长寿区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

长寿区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（ ）

A．9

B．11 C．13 D．15

的最小值为（ ）

D．1

2． 已知x＞1，则函数A．4

B．3

C．2

3． 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0； ③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0．

其中正确结论的序号是（ ） A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

4． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

5． 在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（ ）

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A．0＜ B．0

22 C．0 D．0

22

26． 已知a2，若圆O1：xy2x2ay8a150，圆O2：xy2ax2aya4a40恒有公共点，则a的取值范围为（ ）.

A．(2,1][3,) B．(,1)(3,) C．[,1][3,) D．(2,1)(3,) 7． 将函数f(x)2sin(5353x)的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g(x)的图象， 364则g(x)的解析式为（ ）

xx)3 B．g(x)2sin()3 3434xxC．g(x)2sin()3 D．g(x)2sin()3

312312A．g(x)2sin(【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 8． 已知命题p：存在x0＞0，使2A．对任意x＞0，都有2x≥1 C．存在x0＞0，使2A．﹣1+i

B．﹣1﹣i

＜1，则￢p是（ ）

＜1

B．对任意x≤0，都有2x＜1

≥1 D．存在x0≤0，使2C．1+i D．1﹣i

9． 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）

10．设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数

y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A．p为假

B．￢q为真 C．p∨q为真 D．p∧q为假

f(x2),(x2)则f(1)的值为（ ） x2,(x2)11 A．8 B． C．2 D．

2811．若f(x)12．在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足•

的最小值是（ ）

B．﹣1 C．﹣2 D．0

A．1

=（sin2θ）

+（cos2θ）

（θ∈R），则（

+

）

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二、填空题

13．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．

14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．

15．等差数列{an}的前项和为Sn，若a3a7a116，则S13等于_________. 16．下列说法中，正确的是 ．（填序号）

①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；

②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称； ③y=（

x

）﹣是增函数；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．

17．已知f（x）＝x（ex＋ae－x）为偶函数，则a＝________． 18．方程（x+y﹣1）

=0所表示的曲线是 ．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y122,，求实数m的值；

a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． y2

20．（本小题满分13分）

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在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC（Ⅰ）在棱PB上确定一点E，使得CE//平面PAD； （Ⅱ）若PAPD2，AD22，AB3DC3．

6，PBPC，求直线PA与平面PBC所成角的大小．

PDCA

B

21．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）的最小值为0． （i）求实数a的值；

（ii）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[an]=2．

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22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为

极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．

23．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角C,AC边长为BC边长的aa1倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. 试用和a表示S；

（2）若恰好当60时，S取得最大值，求a的值.

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24．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为方程为r=2 ìïx=2+tcosa（[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的直角坐标和曲线C

的参数方程；

（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

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长寿区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13， 当a=13时，满足退出循环的条件， 故输出的结果为13， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

2． 【答案】B

【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0 由基本不等式可得，当且仅当故选B

3． 【答案】C

【解析】解：求导函数可得f′（x）=3x﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

2

即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”

∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0． ∴a＜1＜b＜3＜c，

32

设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x﹣（a+b+c）x+（ab+ac+bc）x﹣abc， 32

∵f（x）=x﹣6x+9x﹣abc，

∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9， ∴b+c=6﹣a， ∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a﹣4a＜0，

2

，

∴0＜a＜4，

∴0＜a＜1＜b＜3＜c，

∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，

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∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0． 故选：C．

4． 【答案】C

【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，

则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=， 故选：C．

5． 【答案】D

【解析】解：∵A1B∥D1C，

∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角． ∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为

，

∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线， ∴0＜θ≤

．

故选：D．

6． 【答案】C

222(x1)(ya)(a4)O1【解析】由已知，圆的标准方程为，圆O2的标准方程为 222(xa)(ya)(a2) a2，要使两圆恒有公共点，则2|O1O2|2a6，即 ，∵

5a12|a1|2a6，解得a3或3，故答案选C

7． 【答案】B

个单位得到函数f(x)的图

44象，再将f(x)的图象向上平移3个单位得到函数f(x)3的图象，因此g(x)f(x)3

444【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将f(x)的图象向左平移

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1x2sin[(x)]32sin()3.

346348． 【答案】A

【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2故选：A

9． 【答案】A

【解析】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i， ∴z=故选A．

【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．

10．【答案】C

【解析】解：函数y=sin（2x+当x=0时，y=sin故命题p为假命题；

函数y=|2﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．

x

＜1为特称命题，

x

∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2≥1．

=﹣1+i

）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，

=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，

故命题q为假命题； 则￢q为真命题； p∨q为假命题； p∧q为假命题， 故只有C判断错误， 故选：C

11．【答案】B 【解析】

试题分析：f1f32考点：分段函数。 12．【答案】 C 【解析】解：∵

=（sin2θ）

+（cos2θ）

（θ∈R），

31，故选B。 8第 9 页，共 17 页

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22

且sinθ+cosθ=1，

∴即可得

=（1﹣cos2θ）﹣

=cos2θ•（

，

=cos2θ•

+（cos2θ）﹣

），

=

+cos2θ•（

﹣），

2

又∵cosθ∈[0，1]，∴P在线段OC上，

由于AB边上的中线CO=2， 因此（可得（故选C．

【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．

++

）•）•

=2 +

•）•

，设|

|=t，t∈[0，2]，

=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，

的最小值等于﹣2．

∴当t=1时，（

二、填空题

13．【答案】 [

，1] ．

【解析】解：设两个向量的夹角为θ， 因为|2﹣|=1，|﹣2|=1， 所以所以所以5

[

所以故答案为：[围．

14．【答案】 3+

．

，

=

，

=1，所以，1]，

； ，1]．

2

，所以5a﹣1∈[

，

]，

【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范

【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．

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前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个， 即

个，

个，

因此第n行第3个数是全体正整数中第3+即为3+故答案为：3+

15．【答案】26 【解析】

．

．

试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得a3a7a113a76a72，由等差数列的求和

S1313(a1a13)13a726．

2考点：等差数列的性质和等差数列的和．

16．【答案】 ②④

【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误； ②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确； ③y=（

x

）﹣是减函数，故错误；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确． 故答案为：②④

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．

17．【答案】

【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立， 即（－x）（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）， ∴a（ex＋e－x）＝－（ex＋e－x），∴a＝－1. 答案：－1

18．【答案】 两条射线和一个圆 ．

22

【解析】解：由题意可得x+y﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分． 由方程（x+y﹣1）

=0，可得x+y﹣1=0，或 x2+y2=4，

故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆， 故答案为：两条射线和一个圆．

【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．

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三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

20．【答案】

1PB时，CE//平面PAD. 31设F为PA上一点，且PFPA，连结EF、DF、EC，

31那么EF//AB,EFAB.

31∵DC//AB，DCAB，∴EF//DC，EFDC，∴EC//FD．

3又∵CE平面PAD， FD平面PAD，∴CE//平面PAD． （5分） （Ⅱ）设O、G分别为AD、BC的中点，连结OP、OG、PG，

【解析】解： （Ⅰ）当PE第 12 页，共 17 页

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∵PBPC，∴PGBC，易知OGBC，∴BC平面POG，∴BCOP． 又∵PAPD，∴OPAD，∴OP平面ABCD． （8分）

建立空间直角坐标系Oxyz（如图），其中x轴//BC，y轴//AB，则有A(1,1,0),B(1,2,0),

C(1,2,0)．由POPA2AO2(6)2(2)22知P(0,0,2)． （9分）

uur设平面PBC的法向量为n(x,y,z)，PB(1,2,2),CB(2,0,0)

x2y2z0nPB0则 即，取n(0,1,1).

2x0nCB0uuur|APn|3设直线PA与平面PBC所成角为，AP(1,1,2)，则sin|cosAP,n|， |AP||n|2∴3，∴直线PB与平面PAD所成角为z. （13分） 3PFEDCOA

GBy =

．

x21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a． 所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）． 综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意； 当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0， 令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=

，

由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．

所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0．

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因此，a=1．

（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以an+1=f（an）+2=1+

+lnan．

由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜． 猜想当n≥3，n∈N时，2＜an＜． 下面用数学归纳法进行证明．

①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．

②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜ak＜成立． 则当n=k+1时，ak+1=1+

+lnak，

由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增， 所以h（2）＜h（ak）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2， h（）=1++ln＜1++1＜．

故2＜ak+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立． 根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜an＜成立． 综上可得，n＞1时[an]=2．

【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．

22．【答案】

2

【解析】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ=4ρsinθ， 将极坐标与直角坐标互化公式

代入上式，

22

整理得圆C的直角坐标方程为x+y﹣4y=0．

（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，

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因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为代入圆C的方程中，得于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=即|MA|+|MB|=

．

， ．

，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得

＞0，t1t2=1＞0，

【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ，

2

ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等．

2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．

3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为直线向上时，t=

，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量；当

沿直线向下时，t=﹣

．

的数量，即当

沿

23．【答案】（1）S1asin （2）a23 221a2acos【解析】解析：

（1）设边BCx，则ACax， 在三角形ABC中，由余弦定理得：

试题

1x2ax22ax2cos，

1所以x2， 21a2acos11asin所以Saxxsin，

221a22acos第 15 页，共 17 页

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21acos1a2acos2asinasin（2）因为S， 2221a2acos221acos1a2a， 2221a2acos2a, 1a22a且当0时，cos0，S0， 21a2a当0时，cos0，S0，

1a2令S0，得cos00所以当0时，面积S最大，此时060，所以

2a1， 21a2解得a23， 因为a1，则a23. 点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。 24．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

22|2k2|1k22

k24k10，k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，kAB2022，

22第 16 页，共 17 页

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故直线l的斜率的取值范围为(23,22].

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