2
） gcos α，
300 cm、温度为 0 C 的甲苯， 另一个杯里装有体积为
3
0
【题 2】 一个杯里装有体积为
110
cm 3
、温度为 100 C 0
的甲苯，两体积之和为 410 cm 3。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯
的体膨胀系数为 β＝ 0.001 （ C0
）
－１
，忽略混合过程中的热量损失。
解：若液体温度为
t V0 1 时的体积为 1，则在 0 C时的体积
为
VV1 10
1
t1
同理，若液体温度为
t 0
2 时的体积为 V2，则在 0 C 时的体积为
VV 20
21
t2
如果液体在 0 C0
时的密度为 d，则质量分别为
m1＝ V10d m2＝ V20d 混合后，液体的温度为
t
m1t1 m2 t2 m1 m2
在该温度下的体积分别为
V10（１＋ βt ）和 V20（１＋ β t ）。所以混合后的体积之和为
V10（１＋ β t ）＋ V20（１＋ β t ）＝ V10＋ V20＋ β （ V10＋ V20） t
＝ V 10＋ V20＋ β
m 1
m 2 m t 1 1
m 2 2 t d
m1 m2
＝ V 10＋ V20＋ β （
m1t1 m2 t2 d
d
）
＝V10＋β V10t 1＋ V20＋ β V20t 2＝V10 （１＋ β t 1）＋ V20（１＋ βt 2） ＝V1＋ V2
体积之和不变，在本题仍为 410 cm 3。当把多杯甲苯不断地加入进行混合，对任何数量
的甲苯这个结果都成立。
【题 3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内，以 45 0
角射
在半圆柱体的平面上（如右图） ，玻璃的折射率为 2 。试
问光线在何处离开圆柱体表面？
解：用角度 Ψ 描述光线在玻璃半圆柱体内 的位置如解图 2.3 所示。按照折射定律：
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sin 45 sin
得： sin
0
0
2
A
O
B
，
＝ 30
0
＝
所有折射光线与垂直线的夹角均为 30 ，有必要研究一下，当
0
Ψ 角从 0 增至
60 。
0
0
180 的过程中发生了什么现象。
不难看出， Ψ 角不可能小于 由解图 3.2
光线从玻璃射向空气全反射的临界角
sin
1
t
2 2
0 0
0
0
0
n
t
求出： ＝ 45 ，
0
则： Ψt ＝180 ― 60 ―45 ＝ 75
如果 Ψ 角大于 75，光线将离开圆柱体。随着
0
此时 Ψ t ＝ 90 ＋ 30 0＋45 0＝ 165 0
Ψ 角的增加，光线将再次发生全反射，
165 ― 75
0
0
0 故当： 75 0＜ Ψ ＜ 165 时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为 0 ＝ 90 。
【实验题】 参加者每人领取三个封闭的盒子， 以及交流电源（频率
50 HZ）和直流电源。
每个盒上有两个插孔。不许打开盒子，试
确定盒中元件的种类， 并测定其特性。 可供使用的是， 内阻和精度已知交流和直流仪器， 解：在任何一对插孔中都测不到电压，因此，盒子都不含有电源
先用交流， 再用直流测电阻， 有一盒给出相同的结果。 结论是： 该盒包含一个简单电阻， 其阻值由测量确定。 另一盒有极大的直流电阻， 值由 C
但对交流来说是导体。结论是：该盒包含一个电容，其电容
1 R
算得。
而交流电阻较大。 结论是： 该盒包含一个电阻和电
第三个盒子对交流和直流都是导体，
感，两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。
历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第 3 届
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（ 1969 年于捷克斯洛伐克的布尔诺）
【题 1】右图的力学系统由三辆车组成，质量分别为 （a）沿水平方向作用于
mA＝ 0.3kg ，mB＝ 0.2kg ，mC＝1.5kg 。
B
F
C
A
C车的力 F 很大。使 A、B 两车相对
C车保持静止。求
力
F 及绳子的张力。
（ b）C车静止，A、 B 两车的加速度及绳子的张力。
求 （忽略阻力和摩擦力，忽略滑轮和车轮的转动惯量）
解：（ a）A、B两车相对 C车保持静止， A 车在竖直方向没有加速度，因此它对绳的拉为 mg。这个力使 B 车得到加速度 a B
AmA mB
g 。又三车系统以相同的加速度运动，则：
F
( m A m B
m C )
mA mB
g
2
由给定的数值得： aB＝ aC＝ aA＝1.5g ＝ 14.7m/s 绳中的张力为： T＝ mAg＝ 2.94N 水平推力为： F＝ 29.4N （ b）如果 C车静止，则
Ag 使质量 mA＋ B加速，加速度mm
为：
a AB
mA g mA
mB
＝ 0.6g ＝ 5.88N
/
绳中的张力为： T ＝ mAg－ A×0.6g ＝ 1.176N m【题 2】在质量为 m1 的铜量热器中装有质量为
m2 的水，共同的温度为 t 12；一块质量为
m3 c3 t3
m3、温度为 t 3 的冰投入量热器中（如右图所示）
。试求出在各种可
能 情 形 下 的 最 终 温 度 。 计 算 中 t 3 取 负 值 。 铜 的 比 热 c1 ＝
0 0
0.1kcal/kg · C，水的比热 c2＝1kcal/kg · C，冰的比热 c3 ＝ 0.5 kcal/kg · C，冰的熔解热
0
L＝80kcal/kg 。
解：可能存在三种不同的终态： （a）只有冰；（ b）冰水共存； （c）只有水。
（ a）冰温度升高，但没有熔化，达到某一（负）温度 放出的热量和吸收的热量相等：
（ t 12－t a ）＋ m2L c 3 m3（t a－ t 3）＝（ c1 m1＋ c2 m2）得出最终的温度为 t a
m2 c2 t2 m1 c1 t1
t a；
( m1 c1 m2 c2 )t12 m1c1
m2c3
0
m3 c3t 3
m3c3
m2 L
（ 1）
情况（ a）的条件是 t a＜０（注：指 0 C），如果上式的分子为负值，我们得到下列条件：
（ c1 m1＋ c2 m2）t 12＜― c3 m3t 3― m2L
等于量热器和水放出的热量： 得出最终的温度为 t c
(m1 c1
（ 2）
（ c）现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为
m2 c2 )t 12
m3 c3 t3
m3 L
t c ，冰块吸收的热量
（3）
3 L ＋ c2 m3t c＝（ c1 m1＋ c2 m2）（ t 12－ t c） c3 m3 （0－ t 3）＋ m
m1c1 m2 c 2 m3 c2
（ 4）
0
0 C 共存于量热器中。根据（
这种情况只有在 t c ＞０时才能发生。取上式的分子为正值，得到下列条件： （ c1 m1＋ c2 m2） t 12＞― c3 m3t 3＋ m3L
（ b）冰水共存这种情况是冰和水混合后都以
2）式和（ 4）
式，条件为：― c3 m3t 3― m2L＜（ c1 m1＋ 3L c2 m2） t 12＜― c3 m3t 3＋ m
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如果混合后有 x 克冰熔化了，则― c3 m3t 3＋ x L ＝（ c1 m1＋ c2 m2） t 12 故冰熔化了的质量为
x
( m1 c1 m2 c2 )t12
L
m3 c3 t3
于是混合后，在量热器中有质量为（ 【题 3】在竖直平面内有半径
-8
3― 2＋ mx）的冰和质量为（ mx）的水。 x 为负值意
味着有水结为冰，冰的质量增加。对于给定的数值，我们可以从公式容易得到最终的结果。
R＝ 5cm的线圈（如
图） 的绝缘轻绳上，从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球 两者都带有 Q＝9×10 C 的相同电量时，发现小球在垂 直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。
解：如果线圈上的全部电荷集中与一点，则库仑力 为 F
。质量 m＝1g 的小球系在长度为
l
R
l
Fn
k
Q 2 l
2
mg
F
线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为 重量为 mg。由上图可得： sin
mg F
R l
mg k
9 ，它们在轴上的投影为 Q l
2
Fn＝ Fcos 。小球的
2
所以： l
3
RkQ mg
2
＝ 7.2cm（ k＝ 9× 10 N m/C ）
l
R
F ni
2 2
（注：以上解答为原解，可能有错）
另解：如解答图 3.3.1 ，在线圈上取一电荷微元，
长为 d ，电荷量为 d ， 为线电荷密度， 2π R ＝Q。则微元电荷对小球的作用力为：
F i
解答图
k
dQ l
2
Fti
Fi
把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解：
Fni ＝ Fi cos
Fti ＝ Fi sin
在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元，如 解答图 3.3.2 。对称的电荷微元，长也为 量为
Fti
Fi
d ，电荷
d ，它对小球的作用力为：
把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解：
F i
/
k
dQ l
2
Fni
R
l
F＝ Fi cos
解答图 3.3.2
/
n i
/
F＝ Fi sin
Fni 与 F方向相同，合力为大小相加，
所以线圈对小球作用的库仑力为：
/ n i
/ t i
/
Fti 与 F方向相反，合力为大小相减，等于零。
T
/ t i
F n＝∑ Fni ＝ k
2 Q l
2
cos
k Q 2 cos l
、 mg2
R
l
F n
对小球受力分析，小球受三力作用：重力
库仑力 Fn、拉力 T，如解答图 3.3.3 。则：
mg
F
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l cos Fn 解答图 3.3.3
R
mg 把 F 2 2
n＝ k
Q 2
l
2
cos 代入上式解得： l
3
RkQ 2
mg
＝ 7.2cm
（ k＝9× 10 9N m /C ）
【题 4】一块平板玻璃放置在边长为
2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的薄气隙。波长在 0.4 μ m到 1.15 μ m之间的电磁波垂直入射到平板上，经空气空
隙的两边表面反射而发生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强， 其一是
1
＝ 0.4 μ m。求空气隙的厚度。 d
解：光在厚度为
d 的空气隙中往返，经过的距离为
2d。光被玻璃反射
时，还经受 180 0
的相位改变。于是对波长为
1
的光，增强的条件为：
2d＝ k1
1
1
2
（ k1 ＝ 0， 1， 2， 3，
）
类似地，对其它波长的光，产生极大增强的条件是： 2d＝ k 2
2
2
2
（ k 2 ＝ 0， 1， 2， 3，
）
比较这两个条件，得到：
2k1 1 2 2k2 1
1
根据波长给定的范围，得到： 2
＝ 1.15 2.875
1
0.4 这个比值的最小可能值为
1，最大可能值为 2.875 。因此我们得到关于
k1 和 k2 的下列条
件：１＜
2k1 1 ＜2.875
（ 1）
2k2 1
对不同的 k1 和 k2，我们算出上述分数值，得到下表：
k1
k0 1 2 3 4 5 2
0 1 3 5 7 9 11 1 0.33 1 1.67 2.33 3 3.67 2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2 3 0.14 0.43 0.71 1 1.29 1.57 4 0.11 0.33 0.56 0.78 1 1.22 5
0.09
0.27
0.45
0.64
0.81
1
只有分数值满足条件（１）式的各个
k1 和 k2 对才是合格的，我们已在表格中算出。但
其中只有一对是允许的。这就是说，我们应当找出这样的一列，其中只能有一对是允许的
k1 和 k2。从表中看出，仅有的是 k1＝ 2， k2＝ 1 这一对，其分数值是
1.67 ，这就是解答。
对于 k1＝ 0.4 μ m的光，根据 2d＝2×0.4 ＋ 0.2 ＝ 1μ m，得到空气隙的厚度为
d＝ 0.5 μm
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由 2×0. 5＝
2
2
2
k 2＝ 0.667 μ m
得到第二个波长为
【实验题】给定一闭合电路，它是由已知电阻
R、未知电阻 X 以及内阻可以忽略的电源
X
组成的。电阻 X是可调电阻器，由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池
和 零点在中心的电流计组成，它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻 及端电压之比。
R
R
E
U
U
y X
x
E
X
解答图 3.5.1
解答图 3.5.2
解答：联接两种补偿电路，如解答图 3.5.1 和解答图 3.5.2 。第一次测量不包括
R。滑
动接触块的位置在第一次测量中由比率 电x 给出，在第二次测量中由 y 给出，在此两中测量下，
阻值之比等于电势差之比，所以有
E xX U
R X
，
E R yX U
R X
解得： X
R(
1
x y
) 把 X
R(
1 ) 代入 E
xX E x x y U
R X
得：
U
1 x y
历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第４届
（ 1970 年于苏联的莫斯科）
【题 1】如图 4.1 （ a) 、（ b），在质量 M＝ 1kg 的木板上有质量 m＝ 0.1kg 的小雪橇。雪橇 精品学习资料 第 9 页，共 28 页
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上的马达牵引着一根绳子，使雪橇以速度 木板与雪橇之间的摩擦系数 木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离
v0＝ 0.1m/s 运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。
μ ＝ 0.02 。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度 v0 时，放开
L＝ 0.5m。绳子拴在（ a）远处的桩子， （ b）木板
的端面上。
试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面？
m
L
m
L
M
M
图 4.1 （ a）
图 4.1 （b）
解：（ a）在第一种情形中（如图
4.1 （ a）），雪橇处于匀速运动状态。
雪橇与木板以不同的速度运动。 这样引起的最大摩擦力为 mg，它作用在木板上， 产生的加速度 a
mg ，直至木板达到雪橇的速度
v 0 v 0 M M
v0 为止。加速时间为 t 0
a
mg
＝5.1s
2 在这段时间内，雪橇的位移为
Sv
2
0
v0
M 0
2a
2 mg
＝ 0.255m
因此，雪橇离木板右端点的距离为 0.5m－ 0.255m＝ 0.245m
雪橇不能达到木板的一端，因为这段时间以后，木板与雪橇以相同的速度
v0 一起运动。在木板加速期间，马达必须用力 mg 牵引绳子，但以后马达不能施加力的作用，它只是
卷绳子。
（b）在第二种情形中（如图 4.1 （b）），木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个
孤立系统，可以用动量守恒定律。当我们放开木板时，雪橇的动量为
mv0，释放后的木板具
有速度 v2，它由下式决定：
mv0＝ M v2＋m（ v0＋ v2）
此式表明 v2＝０，所以木板保持不动，雪橇以同一速度继续前进。 雪橇达到木板右端的时间为
t
L 0.5
＝ 5 s
v0
0.1
【题 2】NaCl 的晶体点阵由边长为 5.6 × 10 cm-8
的立方晶胞组成，它是面心立方点阵。
钠原子量约为
23，氯原子量为
35.5 ，
NaCl 密度为 2.22g/cm 3
。试计算氢原子
的质量（如图 4.2 ）。
解：我们先求出一个晶胞的
Na 离子
数。在立方晶胞中心有一个离子，在立 5.6 10-8 cm
方晶胞的每一边也有一个离子，但后者 仅有四分之一是属于这个晶胞的。
故钠离子数为：
1
12 4
4
氯离子也是这个数。密度可以表示为晶 图 4.2
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胞的质量与体积之比，故若用
m表示氢原子的质量，则密度可表示
为：
＝ 4 23m 4 35.5m (5.6 10 8 )
3
2.22
解上式可求得氢原子的质量为
m＝ 1.66 ×
10 -24
g＝ 1.66 × 10- 27
kg 【题 3】半径 r ＝10cm 的金属球置于半径 R＝ 20cm的薄金属空心球内，两球同心。内
靠一根长导线经过外球的开孔接地。 若外球带电量球 Q＝ 10 C-8 ，求外
球电势（如图 4.3 ）。
R 解：这里有两个电容，并联连接。其一由外球和内球组成，另一 由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。
r
导体球相对远处地球的电容为
R ，其中 k
k＝9×10 9 N m/C 2 2
， R
为导体球半径。在空心球情形，如果内球接地 ①
，电容为：
1 1 Ck ( 1
r
R
) ， 图 4.3
a
所以： C 1 Rr
a
k R r
2
两个电容并联总电容为：
C
R 1
Rr
1 R
k
k R r k R r
把 R＝0.2m， r ＝ 0.1m， k＝9×10 9
N m /C 2
2
代入上式得： C＝44.4 ×10 -12
F＝ 44.4 pF
故外球相对与地球的电势为：
U
Q C
＝ 225V
（注： ①
Ca 是内外球组成的球形电容器的电容，与内球是否接地无关。 ）
【题 4】在半径 r ＝ 2m、孔径 d＝0.5m 的凹面镜的焦点位置上，放一块圆形屏幕，使平
行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都 能达到该圆形屏幕。 试求圆形屏幕的直径。 如P
果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到 仅由原来的 1/8 ，问有多少部分的光能达 h
到在同样位置的屏幕上？
解：我们只有采用较精确形式的反射 F
O
定律，通过利用某些数学近似来求解本题。
F 1
按照教科书中通常的理论推导，半径
PO＝ 离R的中F 处。我们用 R的凹面镜的焦点位于距
h 表示凹面镜孔径之半。在点 P
点的入射光线与半径的夹角为
，反射后
与轴交于 F1 点。 OP F1 是等腰三角形。
图
则： OF R 1
2cos
故实际焦点与理论距离的偏差为
FFR
R
R
1
OF1 OF
2 c o s 2
2
( s e c 1) 精品学习资料 第 11 页，共 28 页
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我们把圆形屏放在点 通常的小角近似， 得： x
F 处，要求出屏幕的最小半径值 F F tan 2 1
2
F F sin 2 1
x。在直角三角形 P F F1 中，应用
2h 2h R
(sec 1) F F h(sec 1) 1
R 2 R
2
对于小角度： cos
1
2
，故 sec
1 cos x
h
3
1
2
将
h R
代入，得焦“斑”的半径为
2R
2
将数值： h＝ 50/2 ＝ 25cm； R＝ 200cm，代入
即得： x＝ 0.195cm＝ 1.95mm
再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为
x，则入射到凹面镜的光束半径为
h
3
2Rx
2
如果我们用半径 kx 的屏代替半径为 x 的屏，则入射光束的半径为：
hk
3
2R kx
2
2
入射光的量正比于 hk ，因此
h
2 k
( 2R kx)
k
2 2
h 2 3
k
2
本题情形是
1 8
，由此得出，落在圆形屏幕上光的量将是前者的
1 4
【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜，一块有几何图形的屏，一支杆和一把卷尺。 仅用所给的工具，以不同的方法测定透镜的焦距。
解答： 有几种可能的方法。在凸透镜情形，我们用目视观查虚像的消失，并测定透镜的 距离。
我们注视着实像， 借助于视差把杆放在实像的位置上， 距。
再看凹透镜情形。 我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起， 测量系统的焦距，然后算出凹透的焦距。
并用上述方法之一
测量物距和像距， 从而计算出焦
历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第 5 届
（ 1971 年于保加利亚的索菲亚）
绳子跨过双斜面顶部的滑轮， 【题 1】质量为 m1 和 m2 的物体挂在绳子的两端， 斜面质量为 m，与水平面的夹角为
1
如图 5.1 。
和
2
。整个系
m1
m
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m2
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统初态静止。 求放开后斜面的加速度和物体的加速度。 以忽略。
斜面保持静止的条件是什么？摩擦可
。用 a0 表示物体
解：我们用 a 表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向） 相对斜面的加速度（正号表示左边物体 矢量 a 和 a0 相加得到（如解 图 5.1 ）。用 F 表示绳子中的张力。
对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。
1 加速下降的力是 使物体 mm 下降）两个物体在惯性系中的加速度
图 5.1
a1 和 a2 可由
a
a0 a
a
1
m1
m
m2
m1gsin a0－ acos
1
－ F
a0
a2
在惯性系中，沿斜面方向的加速度分量为
1
a
解图 5.1
所以，对此斜面分量，牛顿第二定律为：
m1（ a0－ acos
同样，对于 m2 有
1）＝ m1gsin ）＝ F－ m2gsin
21
－ F
m2（ a0－ acos
两式相加：（ m1cos
212
1＋ m2cos ）a＝（ m（ m1＋ m2）a0－1sin － m2 sin
2）g
（ 1）
我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。 斜面在惯性系中的速度为
v（向右）。物体相对斜面的速度为
v0 cos
11
v0。故斜面上两物体在惯
和
2
性系中的速度的水平分量（向左）分别为：
利用动量守恒原理： m1（ v0 cos －a）＝ m a
所以 a
－ v v0 cos
2
－v
2（ －v）＋ mv0 cos
对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有：
－ v）＝ m v
1－a）＋ m2（ a0 cos 1（a0 cos m2
m1 cos
1
m2 cos m2
2
m m1
a0
（ 2）
上式给出了有关加速度的信息。 很明显， 只有当两物体都静止，即两个物体平衡时，斜
面才静止，这是动量守恒原理的自然结果。
由方程（ 1）和（ 2），可得到加速度为：
a０
(m m1
(m 1
m2 )( m1 sin
1
m2 sin
1
2
)
2 2
m )( m ) (m 2 m m12 1 cos
1
m2 cos m2 sin
2
g )
a
(m1 cos (m 1
m2 cos
2
)( m1 sin
1 1
)
2 2
m )( m m1 2 m 2 ) (m 1 cos
即
m cos 2
2 1
g
)
如果 m1sin
1＝ m2sin
2
m 1 m2
sin sin
则两个加速度均为零。
【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气，在 圆筒内有空气。 第一步，水银柱高度
0
h1＝ 70cm，空气压强 pk1＝ 1.314atm ＝ 133.4kPa ＝ 100cmHg，
h2＝ 40cm，这时空气压强
T3，此时水银柱的
温度为 0 C＝ 273K。第二步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为
为 pk2 ＝0.79atm ＝ 80kPa＝60cmHg。第三步，保持体积不变，提高温度到
高度为 h3＝ 50cm。最后， 第四步， 温度为 T4，水银柱的高度为 h4＝ 45cm，空气压强没有改变。
求出最后一步中氢气的温度和压强。
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解：我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用 单起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用 给出（见解图 5.2 第一步至第四步） 。
L 表示。为了简
cmHg为单
L
70cm
40cm 50cm 45cm
次 数 1
2 3 4
氢气压强 氢气体积 空气压强 空气体积 两者温度
ph1 Vh1
100cmHg
ph2 Vh2
60cmHg
ph3 Vh3 pk3
＝
＝
ph4 Vh4 pk4 Vk4 T4
Vk1
273K
Vk2 Vk3 T3
273K
解图 5.2
从第一步到第二步， 对氢气应用玻意耳定律： （ L－ 70）（ 100－ 70）＝（ L－ 40）（ 60－40） 由此式求得玻璃管的长度 ＝85cm
从第二步到第三步，氢气的状态方程为：
(60 40) 90
273
对空气应用盖吕萨克定律：
( ph3
50) 80 T3
L＝ 130cm，
Vh1 ＝60cm， Vh2 ＝ 90cm， Vh3 ＝ 80cm， Vh4
因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为：
pk3 T3
60 273
氢气的状态方
从第三步到第四步， 我们只有向上提升活塞， 以便使空气压强保持不变。 程为： ( pk 3 50) 80
T3
( pk 4
45) 85 T4
解以上方程组，得： pk3＝ pk4＝ 80cmHg， T3＝ 364K， T4＝ 451K， 所以氢气的压强为： ph3＝ 30cmHg ph4＝ 35cmHg 算出空气的体积比为：
Vk1 : Vk2 : Vk4 ＝ 6:10:12.4
Pa）
（注： cmHg为实用单位，应转换成国际单位
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【题 3】四个等值电阻 R、四个 C＝ 1 F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连
1＝ 4V，U2＝ 8V， U3＝12V， U4＝ 16V，它们的内电 接起来，如图 5.3 所示。各电池的电压为 U阻均可忽略。 （ a）求每个电容器的电压和电量， 电量。
解：（ a） 将这个网 络展开成 平 面 图 （如解图 5.3.1 ）。 由于电流 不能通过 电容器， 所以只在图
A R
C4
D _U4 +
E
R
B R
_U 2 + C3
_U3 +
C
U 1
_
+
C1 F
R
C2
H
C2
A
U2 _
+ B F
R
（ b）若 H 点与 B 点短路，求电容器 C2上
的
G
C1
C C3
_
+
G
U1
R
U3 _
+ H D
R
U4
_
+
E
R C4
图 5.3
中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流。在这个回路中，电压为 因此电流为： I
解图 5.3.1
12V，电阻为 4R。
U 4 U 1
4 R
设 A 点的电势为零， 就能很容易地算出各点的电
0 V
( U4－U1)/4 ( U4－U1)/2
4－U1)/2 ( U＋ U1
于是就知道了电阻和电源两端的电压。 势。
A B C G H E D F
C1 C2 C3 C4
C4 各有 0.5 × 10
-6
3 V 6 V 10 V 13 V 16 V
3 － U( U4－U1)/2 ＋ U1＋ ( U4－ U1)/4 ( U4－U1)/2 ＋ U1＋ ( U4－ U1)/2
4－U1)/2 ( U4－ 1)/4 ＋ U1＋ ( UU4－U1)/4 ( U2 － U3＋ U1 V 11 V
从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下：
（11－ 10）V＝ 1V， （16－ 11）V＝ 5V， （6－ 1） V＝5V， （1－ 0） V＝1V，
2
1× 10 C。 5× 10 -6 C。
-6 5 × 10 C。 -6 1 × 10 C。
-6
我们可以算出各电容器的储能量
CU /2 。电容器 C1 和
-6
C R
B
_
+
G R H R
2 和 C3 各有 12.5 ×J ，电容器 C 10
J 。
U2
_
+
C 2
U 1
（ b）H 点与 B 点连接，我们得到两个分电路。如解图 5.3.2 。在下方的分电路中， 电流为 势是 U4＝16 V ， H点与 B 点的电势是 势为
U 4 2 R
，E 点相对 A 点的电
R A
4 _U
+
U4／ 2＝ 8 V 。 F 点的电
E
U 4 2
U 2 ＝ 16 V
16 V ，结果 C2 上无电量。
解图 5.3.2
于是，电容器 C2 两极板的电势均为
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【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为 直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度
R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距
v
v
A
离 镜面 3R，缸中充满水。 远处一观察者通过球心与镜面垂
2v K 1
沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。 水的折射率为
n 4 3
。如图 5.4 （ a）， 5.4 （ b）
T1 O
B
解：鱼在 1 秒钟内 游过的距离为 v。 我们把这个距离 当作物，而必须求 出两个不同的像。 在计算中， 我们只 考虑近轴光线和 小角度，并将角度 的正弦用角度本身 去近似。
在 T1 点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图
5.4 （ a）所示。从 T1 点以角度
图 5.4 （ b）
T2 v
r
E
F
O
C
D B
K 2
图 5.4 （ a）
r ＝ ∠A T1O发出的光线，
在 向相反方向延长，给出虚像的位置在
从三角形 K1 T 1 A，有：
A 点水中的入射角为 r ，在空气中的折射角为 n r 。把出射光线
K1，显然∠ K1A T1＝n r － r ＝（ n－ 1）r
K 1T1 K 1 A
(n 1)r r
n 1
利用通常的近似： K1A≈ K1O＋R， 于是
K1AT1≈ K1O－ R
K 1O R K 1O R
n 1
所以这个虚像与球心的距离为 水的折射率
n
4 3
n R K O 1
2 n
2，则像是实像。有像距与物距之商
1 ＝ 2R。若折射率大于 ，从而 KO
得到放大率为
K1 O T1O
n 2 n
2。
对水来说，放大率为
以与速度 v 相应的线段为物，它位于在 远的 T2 处形成一个与物同样大小的虚像。
E 处的平面镜前的距离为 T2 离球心的距离为
2R 处，它在镜后 2R
5R。在一般情形下，我们假设
T2O＝ kR。 T2 处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定
5.4 （ b）所示。 T2 的实像而无需再去考虑平面镜。如图
我们需要求出以 r 角度从 T2 发出的光线在 C点的入射
角
在三角形 T2OC中，
玻璃中的折射角为：
β ，其中 r ＝∠ CT2 F。
T O 2
r
CO
kR R
k β ＝ k r
kr n
n
DCO CDO
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需要算出∠ DOB。 因为：∠ COF＝ β －r ＝ k r －r ＝ r （ k－ 1） 而且∠ COD
与
0
等于 180，因此
即
C 点和 D点的两角之和相加，或与
∠
COF和∠ DOB之和相加，两种情况
都
DOB r ( k 1)
2kr n
DOB r (2k k 1)
n
OK 2 DK 2
2k r ( k 1) n
，
从三角形 DOK2，有
k 2k n
k 1
此外
OK 2 OK 2
R
2 k n
k
k 1
因此像距为： OK 2
nk n( 2k 1) 2k
R
若 k＝5， n＝
4
3
放大率为
，得 OK 2
10
3 R
OK 2 OT2
n n(2k 1) 2 k
，则放大率为
若 k＝5， n＝
4 3
2 3
v 向上运动，而鱼的实像
综合以上结果，如鱼以速度 以速度
v 向上运动，则鱼的虚像以速度２
v＋
2 3
v 向下运动。两个像的相对速度为２
2 3
v＝
8 3
v，
是原有速度的 8 3 倍。
我们还必须解决的最重要的问题是： 在做此实验时，他将看到什么现象呢？
两个像的速度与鱼的真实速度值，
从水中的标尺上的读数来看，
是一致的， 实际上观察
我们应当在远处
，
到两个反向的速度， 其中一个是另一个的三倍，
一个像是另一个像的三倍。
从理论上已经知道了像是如何运动的，
但是观察者
看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离 8.33R。用肉眼看实像是可
能的，只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者” 是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差， 但所看到的速度将逐渐增加而接近
8 3
。他当然必须具有关于鱼的实际速度
（ v）的一些信息。
两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为： 用一个充满水的圆柱形玻璃缸， 运动的杆代表一条鱼。
2n (k 1)( n 1)
2 n 2k(n 1) n
一面镜子和一支杆， 这个实验很容易做到。 沿玻璃缸壁
【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻
Rb 和电动势 U0。
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画出作为外电阻 R函数的有用功率，总功率以及效
的曲线。
率
解答：端电压为 U
U 0 R R Rb 电流为 I
U 0 U R Rb
R
总功率为 P0＝ U0I 有用功率为： P＝U I 效率为 η ＝
P P0
利用以上公式，得到要求的六个函数，如解图
5.4 （ a）――（ f ）所示。
P
P
（ a）
（ b）
I
R
2
P＝ U0I － R2
bI
P＝
U 0
R ( R
b
R)
2P0
P 0
（ c）
（ d）
I
R
2 P0＝ U0I
P0
＝
U 0
Rb
R
（ e）
（ f）
I
R
＝ 1－
Rb R U I
＝
0
Rb
R
测出适当选择的两个值，由以上公式便可求出 Rb 和 U0。这些数据应该是独立于外负载，
所以这样的测量并不可靠，大负载时尤其如此。
历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
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第６届
（ 1972 年于罗马尼亚的布加勒斯特）
【题１】给定三个圆柱，它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱；第二个是空 心圆筒， 壁有一定厚度； 第三个是同样壁厚的圆筒， 但两端用 薄片封闭， 里面充满一种密度与筒壁相同的液体。 如将它们放 在倾角 α 为的斜面上，如图
6.1 所示，求出并比较这些圆柱
的线加速度。 研究光滑滚动与又滚又滑两种情况。 圆柱与斜面
的摩擦系数为 μ ，液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。 解：沿斜面方向作用在圆柱上的力是：
作用于质心重力的分量
mgsin
和作用于接触点的摩擦力
S，如图 6.1 所示。产生的
加速度 a ：
ma＝ mgsin
－ S
纯滚动时的角加速度为：
＝ a
R
转动的运动方程为：
RS a R
I
以上方程组的解为：
a
g sin 1 I mR
2
mgsin I S
mR
2
1 I mR
2
当 S 达到最大可能值 μ mgcos
时，也就到了纯滚动的极限情形，这时：I
2
mgcos
h
mgsin
h
mR
1 I mR
2
即维持纯滚动的极限条件为
2
tan
h
(1
mR I
)
下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。
（Ⅰ）实心圆柱的转动惯量为
I
1 mR2 2从（１）式和（２）式分别得到
a
2 g sin 3
，
tan a
h＝３ μ 精品学习资料 S
R
mg sin
（１）
（２）
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角加速度为： β ＝
a R
n 倍。因已知圆柱的质量是相等的，
故可
（Ⅱ） 设空心圆筒壁的密度是实心圆柱密度的 以算出圆筒空腔的半径
r ：
R L
2
n L(R 2
r 2 )
即
r
2
R
2
n 1 n
转动惯量为：
I 0.5n LR 2
R 2
0.5n LR 2 r
2
0.5mR
2
2n 1 n
由（１）式和（２）式分别算出：
a 2n 4n 1 g sin ，
tan
4n 1 h
2n 1
角加速度为： β ＝
a R
（Ⅲ）对充满液体的圆筒，因液体与筒壁之间无摩擦力，故液体不转动。总质量为 m，但转
动惯量只需对圆筒壁计算：
I 0.5n LR 2
R
2
0.5n LR
2
r
2
0.5mR
2
2n 1 n
由（１）式和（２）式分别算出：
a
2n ２
2
2n
2
2n 1
g sin ，
t a n2n
2n 1
h
2 n 1
角加速度为： β ＝
a R
现在比较三个圆柱体的运动特点：线加速度和角加速度之比为：
2
1∶
3n
∶
3n
4 n 1 2n 2
2 n 1
极限角正切之比为：
2
1∶
4n 1 ∶
2n
2 n 1
3( 2n 2)
3(2n 1)
如果斜面倾角超过极限角， 则圆柱又滑又滚。 此时三个圆柱体的摩擦力均为 μ mgcos
，故线加速度相同，为：
a＝ g（ sin
－ cos ）
角加速度由
＝ R mgcos 给出，但转动惯量在三种情况下各不相同。因此，若圆柱体又 I
滚又滑，则三种情况下的角加速度分别为：
2 cos
1
R
g
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2 cos
2
R
2 cos
g 2n 1
g 2n 1 n
2
n
3
R
【题２】有两个底面积为 1dm 的圆筒，如图 6.2 所示，左方圆筒装有一种气体，气体的质
0
2
量 4g，体积 22.4L ，压强 1atm，温度 0 C。右方圆筒装有同种气体，气体的质量
0
积 22.4L ，压强 1atm，温度 0 C。左方圆筒筒壁绝热，右方圆筒靠一个大热库维持温度
7.44g ，体
0
0 C。
整个系统在真空中。 放开活塞， 它移动了 5dm后达到平衡并静
收了多少热量？气体等容比热为 止。
0.75cal/g ?K。
试问右方圆筒中的气体吸
00C
图 6.2
解：放开连杆前，右方气体压强为：
7.44/4 ＝ 1.86 （ atm）
在达到平衡时， 左方气体体积为 22.4 ＋ 5＝17.4（ dm），右方气体体积为 22.4 ＋ 5＝ 27.4（dm）。 左方气体经绝热过程升高温度到 T，压强为 p。右方气体经等温膨胀到同一压强。等温膨胀 由下式表示：
1.86 × 22.4 ＝× 27.4
解得：
3
3
p ＝ 1.521 atm
对左方气体应用绝热过程定律，得：
k
1×22.4 ＝ 1.521 × 17.4
k
由此可求得比热之商
k 如下
22.4 k
) ( 17.4
k
1.521
1.2874 ＝ 1.521 k＝ 1.66
（看来它是一种单原子气体：氦。
）
左方气体的温度可从状态方程算出：
1 22.4 1.521 17.4 273
解得：
T
t ＝ 49.5 C
0
T＝ 322.5K
在这个过程中，右方气体的温度没有改变，它吸收了
0.75 ×4×49.5 ＝ 148.5 cal
的热量，这些热量表现为气体的内能 （注： 此处是指左方气体的内能。
注
。
所吸收的热量等于它对左方气体
）
把两个半透镜移开一
因为右方气体等温膨胀，
所作的功。左方气体绝热压缩，右方气体对它所作的功等于左方气体内能的增量。 【题３】 将焦距为 f 的一个透镜， 沿其表面的垂直方向切割成两部分。
段小距离 δ ，如果在透镜的一方距离 t ＞ f 处放置一个单
S
d
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h
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色点光源，问在透镜的另一方距离 纹？ 解：由两部分透镜所产生的像是相干光源，所以可以发生干涉。设两个点光源的距离为
H处的屏幕上将出现多少干涉条
d，
若光程差等于波长
λ ，则在 h 远处的屏幕上将出现第一个极强，如解图
6.1 所示。即： d
＝ λ
解图 6.1
由于
是小角，取近似
sin
S h
，各级极强的间距为：
dS
h
，
S
h d
下面计算两个焦点的位置。 一个点光源位于焦距为 f 的透镜前 t 距离处，它产生的实像位于
k tf t
f
，如解图 6.2 所示。
K A
1 d B
D
K2
t
k
h
H
解图 6.2
若切口的宽度为 δ，则两实像点间的距离可从下列比例式中得到：
d
t k t
因此 d
t k t
t
t f
像点 K1 和 K2 是相干光源。它们发射出来的光束的干涉在屏幕上观察到。条纹的间距为
S
h d
，其中 d 为已知。屏幕到像点的距离为：
h H k
H (t
f ) tf t
f
在此实验中，条纹间距为： S
t
H (t f ) tf
干涉条纹出现在 K1 和 K2 发出的两束光交叠处。由相似三角形求得两束光交叠部分的直
径为 D
h t t
D 2
用 S 除 D，得条纹数目为 N
H t S
H (t
f ) tf
如果 f ＝ 10cm， t ＝ 20cm， δ ＝ 0.1cm， λ ＝ 0.5 μ m，H＝ 50cm，则得 N＝46.6 。
当屏幕比 A 点更近时，对 D必须另作计算。如屏幕
在
B点以内，则无干涉条
纹。
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【实验题】给定两个圆柱体，它们的大小、形状、材料均相同，其一是实心体，另一个 内部有一个与圆柱轴平行的圆柱形空腔。 轴与圆柱轴之间的距离。
解答：实心圆柱体的密度可由其质量和体积确定。
其次我们测量有空腔的圆柱体的质量，
这时两轴构成的平
根据两个圆柱体质量之差，算出空腔的体积和直径。为求出两轴的距离，可以用几种方法。 例如， 把圆柱体放在水平面上。 确定使它恢复平衡的力矩最大时的位置， 腔最近或最远的那条母线的转动惯量。
历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第７届
（ 1974 年于波兰的华沙）
【题 1】一个处于基态的氢原子与另一个静止基态的氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰 撞的最小速度为多少？如果速度较大而产生光发射， 光的频率与简正频率相差多少？氢原子质量是 2.18 × 10 -18 J。
解：处于基态的氢原子能量为 原子吸收的最小能量为
且在原速度方向可以观察到光。 1.67 ×10
-27
后者两端用薄片封闭。 试确定材料密度， 以及空腔
面是水平面， 由于知道了空腔的大小， 便可算出轴间距离。 另一种方法在于测定圆柱体对空
问这种
kg ，电离能 E＝ 13.6 eV ＝
E 1
E1
E
E( 2
1 1
1 1
2
，第一激发态能量为
E 2
18
E
1 2
2
。被氢
E
E2
1 2
2
)
3 4
E 1.163 10
J
则
2
我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数据代最小速度。 如果碰撞是完全非弹性的，
2
碰撞中能量损失最大， 碰撞后的速度将是
v/2 ，初动能与末动能之差为： mv
2
2
v 2
2m( )
2 2
mv 4
这个值应等于最小的能量子
E
mv 4
因此 v
4 E m
6.26 10m/s
4
非弹性碰撞后，两个原子的速度为
v 2
3.13 104 m/s
对于比光速小很多的速度，
8
-4
-2
本题第二问的解答与多普勒效应有联系。 频率相对变化的极好近似：
4
相对速度之比给出 %
6.26 × 10 ∶ 3× 10 ＝ 2.09 × 10 ＝ 2.09 × 10
y
两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率。 【题 2】给定一厚度为 d 的平行平板，其折射率按 下式变化 n( x)
n0 1
x r
O
0
d
度
束光在 O点由空气垂直射入平板，并A 点以角
在
射出，如图 7.1 所示。求 A 点的折射率 nA，并
x
确定 A 点的位置及平板的厚度。 （设 n0＝ 1.2 ， r ＝ 13cm， β 1＝ 30 ） 射光，可以应用斯奈尔
图 7.1
解：首先考虑光的路线， 如解图 7.1 所示。 对于经过一系列不同折射率的平行平板的透
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定律：
sin 1 n2 ，
s i n2 n3 sin
2
n1
s i n3
n 2
更简单的形式是：
n1 sin
1
n 2 sin
2
n3 sin
3
这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里， 折射率只沿 x 轴变化，即 nx sin
x ＝常数
在本题中，垂直光束从折射率为
n0 的点入射，即
nx ＝n0
x
＝ 90
0
则常数等于 n0，于是在平板内任意一点有
nx sin
x ＝n
0
nx 与 x 的关系已知，因此沿平板中的光束为：
sin
n0
x
n1
x r x x
r
r
由解图 7.2 表明光束的路径是一个为 XC＝ r 的圆，从而有： OC x
XC
＝sin
x
现在我们已知光的路径， 就有可能找到问题的解答。时，有： n sin sin A
sin( 90
0
A
)
cos
A
因为 n
A sin
A
＝ n0，故有： sin
n0A
n A
cos
A
1 ( n0 A ) 2
n于是 n sin A
1 ( n0
) 2
nA 因此 n 2
A
n
2 0
sin
在本题情形 n A＝ 1.3
由 1.3
1.2
1
x 1.3
得出 A点的 x 坐标为 x＝1 cm
精品学习资料 n1
n2 n3 n4
解图 7.1
y
X
x
O
x
C
x
解图 7.2
按照折射定律， 当光线在 A 点射出
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光线的轨迹方程为
y 2 ＋（ 1－x） 2＝ r
2
代入 x＝ 1 cm，得到平板厚度为 y＝d＝ 5 cm
【题 3】一科学探险队因船只失事流落荒岛。
他们没有能源， 却发现了一种惰性气体源。
这种气体比空气重， 其压强与温度同周围的大气相等。 探险队有两个膜片， 其中一个能渗透
该气体，另一片只能渗透空气。试设计一个做工的热机。
解：我们要用到两个重要的定律。
如果一个容器中装着气体混合物，
则每种气体的分压
强等于这种气体在同样温度下单独占据相同体积时的压强。 压强计在混合气体中读出的是各
分压强之和。如果一膜片对某一气体是可渗透的，则在膜 片两侧该气体的分压强相等。我们设计这样的热机（见解 图 7.3 ）对惰性气体能渗透的那张膜片装在管子里，这个 管子把气源与活塞下面的圆筒连通。
对空气能渗透的那张
膜片装在圆筒底部。 在活塞下部总有同样的一个大气压压 强，因而空气对所做的功来说是没有关系的。首先，打开 1
管中的阀门１，导通可渗透气体的膜片。膜片两侧气体的 对气体可渗透
2
对气体可渗透
分压强将相等，于是活塞下部也有这一分压强。结果圆筒 内总压强将达到二个大气压，活塞上升做功。关闭阀门１ 气体源
可停止活塞的上升运动，然后打开阀门２，活塞回到初始 位置而不做功。
解图 7.3
如果圆筒导热良好，且过程足够缓慢，则上述过程是等温的，做功等于
RT ln V 2
V1
这个过程不是循环过程，我们也不在乎它的效率。 有两个膜片就可以实现上述过程，只要有一个周围是真空的气体源。
【实验题】 两个同类的半导体二极管和一个欧姆电阻以未知方式联接， 并封闭在一个盒
里。盒子有两个引出线接线柱，不打开盒子 试测量该电阻的欧姆值。
解答： 分别在两个方向测定两个不同电压下 的电流，我们得到下列结果：两个方向都能 观测到电流，但并不相同，且不是电压的线 性函数。根据这些结果，不难画出如解图
7.4 所示的网络。
解图 7.4
其次，画出两个方向的伏安图，找到在两个方向上电流相同的两个电压。电压之差 给出电阻两端的电压，除以电流，得出电阻的欧姆值。
历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
第 8 届
（ 1975 年于德意志民主共和国的居斯特罗）
【题 1】一根杆以恒定的角速度
ω 绕竖直轴旋转， 杆与轴的夹角为 （ 900 －
α ）。质量为
m动，的质点可以沿杆滑
摩擦系数为 μ 。求转动过程中， 质点保 持在同一高度的条件（如图 8.1 ）。
解：我们发现，采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如 果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值， 就称这个角 ε 为“滑动
摩擦角”（如解图
8.1 所示），即 tan ε＝ μ
我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线 之间的夹角在滑动摩擦角之内，则摩擦力大到足以阻止运动。极
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限情形是合力与摩擦角的一臂重合。
对于本题， 当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况 时，合力应位于
（α ＋ ε ）角的双臂内（如解图
8.2 所示）。
图 8.1
r
m 2r
mg
解图 8.1
解图 8.2
把质点压在杆上的力是重力 mgmω r 2 ＝ mω L2cos
α 的合力。故质点在向上滑动的极限 情 形 下
， 角 （
α
＋与 ε
） 的 正 切
为
2
tan( )
m
2L cos L cos 600
mg
g
同理，质点向下滑动的极限情形可用角
（α ＋ ε ）的正切得到。
450 2
于是，如果 300 tan( － ) L cos g
tan( )
150
则质点在旋转杆上处于平衡。
从边界条件可以看出，存在着一个较高位置（
Lf ）和一个
0.1 0.2
0.3 m
较低位置（ La），质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇
解图 8.3
平衡状态。在这两边界之外，质点无法平衡，质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置
Lf －La 可由边界条件导出：
L 2 g tan
f La
2
cos
3
(1 tan
2
tan
2
)
解图 8.3 对不同的 α 角，画出质点在杆上哪些部分处于随遇
平衡，（取 ω ＝ 10 s -1
， μ＝ 0.268 ， ε ＝ 15 ）。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。0
【题 2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件，并就不同类型的透镜讨论可行 性。
解答： 我们必须知道厚透镜的性质。 厚透镜
由下述数据表征：球形表面的半径 r 1 和 r 2，厚
度 d 和折射率 n（如解图 8.4 所示）。焦距 f ＝ B F
r1
r 2
由下式给出
B
F
d
A
1 ( n 1)
1
1
n 1 1f r1 rd( ) 2 n r1r2
f
焦距是从主点 B算起的。 B 点离表面的距离解图 8.4
为
BA h
r2 d
n(r1 r2 ) d (n 1)
上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，
但只对近轴光线才给出满意的结果，
因为是在一
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定的近似下得到的。
光被透镜色散。透镜对波长 率的幂次整理焦距公式，得
2
λ a 的折射率是
n a，对波长 λ
b
的折射率是 n b。按折射
f （ r ＋ r －d） n ＋ [2 fd － f （ r 1 ＋ r 2）－ r 1r 2 ] n－ f d ＝ 0
1
2
这是一个二次方程。给定一个
f 值，应有两个 n 值，因此，我们的问题可望解决。
先后以 n a 和 n b 代入方程，并令其相等：
(na
1 1)( r1
1 r2 r 2
1 na 1
d ) (nb 1)(
r1 na r1r2 d (1
1 na nb
)
1 r2
nb 1
d ) nb r1 r2
结果得出 r 1
如果半径 r 1、r 2 与厚度 d 满足这一条件，则对两个不同的波长， 来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积 因为折射率大于１， 于是括号内的数值小于１， 当厚的。
即对两个不同的折射率
n a· n b 在起作用，而不是色散（
说明半径之和小于镜厚。
n b－n a）。
这意味着透镜是相
结果讨论：首先透镜不能是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次， 和 r 2 之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。
如果要求的不是 f 而是（ f －h）对两个折射率有相同的值 实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。 【题 3】质量为 m的一簇离子在 面的均匀磁场 B 将这些离子聚焦于 场区的边界。
解：在磁场 B 中，作用于电量为
r 1
（注：即要求消除焦点色差） ，
。垂直纸 P 点以同一速度 v 向不同方向散开 （如图 8.2 ）
R 点，距离 PR＝ 2a，离子的轨道应是对称的。试确定磁
Q、速度为 v 的质点
r 的圆
v
a
P
磁场
上的洛仑兹力为 Q v B。结果使粒子在半径为 轨道上运动，即：
QvB
mv r
2
a
R
图 8.2
y
质量为 m的所有粒子都在半径为
r
mv QB
的相同的圆轨道上运动。离开磁场后，它们将
磁场边界应按所有离子都打在
沿最后的切线方向直线飞行。
同一点 R的要求去寻找。要解决的数学问题是，粒子应从这
些半径为 r 的圆的何处离开， 才能使它们的切线在 R点相交。 这些半径为 r 的圆的圆心都位于 y 轴上（如解图 8.5 所示）
在半径为 r 的圆轨道上运动的粒子，在坐标为（ 的 A 点离开磁场，沿切线飞向
r
b
A
x， y）
R。由相似三角形得到：
解
a 图 8.5
R
x
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y b x
圆的方程为 x
2
a x y ( y b)
2
r
2
消去（ y－ b），得到满足条件的 A 点的集合，因此，表示磁场 边界的函数为：
P
(a)
R
y
x(a x) r
2
x
2
这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线， 把它对 y 轴反演即可。
表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离 相对大小（见解图
8.6 （ a），（b），（ c））。
P
(b)
R
a 和半径 r 的
P
(c)
R
如果半径 r 小于 a（小速度强磁场） ，则磁场边界无限延伸，
。
如果半径 r 等于 a，所有的离子也都能聚焦 有限的范围内。
向任何方向出发的离子也都能聚焦
①
②
。磁场边界在 P 和 R点处垂直出发，处
在
如果半径 r 大于 a，边界更为平坦。 那些出发方向比 P 点切线更陡的离子不能达到 解图 8.6
（注： 原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在
0
大于 90 的离子无法聚焦。
0
②
①
R
点。
在 r ＝ a 时，“所有的离子也都能聚焦”
r ＜a 时， v 与 x 轴夹角
的结论也不妥。 v 与 x
0.25W，
轴夹角大于 90 的离子也无法聚焦。 ）
【实验题】测定有两个接点的某一半导体器件的特性曲线。其最大允许负载为 可供使用的是：对所有量程内阻均已知的两个电表，一个 个固定电阻器。
解答： 通过伏安计测量电压和安培计测量电流所得到的特性曲线， 齐纳（ Z e n e r
）二极管。
（注：原文无详细解答，没有给出测量伏安特性的具体线路）
表明该半导体器件是
9V 的电池，一个可调电阻器及一
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